高斯小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)下冊(cè)含答案第13講_沙漏與金字塔

1、第十三講沙漏與金字塔在盆里!娼姆哥哥，國我要星星爸爸爸爸 要太陽！觀察故事中的第4幅圖，太陽照下來在桌面上形成一個(gè)圓形的亮斑，如圖1所示，我們將圖形抽象成三角形，如圖2所示.觀察一下，這個(gè)圖形與生活中的什么東西比較像？對(duì)了, 沙漏！今天，就讓我們來學(xué)習(xí)一下有關(guān)“沙漏”的知識(shí).沙漏有一個(gè)必要條件：線段AB平行于線段CD,如圖2所示.在沙漏中，我們總結(jié)出了如下性質(zhì):|AB- AQ-BOlIDC DO CO這就是我們今天要研究的平行線間的比例關(guān)系即沙漏形三角形間的比例關(guān)系， 簡稱如圖所示，梯形 ABCD的面積是36,下底長是上底長的 2倍，陰影三角形的面積是多少?分析：圖中給出的是一個(gè)梯形， 梯形的

2、上底和下底是平行的， 你能找到平行線間的沙漏嗎?如何利用這個(gè)沙漏呢?練習(xí)1.如圖所示，梯形的面積是 48平方厘米，下底是上底的 3倍，求陰影部分的面積.在沙漏模型中，各線段的長度有比例關(guān)系，各區(qū)域的面積也有比例關(guān)系.如圖所示，如果沙漏形的上下底之比為a:b,四個(gè)三角形的面積之比為a2:ab:ab:b2.例題2.如圖，平行四邊形 ABCD的面積是90.已知E點(diǎn)是AB上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.分析：圖中有沒有沙漏形？它的上底與下底之比是多少?練習(xí)2.如圖，正方形 ABCD的邊長是6, E點(diǎn)是BC的中點(diǎn).求4AOD的面積.尋找沙漏的時(shí)候，一定把握住一點(diǎn)：平行線.題目中如果出現(xiàn)了平行線，

3、那么只要找到平行線間的相交線就可以找到沙漏.同學(xué)們?cè)谧鲱}的過程中一定要用心體會(huì)這一點(diǎn).小故事沙漏沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時(shí)間的裝置.西方沙漏由兩 個(gè)玻璃球和一個(gè)狹窄的連接管道組成.利用上面的玻璃球的 沙子穿過狹窄管道流入底部玻璃球所花費(fèi)的時(shí)間來對(duì)時(shí)間進(jìn) 行測量.一旦所有的沙子都已流到底部玻璃球，該沙漏就可以被顛倒以重新測量時(shí)間了. 一般的沙漏有一個(gè)名義上的運(yùn)行時(shí)間1小時(shí).例題3.如圖所示，邊長為 8厘米和12厘米的兩個(gè)正方形并排放在一起，求圖中陰影部分的面積.你能找出這些沙漏嗎？那分析：圖中有很多組平行線， 那么這些平行線就構(gòu)造出很多沙漏, 么想求陰影部分的面積，該利用哪一個(gè)沙漏呢？練習(xí)3.

4、如圖所示，圖中的兩個(gè)正方形的邊長分別是10和6,那么陰影部分的面積是多少?我們發(fā)現(xiàn)，沙漏模型由一組平行線和一組相交線構(gòu)成,DFCG且相交線的交點(diǎn)在平行線之間.如我們形象的稱之為金字塔模型.在果交點(diǎn)在兩條平行線的同一側(cè)，就會(huì)構(gòu)成一種新的模型,金字塔模型中也有相應(yīng)的比例關(guān)系.a 烏%b,aibicia a,bib,c沙漏模型金字塔模型例題4.如圖，直角三角形 ABC中，AB=4, BC=6.又知BE:EC=1:3,求 CDE的面積.練習(xí)4.如圖，EF與BC平行，AF :FB 1:2 .已知AE 2, EF 3,那么CE的長度是 多少？ AC的長度是多少？ BC的長度是多少?例題5.如圖所示，在正方

5、形 ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，已知正方形 ABCD的面積為60平方厘米，求陰影部分的面積.分析：如圖所示，假設(shè)陰影三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)是G和H.容易看出，三角形 AGH在三角形ABD中，而三角形 ABD的面積是正方形 ABCD的一 半，如果我們能夠找到這兩個(gè)三角形之間的面積關(guān)系，那么本題也就迎刃而解了.例題6.已知三角形 ADE的面積為3平方厘米，D是AB邊的三等分點(diǎn)（靠近 A點(diǎn)），且DE與BC平行，請(qǐng)求出三角形 OBC的面積為多少平方厘米？DE和BC,它們的比分析：圖中既有沙漏形，也有金字塔形.沙漏形的上底和下底分別是 是多少？是不是需要用到金字塔形中的比例關(guān)系？埃及金字塔在

6、非洲古國埃及的尼羅河畔，開羅城近郊的廣裹沙漠中，巍然聳立著一群巨大的方錐形建筑物，這就是全球著名的古代世界八大奇觀之首的埃及金字塔它氣勢威嚴(yán)，歷經(jīng)滄桑，迄今已有四、五千年的歷史它又是古埃及高度文明的象征，是人類遙遠(yuǎn)歷史的見證金字塔以其形體極似漢字的“金”字， 因此在中國稱為“金字塔” 在歐洲則稱為“庇拉米斯”，是古埃及語“高”的意思，可見高大是金字塔的特征埃及金字塔是奴隸制帝王的陵墓，國王生前窮奢極欲，死后也仍想主宰天下因此，在生前就不惜一切為自己修造所謂的“永久堅(jiān)固的寓所”金字塔， 帝王希圖永遠(yuǎn)保存自己的尸骨和尊嚴(yán)，于是從埃及第三王朝起便開始興建金字塔約在公元前2800-2300 年之間，那

7、是金字塔盛行的時(shí)代在埃及有大、小金字塔70 余座第1 座是埃及第三王朝國王杰賽爾的階梯形金字塔，后來的角錐形金字塔，是在此基礎(chǔ)上發(fā)展演變而來的其中位于開羅郊區(qū)吉薩城附近的胡夫和哈夫拉兩座金字塔，被列為世界古代八大奇觀之首這兩座金字塔加上顯示國王威嚴(yán)的獅身人面像，成為埃及金字塔風(fēng)光的象征胡夫金字塔規(guī)模最大，所以又稱為“大金字塔”它高 146.5 米，像一座40 層高樓，拔地而起在1889 年巴黎埃菲爾鐵塔（312.5 米 ）修建之前，一直是世界上最高的建筑物該塔占地 80 畝，邊長2300 多米，周長約1 公里全塔用230 多萬塊大、小不同的巨石砌成，總體積 250萬立方米平均每塊石頭重2.5

8、噸，最重的一塊約160 噸石塊連接沒有使用絲毫粘著物，但石塊間絲隙皆無，使人贊嘆!塔內(nèi)有甫道、石階、通風(fēng)道和墓室墓室分3 層，位于塔底正中地下30 米深處胡夫大金字塔建筑之奇，至今仍是不解之謎金字塔這樣宏偉的建筑，有人認(rèn)為是天外來客所建，但畢竟金字塔巍峨壯觀地坐落在地球上，成為人類史上一座不朽的豐碑它生動(dòng)具體地告訴人們： 古代埃及的奴隸們是怎樣地在沒有火藥、沒有機(jī)械的年代，利用雙手及簡單工具而創(chuàng)造出這一驚人的奇跡金字塔至今作為世界奇觀，傲對(duì)碧空，成為當(dāng)今聞名世界的旅游勝地作業(yè)1.如圖所示，DE與BC平行，已知AD 4， BD5 , DE 16 ,則BC的長度是多少?作業(yè)2.如圖所示，DE與BC

9、平行，已知AD4 , BD 5 , AADE的面積為32,則四邊形DECB面積是多少?作業(yè)3.如圖所示，梯形 ABCD的面積是50,卜底長是上底長的1.5倍，陰影三角形的面積是多少?作業(yè)4.如圖所示，正方形 ABCD的邊長是6,E點(diǎn)是BC的三等分點(diǎn). AOD的面積是多AAC與BE的交點(diǎn)為F,那么少？作業(yè)5.如圖，平行四邊形 ABCD的面積是12, DE圖中陰影部分面積是多少?第十三講沙漏與金字塔例題1. 答案：16詳解：上底與下底的長度比為1:2,設(shè) OCD面積是1份，則4 AOD與ABOC的面積均為2份，ABO的面積為4份，共有9份，梯形面積為36,故一份所對(duì)應(yīng)的面積為 4.則 ABO的面積

10、為16.例題2. 答案：33詳解：由沙漏模型知， BE:CD BO:OD EO:OC 2:3 ,設(shè) OBE的面積為4份，則408。的面 積為6份，4OCD的面積為9份，AOBC的面積與 OCD的面積之和為整個(gè)四邊形面積的一半，因 此四邊形的面積為30份，總面積為90,則一份對(duì)應(yīng)的面積為 3,陰影部分占了 11份，面積為33.例題3. 答案：45詳解：由條件知， GF:BE 12:20 3:5 ,由沙漏模型知 GO:OE 3:5 ,那么 GOF與 EOF的面積之比也是3:5. OEF的面積為12 12 2勺45 8例題4. 答案：6.75詳解：由金字塔模型知， DE:AB CE:CB 3:4 ,

11、則DE 4 - 3 ,又知道CE 6 0 4.5,可求 44出4CDE的面積為3 4.5 2 6.75.例題5. 答案：10平方厘米1詳解：由條件知，BE AD 1:2 ,則 BG: GD 1:2, BG - BD .同理，DF : AB 1:2 ,則 311DH:HB 1:2, DH -BD.由此可得，GH -BD .陰影部分面積為 60 2 3 10平萬厘米. 33例題6. 答案：13.5詳解：由金字塔模型知， AD: AB DE: BC 1:3 ,設(shè) ODE的面積為1份，則4 ODB的面積為3 份，4OEC的面積為3份，AOBC的面積為9份.又因?yàn)?ADE與 DEC等高，可知 ADE的面

12、積 為2份，由此可知 OBC的面積為3 2 9 13.5平方厘米.練習(xí)1. 答案：27平方厘米簡答：上底與下底之比為 1:3.由沙漏模型可知四個(gè)三角形的面積之比是1:3:3:9,那么陰影部分的面積是48 1 3 3 9 9 27平方厘米.練習(xí)2. 答案：12簡答：連結(jié)DE,因?yàn)锽E與AD之比是1:2,可如圖所示設(shè)份數(shù).可知 AOD的面積是正方形面積的三分之一，是12.E練習(xí)3.答案：400 13簡答：AH AD 5 那么 abh與abGH的面積之比也是 5:8, ABH的面積是 ABG面積的HG BG 813400135一.10 1613練習(xí)4. 答案:簡答:AFFBAE 1EC 2可求出CE 4, AC 6.EFBCAF 1一，可求出BC 9 .AB 3作業(yè)1. 答案：36.簡答：由金字塔模型，AD: AB DE:BC 4:9, DE 16,則BC 36.作業(yè)2. 答案：130.簡答：AD： AB 4：9 ，則AE： AC 4：9 ， AADE是 ABC面積的 竺,貝拉ABC 81的面積為162,四邊形DEBC的面積為130.作業(yè)3. 答案：18.簡答：上底與下底的長度比為2:3,設(shè) OCD面積是4份，則4 AOD與ABOC