6.題型十四第24題二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

1、更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始題型十四第24題二次函數(shù)與幾何圖形綜合題注：二次函數(shù)與幾何圖形綜合題每年24題必考，設(shè)問23問，分值10分，其中涉及二次函數(shù)圖象平移變換4次，中心對(duì)稱變換 3次，軸對(duì)稱變換1次.類型一二次函數(shù)與特殊三角形判定(2016、2012.24)【類型解讀】 二次函數(shù)與三角形判定近 10年考查2次，涉及等腰三角形(1次)、等腰直角三角形(2次) 的判定，均涉及求拋物線表達(dá)式，考查形式包含：已知拋物線表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)和圖象上兩點(diǎn)坐標(biāo)求表達(dá)式，判定拋物線與 x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求使等腰直角三角形成立的拋物線平移方式(2016);求使等腰直角三角形成立的拋物線表達(dá)式 (2012.(2

2、).1 .拋物線C1： y=x2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(2, 0).(1)求拋物線C1的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)將拋物線C1向左或向右平移 m(m>0)個(gè)單位得到拋物線 C2, C2交x軸于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的 左邊)，交y軸于點(diǎn)C.若拋物線C2的對(duì)稱軸上存在點(diǎn) P,使APAC為等邊三角形，求 m的值.2 .在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 L: y=ax2+bx 5經(jīng)過點(diǎn)A(-1, 0)、B(5, 0),頂點(diǎn)為M.(1)求拋物線L的表達(dá)式；(2)求拋物線L的對(duì)稱軸和頂點(diǎn) M的坐標(biāo)；(3)若拋物線L'與拋物線L關(guān)于y軸對(duì)稱，在拋物線 L的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,

3、使得以點(diǎn)B、M、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.73 .已知拋物線L: y=x2+bx+c過點(diǎn)A(-1, 7), B(4, 2),其頂點(diǎn)為 C.(1)求拋物線L的表達(dá)式及點(diǎn) C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M為拋物線L上一點(diǎn)，拋物線L關(guān)于點(diǎn)M所在直線x=m對(duì)稱的拋物線為L',點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 C；在拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得 CMC'為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.4 .已知拋物線Ci： y=x22x3的頂點(diǎn)為M,與x軸交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).求點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，將拋

4、物線Ci繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180 °后得到拋物線 C2,若拋物線C2的頂點(diǎn)為N, 與x軸交于C, D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，當(dāng)以點(diǎn)C, M, N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn) P的 坐標(biāo).類型二 二次函數(shù)與特殊四邊形判定(2017、2015、2014、20102012.24)【類型解讀】 二次函數(shù)與特殊四邊形判定近10年考查6次，涉及平行四邊形(4次卜矩形(1次)、菱形(1次)的判定，考查形式包含：已知兩點(diǎn)和關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條拋物線上各一點(diǎn)，且以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，求兩點(diǎn)坐標(biāo)(2017);求滿足過原點(diǎn)和以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的矩形上兩個(gè)頂點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式(2012);已知其中三個(gè)頂

5、點(diǎn)坐標(biāo)，求使平行四邊形成立的點(diǎn)坐標(biāo)(2011);已知其中兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，求使平行四邊形成立的點(diǎn)(2010).其中2015年和2014年涉及圖形面積(詳見P169類型三).【滿分技法】 鏈接至P47、P50 “滿分技法”.匕針對(duì)訓(xùn)練.1. 已知拋物線 L: y=ax2|x+c經(jīng)過點(diǎn)A(0, 2)、B(5, 2),且與x軸交于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D左 側(cè)).(1)求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；(2)判斷 ABC的形狀；(3)把拋物線L向左或向右平移，使平移后的拋物線L與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 E,是否存在以A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出拋物線L的表達(dá)式及平移方式；若不存在，請(qǐng)說明理由.2.

6、在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y= ax2+bx+c(aw0)的圖象與x軸交于點(diǎn)(1, 0)和(3, 0),且過點(diǎn)M(0, 3),頂點(diǎn)為點(diǎn)A.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若將該二次函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)軸上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)A、M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) A'、M '當(dāng)以A、M、A'、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).3. (2019西工大附中模擬)已知拋物線Ci：y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，且aw。)與x軸分別交于A(2, 0)、B(2, 0)兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C(0, 2).(1)求拋物線Ci的表達(dá)式；(2)將Ci平移后得到

7、拋物線 C2,點(diǎn)D、E在拋物線C2上(點(diǎn)E在點(diǎn)D的上方)，若以點(diǎn)B、C、D、E為 頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求拋物線C2的表達(dá)式.4. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 Li： y= ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A(1, 4),且與y軸 交于點(diǎn)C(0, 3).(1)求拋物線Li的表達(dá)式；(2)將拋物線Li向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度得到拋物線 L2,求拋物線L2的表達(dá)式；(3)是否在拋物線 Li上存在點(diǎn)P,在拋物線L2上存在點(diǎn)Q,使得以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以 OC為邊的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.類型三二次函數(shù)與圖形面積（2018、

8、2015、2014.24）【類型解讀】二次函數(shù)與圖形面積近 10年考查3次，涉及面積計(jì)算、面積定值、面積相等，考查形式：平移后拋物線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積與原拋物線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積相等（2018）;已知拋物線上四點(diǎn)和其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線上四點(diǎn)，求這八個(gè)點(diǎn)中的四個(gè)為頂點(diǎn)的平行四邊形中不是菱形的平行 四邊形的面積（2015）;求使已知拋物線上兩點(diǎn)坐標(biāo)與平移后拋物線上兩點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成的平行四邊形中滿足面 積為定值的拋物線平移方式（2014）.【滿分技法】鏈接至P47、P52類型三“滿分技法”.立針對(duì)訓(xùn)練5. （2018陜西副題24題10分）已知拋物線L: y=mx28x+3m與x軸相交于A和

9、B（1 , 0）兩點(diǎn)，并 與y軸相交于點(diǎn)C.拋物線L與L關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn) A、B在L'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 A'、B' .（1）求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線L'上是否存在點(diǎn)P,使得 PA'A的面積等于 CBB的面積？若存在，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不 存在，請(qǐng)說明理由.6. (2019西安高新一中模擬)如圖，已知二次函數(shù) y=ax2 + bx4的圖象L經(jīng)過A(1, 0)、C(2, 6) 兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M.(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；27r ,一(2)設(shè)圖象L的對(duì)稱軸為直線1,點(diǎn)D(m, n)(1<m<2)是圖象L上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

10、ACD的面積為名時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,能否在圖象L和直線1上分別找到點(diǎn) P、Q,使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn) 的四邊形是平行四邊形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.7. (2019西安鐵一中模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，4ABC是等腰直角三角形，Z BAC = 90°, A(1, 0), B(0, 2),拋物線y = 2x2+bx2的圖象經(jīng)過點(diǎn) C.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)沿x軸水平平移該拋物線，設(shè)平移后拋物線的對(duì)稱軸所在直線為l.若直線l恰好將 ABC的面積分為相等的兩部分，求平移后拋物線的表達(dá)式.第3題圖8. (2015陜西副題24題10分)如圖，

11、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩 .一， 1點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).已知A(-3, 0),該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-.(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；(3)假設(shè)將線段BC平移，使得平移后線段的一個(gè)端點(diǎn)在這條拋物線上，另一個(gè)端點(diǎn)在x軸上.如若將點(diǎn)B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)D、E,求以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值.第4題圖9. 已知拋物線 Ci: y= x2+bx+c與x軸交于點(diǎn) A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0, 3), 對(duì)稱軸為直線x= 1.(1)求拋物線Ci的函數(shù)表達(dá)式；(2)將拋物線Ci沿x軸翻折，得到拋物線

12、C2,求拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式；(3)已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線 Ci上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP，x軸交拋物線C2于點(diǎn)P,連接AP、AD、 CP、CD,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為 m,四邊形DCPA的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.類型四 二次函數(shù)與三角形相似更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始(2019、2013.24)【類型解讀】 二次函數(shù)與三角形相似近10年考查2次，考查形式：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線上存在一點(diǎn)使得兩直角三角形相似，求該點(diǎn)坐標(biāo)(2019);求使相似三角形成立的點(diǎn)所在拋物線的表達(dá)式(2013).【滿分技法】 鏈接至P47、P52類型四“滿分技法”.針對(duì)訓(xùn)練10. (2019西工

13、大附中模擬)如圖，已知拋物線 W1經(jīng)過點(diǎn)A(-1, 0), B(2, 0), C(0, 2),點(diǎn)D為OC中點(diǎn)， 連接AC、BD,并延長BD交AC于點(diǎn)E.(1)求拋物線W1的表達(dá)式；(2)若拋物線 W1與拋物線W2關(guān)于y軸對(duì)稱，在拋物線 W2位于第二象限的部分上取一點(diǎn) Q,過點(diǎn)Q作 QFx軸，垂足為點(diǎn)F,是否存在這樣的點(diǎn) F,使得 QFO與4CDE相似？若存在，求出點(diǎn) F的坐標(biāo)；若 不存在，請(qǐng)說明理由.第1題圖11. (2019陜西副題24題10分)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 L經(jīng)過點(diǎn)A(-1, 0), B(3, 0), C(1 , -2).(1)求拋物線L的表達(dá)式；(2)連接AC、BC.以點(diǎn)D

14、(1, 2)為位似中心，畫 ABC；使它與 ABC位似，且相似比為 2, A'、B'、C' 分別是點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).試判定是否存在滿足條件的點(diǎn)A'、B在拋物線L上？若存在，求點(diǎn) A'、 B'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.12. 圖，已知拋物線 y=ax2 + bx+c(a>0)與x軸交于 A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0, 2),拋物線的對(duì) 5稱軸為直線x=5,且OB = 2OC.連接BC,點(diǎn)D是線段OB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)O、B重合)，過點(diǎn)D作x軸的垂 線，交BC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn) N.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)線段MN最大時(shí)，求點(diǎn)

15、M的坐標(biāo)；(3)連接BN,以B、D、N為頂點(diǎn)的三角形是否能夠與 OBC相似？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能， 請(qǐng)說明理由.第3題圖13. (2019陜師大附中模擬)已知拋物線 Ci：y=x22x 3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊, 與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.求A、B、D三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)判斷 BCD的形狀；(3)將拋物線Ci向上(或向下)平移，使得平移后的拋物線 C2與y軸交于點(diǎn) 巳試問是否存在點(diǎn) E使得以 E、B、C為頂點(diǎn)的三角形和 ABC相似(不包含全等)？若存在，請(qǐng)求出新拋物線 C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說明理由.類型五 二次函數(shù)與線段最值【類型解讀】 二次函數(shù)與線段最

16、值近10年真題雖然未考查，但在2017年副題24題第(2)問和20172018中考說明中均有涉及，另外通過大量調(diào)研一線名師，均覺得有必要設(shè)此類型進(jìn)行拓展.q針對(duì)訓(xùn)練3, 0),14. (2019西安鐵一中模擬)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為( 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, 3),對(duì)稱軸為直線x=- 1.(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且 生poc = 4Sa boc,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作 QD/y軸交拋物線于點(diǎn) D,求線段QD長度的最大值.15. 圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw。)的對(duì)稱軸為直線 x=1,圖象經(jīng)過 B(-3

17、, 0)、C(0, 3)兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)A.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使 ACM周長最小，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出使BPC為直角三角形時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).13第2題圖16. (2019赤峰)如圖，直線y=x+ 3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn) B、C,與x軸另一交點(diǎn)為 A,頂點(diǎn)為D.(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn) E,使EC+ED的值最小，求 EC+ED的最小值.(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得/ APB=/ OCB.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

18、更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始第3題圖# 一更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始類型一二次函數(shù)與特殊三角形判定1.解：(1)二.拋物線Ci經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(2, 0),c= 04+2b+c=0b=- 2c= 019拋物線Ci的表達(dá)式為y=x2-2x=(x-1)2-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 1);(2)如解圖，連接 BC, BP,第1題解圖當(dāng)將拋物線 C1向右平移m(m>0)個(gè)單位時(shí)，得到拋物線C2的表達(dá)式為y=(x-m)2-2(x- m), 拋物線C2交x軸于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，交y軸于點(diǎn)C.C(0, m2+2m), B(2 + m, 0),由拋物線對(duì)稱性可知 AP=B

19、P, . PAC為等邊三角形，.AP=BP=CP, /APC=60°, .C, A, B三點(diǎn)在以點(diǎn) P為圓心，PA為半徑的圓上， 1 ./ CBO=1ZCPA=30 ,2BC=2OC,，由勾股定理得 OB= 4BC2 OC2 = T3OC, /(m2+ 2m) = m+ 2,解得 m1=, m2=2(舍去)，_3 m= 3 ；當(dāng)將拋物線 C1向左平移 m(m>0)個(gè)單位時(shí)，得到拋物線C2的表達(dá)式為y=(x+m)2-2(x+ m),拋物線C2交x軸于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，交y軸于點(diǎn)C.C(0, m22m), B(2-m, 0),同可得，V3(m2- 2m)= 2- m

20、,解得mi=-坐(舍去)，m2 =2.綜上所述，m的值為乎或2.32.解：(1)將點(diǎn) A(1, 0)、B(5, 0)代入拋物線 L： y=ax2+bx5,a b 5= 025a+5b-5 = 0a= 1b= 一 4 拋物線L的表達(dá)式為y= x2-4x-5;(2)二拋物線 L 的表達(dá)式為 y=x2-4x-5=(x- 2)29, 拋物線L的對(duì)稱軸為直線 x= 2,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, 9);(3)存在.,拋物線L與拋物線L關(guān)于y軸對(duì)稱， 拋物線L的表達(dá)式為 y=x2+4x-5=(x+2)2-9, 拋物線L的對(duì)稱軸為直線 x= 2,，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一2, m), 以點(diǎn)B、M、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰

21、三角形，BP=<49+m2,BM =寸(5-2) 2+92 = 3回，PM =，16+ (m+9) 2,當(dāng)BP = BM時(shí)，即:49+m2 = 3 回，解得 m1="41, m2= - -J41, P1(-2,國),P2( 2, - <41);當(dāng)BM = PM時(shí)，即 310 = 16+ (m+9) 2,解得 m1=9+折，m2=- 9-74,P3(-2, - 9+V74), P4(-2, - 9-V74);當(dāng)BP = PM時(shí)，即49+ m2 =，16+ ( m+ 9) 2,解得m=- I， p5(-2, -3).綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為( 2, 將)、(2,

22、- 將)、( 2, 9 +巾4)、(2, -9-標(biāo))或(-2, 3).3.解：(1)將點(diǎn) A(1, 7), B(4, 2)代入拋物線 L: y=x2+bx+c 中,1-b+c=716+4b+c= 2b= 4c= 2 拋物線L的表達(dá)式為y= x2-4x+2, y= x2 4x+ 2= (x 2)2-2, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2, 2);(2)存在. 點(diǎn)M在拋物線L: y=x24x+2上，M(m, m2 4m+ 2),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2, 2),拋物線L關(guān)于點(diǎn)M所在直線x= m對(duì)稱的拋物線為L',.點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(2m-2, 2),一點(diǎn)C'、C關(guān)于直線x=m對(duì)稱，點(diǎn)M在直

23、線x= m上， . CMC為等腰三角形，要使 CMC為等腰直角三角形，1則 m2-4m+2- (-2) = 2|2m-4|,即 m2 4m+ 4= |m 2|,當(dāng) m2 4m+ 4= m 2 時(shí)，解得m=3或m = 2(舍去)，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3, 1);當(dāng) m24m+4=2m 時(shí)，解得m = 1或m = 2(舍去),此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1 , - 1).綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)M,且當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3, 1)或(1, 1)時(shí)， CMC為等腰直角三角形.4.解：(1)。.拋物線 C1 的表達(dá)式為 y = x22x3 = (x 1)2 4,.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1 , -4).令 y=0,則 x2-

24、2x- 3=0,解得 x1= 1 , x2= 3 , 點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)， 點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一1, 0);(2)二將拋物線C1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180 °后得到拋物線 C2, 拋物線C2的頂點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是4,點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),，頂點(diǎn)N的橫坐標(biāo)小于0,，以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分/ MCN= 90°和/ MNC = 90°兩種情況討論：如解圖，當(dāng)/ MCN = 90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m, 4）（mv 0）,過點(diǎn)N作NE，x軸于點(diǎn) 巳 則點(diǎn)E 的坐標(biāo)為(m, 0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m 2, 0),則 NM2=(m1)2+64, CN2=20,

25、 CM2= (m3)2+16, NM2=CN2+CM2,即(m 1)2+64= 20+(m3)2+16,解得m= - 5, 點(diǎn)N的坐標(biāo)為（一5, 4）, 點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一2, 0）;第4題解圖如解圖，當(dāng)/ MNC = 90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n, 4)(n<0) 坐標(biāo)為(n, 0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(n-2, 0),則 NM2=(n1)2 + 64, CN2=20, CM2=(n-3)2+ 16,.CM2=CN2+NM2,即(n- 3)2+ 16 = 20+ (n- 1)2+64,過點(diǎn)N作NEx軸于點(diǎn)巳貝點(diǎn)E的解得n= 15, 點(diǎn)N的坐標(biāo)為（15, 4）,

26、 點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一7, 0）.第4題解圖綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一2, 0）或（一7, 0）.類型二 二次函數(shù)與特殊四邊形判定.、c 51.解：(1)將 A(0, 2)、B(5, 2)代入 y=ax2-2x+ cc= 225a25卜c= 21 a=2c= 2 1 - 5拋物線L的表達(dá)式為y= 2x2 2x + 2,令 y=0,即 2x2|x+2= 0,解得 xi = 1, X2= 4.C(1, 0), D(4, 0);(2) . A(0, 2)、B(5, 2)、C(1, 0), . AB=5,AC =小1+ (- 2) 2 =乖, BC=U (5-1) 2 +

27、 22 = 2gAB2= AC2 + BC2,.ABC為直角三角形；(3)存在. 1c 5設(shè)拋物線L的表達(dá)式為y = 2(x+m)2 2(x+m) + 2,以A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn) E在x軸上， CE / AB, CE= AB=5,- C(1, 0),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6, 0)或(4, 0),當(dāng)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(6, 0)時(shí)，2(6+m)2 -|(6+m)+ 2= 0,解得 m1= 2, m2= 5.此時(shí)拋物線L'的表達(dá)式為y=2；x2 2x+9或y = ；x2£x+ 27;當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一4, 0)時(shí)，21 4 + m)? 2( 4+ m) + 2=

28、 0,解得 m1= 5, m2= 8.此時(shí)拋物線L'的表達(dá)式為y=$2 + 2x+2或y = '2x2 + 11x+14.綜上所述，當(dāng)m=2時(shí)，即將拋物線L向右平移2個(gè)單位，新拋物線 L'的表達(dá)式為y = ：x2 全+9;當(dāng)m=5時(shí)，即將拋物線L向右平移5個(gè)單位，新拋物線 L的表達(dá)式為y=2x2-25x+ 27;當(dāng)m=5時(shí)，1 一 5即將拋物線L向左平移5個(gè)單位，新拋物線 L的表達(dá)式為y=-x2 + 2x+2;當(dāng)m=8時(shí)，即將拋物線 L向左更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始 1 11平移8個(gè)單位，新拋物線 L'的表達(dá)式為丫 =夕2+當(dāng)+ J.2 .解：(1)設(shè) y=

29、a(x1)(x3),將(0, 3)代入，得 a= 1,，二次函數(shù)的表達(dá)式為 y= (x- 1)(x-3),即 y= x2 4x+ 3,將其表示成頂點(diǎn)式為 y= (x- 2)21 , 頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 1);(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AP=AP, MP = MP, 以A、M、A'、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形， 當(dāng)/ APM = 90°時(shí)，以A、M、A'、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.如解圖，當(dāng)點(diǎn) P在y軸上時(shí)，/ APM=90°,則APy軸，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(0, 1);當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)P(m, 0),則 AP2=(2m)2+12, PM2=m2+32,

30、 AM2=20,根據(jù)勾股定理得 ap2+pm2=am2,即(2 m)2 + 12 + 32 + m2= 20,解得 m1= 3, m2=- 1,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2(3, 0)或P3(-1, 0),綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, 0)或(1, 0)或(0, 1).第2題解圖3 .解：(1)將 A( 2, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)代入 y=ax2+bx+c,4a-2b+c=0得 4a+2b+c=0,c= 2解得1a=- 2b = 0 'c= 2.拋物線Ci的表達(dá)式為y= 2X2 2；(2)分兩種情況討論：當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，則 D(0, 0)、E(2, 2),1 c設(shè)拋

31、物線C2的表達(dá)式為y= 2xi 2+mix+ni,將點(diǎn) D(0, 0)、E(2, 2)代入，ni = 0得，2+ 2m1+ ni = 2解得mi = 2ni= 0i -此時(shí)拋物線C2的表達(dá)式為y=-2x2 + 2x;當(dāng)BC為邊時(shí)，有兩種情況：a. D(4, 2)、E(2, 4), i c設(shè)拋物線C2的表達(dá)式為y= 2x2 + m2x+ n2,將點(diǎn) D(4, 2)、E(2, 4)代入，8+ 4m2+ n2= 2得，2+2m2+n2 = 4解得m2= 2n2= 2i c此時(shí)拋物線 C2的表達(dá)式為y= 2x2 + 2x+2;b. D(0, 2)、E(-2, 0), i c設(shè)拋物線C2的表達(dá)式為y=

32、2x + m3x+ n3,將點(diǎn) D(0, 2)、E(-2, 0)代入,n3 = 222m3+n3 = 0解得m3= 2n3=- 2一211 C綜上所述，當(dāng)以點(diǎn) B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為正萬形時(shí)，拋物線C2的表達(dá)式為y= x2+2x或yix2+ 2x+ 2 或 y= 2x2 2x2. 224.解：(1)設(shè)拋物線Li的表達(dá)式為y=a(x+1)2+4,將點(diǎn)C(0, 3)代入得a+4=3,解得a=- 1,，拋物線Li的表達(dá)式為y= - (x+ 1)2+4=-x2-2x+ 3;(2)把拋物線Li向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，即將點(diǎn) A向右平移3個(gè)單位長度,再向下平移2個(gè)單位長度，此

33、時(shí)得到的拋物線L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 2),，拋物線L2的表達(dá)式為y= - (x- 2)2+2=- x2+4x- 2;(3)存在.如解圖，.以點(diǎn) O、C、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形以 OC為邊,PQ= OC,且 PQ/ OC,. OC=3,且 OCx 軸,. 設(shè)點(diǎn) P(x, - x2-2x+ 3),點(diǎn) Q(x, x2+4x 2),PQ= |-x2-2x+3-(-x2+4x-2)|=|-6x+ 5|= 3,當(dāng)6x+ 5=3時(shí)，解得x=l, 31 917+4X32= 9,-7);此時(shí)點(diǎn) P1(3, 20), Q1(3, 393當(dāng)一6x+ 5= 3時(shí)，解得(4)2-2X4+ 3=- -, - (4)2

34、+4X4-2=14'3)39'3)39此時(shí)點(diǎn)P2(3,一曷，Q2(3,147)-綜上所述，滿足條件的點(diǎn) p的坐標(biāo)為(1, 20)或(4 39313-7)-第4題解圖類型三二次函數(shù)與圖形面積1.解：（1）將 B（1, 0）代入 y= mx28x+3m,得 m+8+3m=0,解得 m= 2,，拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為y=2x2 8x6; （3分）（2）存在.在L中，令x= 0,則y= -6,.C（0, 6）.令 y=0,則2x2- 8x- 6=0,解得x= - 1或x= 3,A（-3, 0）. 拋物線L與L關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱， A' （3 0）, B' （1 0）. .

35、AA'= 6, BB' =2, OC=6.（5 分）設(shè)L'上的點(diǎn)P在L上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 P', P的縱坐標(biāo)為n,由對(duì)稱性，可得 Sapaa=Sapa- a要使 Sa PA A= SaCB B,則1 , 1 ,2 AA n|42 B B OC.|n|=2, n=±2.（7分）令 y=2,貝 U 2x2- 8x- 6=2.解得x= 2.令 y=- 2,則2x28x6= 2.解得 x = - 2 + y2或 x= 2 42.P 的坐標(biāo)為（一2, 2）, （ 2+班，2）或（一2 42, 2）.由對(duì)稱性可得 P的坐標(biāo)為（2, 2）, （2 加, 2）或（2+，2,

36、 2）. （10分）2.解：（1）將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入二次函數(shù) y= ax2+bx4的表達(dá)式中，a-b-4=04a+2b-4=- 6a = 1b=- 3更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始，該二次函數(shù)表達(dá)式為 y = x23x 4,頂點(diǎn)m(2，一爭(zhēng);29(2)能.二點(diǎn) D(m, n)( 1<m<2),點(diǎn)D在AC下方的拋物線上, 如解圖，過點(diǎn) D作DF / y軸交AC于點(diǎn)F,設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=cx+d,一 c+ d = 0c= - 2則，解得 ，2c+ d=6d= 2直線AC的表達(dá)式為y=- 2x-2,則 F(m, 2m 2), - DF = 2m 2 n= 2m 2 (m2 3m 4

37、) = m2+ m+ 2,c 127. Saacd = _DF xC-xa)=, 282-(- 1)X (-m2 + m + 2)= 2X27, 8-11解得m=2,21 ,n=-7,.D(1,一表 E(2, 21),DE= 2.分兩種情況討論：如解圖，DE為平行四邊形的邊，則 PQ/DE,且PQ=DE=2,7- 2=2十3- 2或1- 2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3-2 =第2題解圖如解圖，DE為平行四邊形的對(duì)角線，則 PQ平分DE, 又.點(diǎn)Q在直線l上，點(diǎn)P也在直線l上，點(diǎn)P與頂點(diǎn)M重合， .1979325綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)p,點(diǎn)p的坐標(biāo)為（,力或g,力或斗 -25）.3.解：（1）如解圖，

38、過點(diǎn) C作CD，x軸于點(diǎn)D,則/ CAD+/ACD = 90第3題解圖. / OBA+Z OAB=90°, / QAB+Z CAD = 90°, ./ OAB=Z ACD, / OBA=Z CAD.在 AOB與 CDA中，/ OAB = / DCAAB=CA/ OBA=Z DACAOBA CDA(ASA). . A(0, 1), B(0, 2),，OA= 1, OB = 2, .CD = OA=1, AD=OB = 2, .OD = OA+AD = 3, .C(3, 1). 點(diǎn)C(3, 1)在拋物線y=；x2+bx2的圖象上,1 = -X 9+3b-2, 2解得b= - 2

39、.OA=1, OB=2,由勾股定理得 AB= V5.，拋物線的表達(dá)式為 y=2x2 2x2； (2)在 RtAAOB 中，Sa abc= 2AB2=5.設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t,. B(0, 2), C(3, 1),1t= 2k= 一 三,解得 3,3k+t=1+ Qt= 2,直線BC的解析式為y=-1x+ 2.311同理求得直線 AC的解析式為y=-x- 2.如解圖，設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)E、F,第3題解圖設(shè)點(diǎn) E(x, -1x+ 2)(xv 3),則點(diǎn) F(x, 1x-1), 3221115 5.EF=( gx+2) (2x2) = 2 'x.在CEF中，EF邊上的

40、高 h為OD x=3 x.更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始1由題思得 S CEF=2S ABC,rJ1即 2EF h= 2s"bc,15 51 52X 5一6x）（3 x）=2><2,整理得（3 x）2=3,解得x=3淄 或x=3+水（不合題意，舍去）,，當(dāng)直線1為乂= 3-小 時(shí)，恰好將 ABC的面積分為相等的兩部分.又平移前的拋物線表達(dá)式為y=2（x2）217,頂點(diǎn)為（；，一17）,一 17平移后的拋物線頂點(diǎn)為（3-V3, -87）,平移后的拋物線的表達(dá)式為y= 2（x 3+ V3）2 8f-1 一一4.解：（1）二所求拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2,且過A（-3, 0）

41、,b- 2319 - 3b+ c= 0b = 1解得，（2分）c= 一 6 所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+x6; （3分）（2）令 x=0,得 y= 6, C（0, - 6）,令 y=0,彳導(dǎo) x2+x6= 0, -x1 = 2, x2=3（舍）， B（2, 0）; （5 分）（3）由平移性質(zhì)可知，BC / DE且BC= DE. 以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.（6分）如解圖，符合條件的四邊形有三個(gè)：第4題解圖更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始?BCEiDi、？BCE2D2、？BCE3D3.S?BCE1D1= OC BDi , S?BCE2D2= OC BE2, S?BCE3D3=

42、 OC BE3. BE2>BDi, BE2>BE3, .?BCE2D2的面積最大.（8分）令 y=6,彳導(dǎo) x2+x6= 6.，xi = 3（舍去），x2 = -4. l- D2（-4, 6）, E2（-6, 0）.1 1 BE2 = 2 （ 6）=8.S?BCE2D2= OC BE2= 6X 8= 48. 四邊形BCED面積的最大值為48.（10分）5.解：（1）二拋物線對(duì)稱軸為直線x= 1,x=- b =1,解得 b=2,2x1） 拋物線過點(diǎn) C（0, 3）,c= 3,，拋物線 Ci的表達(dá)式為y= x2+2x+3;(2)二拋物線C2是由拋物線Ci沿x軸翻折得到的，且拋物線C2的

43、頂點(diǎn)與拋物線 Ci的頂點(diǎn)關(guān)于 拋物線C2的開口方向向上，開口大小與拋物線 Ci相同, x軸對(duì)稱. 拋物線 Ci： y=- x2+2x+3=- (x- 1)2+4, 拋物線Ci的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4),則拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4),，拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)2-4,即 y= x2 2x 3;（3）如解圖，令 y=- x2+2x+3=0, 解得 x1= 1 , x2= 3 , 點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3, 0),點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線 Ci上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),，設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(m, m2+2m+ 3)(0<m<3),.DPx軸，交拋物線 C2于點(diǎn)P,，點(diǎn)P

44、的坐標(biāo)為(m, m22m3),DP= （-m2+2m+3）-（m2-2m-3） = - 2m2 + 4m + 6,設(shè)DP交x軸于點(diǎn)E,則 S=*cdp+ Saadp = 2qp OA =；( 2m1 - y=- 2x,則 Q(x, 2x),+4m+6) X 3= 3m2 + 6m+9.,. S= 3m2+6m+9= 3(m-1)2+12, 0<m<3,當(dāng)m=1時(shí)，S有最大值，最大值為 12.第5題解圖類型四 二次函數(shù)與三角形相似1 .解：(1)設(shè)拋物線 W1的表達(dá)式為y=a(x+ 1)(x- 2),將 C(0, 2)代入 y=a(x+1)(x-2),解得 a=- 1.拋物線 wi的

45、表達(dá)式為y= x2 + x+ 2;(2)存在. 拋物線 wi與W2關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線W2的表達(dá)式為y=x2 x+ 2, 點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，OC = 2,.OD=1, . OA=OD=1, OC = OB=2, /AOC = /DOB,AOCA DOB, ./ ACO=Z DBO, . / CDE = / BDO, . DOBA DEC,.OD_ DE_ 1OB= CE=2'/CED=/ BOD = 90°,又. / QFO = 90°,設(shè)Q(x, y)(- 2<x<0),分兩種情況討論：當(dāng) QFOA DEC 時(shí)，.QF. = DE = 1= _y_一

46、OF - CE 2 x，解得x(舍)或x =-1-334，F(xiàn)(T一婢當(dāng) OFQs DEC 時(shí),OF DE 1-xQF' = CE = 2= y, .y=- 2x,則 Q(x, 2x),-2x= x1 2-x+ 2,解得x = 2(舍)或x= - 1,-F(-1, 0).綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)F,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(T；諄,0)或(一1, 0).2.解：:拋物線L經(jīng)過點(diǎn)A (-1,0), B (3,0),，設(shè) L： y=a (x+1) (x-3) (aw0) . (2 分) 又 C (-1,2)在 L 上,1(2)如解圖，= L: y= a=o 2.33D (1,2)在L的對(duì)稱軸 x=1上

47、.,ABC與4ABC位似，位似中心為 D(1,2),且相似比為2,.當(dāng) ABC在 ABC下方時(shí)，顯然，點(diǎn)A'、B不會(huì)在拋物線L上(圖略)；(5分)當(dāng)AB'C在4ABC上方時(shí)，易知 AB'=AB=8, 點(diǎn)A'、B的橫坐標(biāo)分別為5,-3.設(shè)對(duì)稱軸x=1分別與AB、AB的交點(diǎn)為E、E' 由題意，可知DE=2, 點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E' (1, 6) 點(diǎn)A'、B的縱坐標(biāo)均為6, .A'(5, 6), B'( -3, 6).(8 分) ,.當(dāng) x=5 時(shí),y=2x 52-5-3=6, 點(diǎn)A'(5 , 6)在拋物線L上.同理，可得B&

48、#39;( -3, 6)也在拋物線L上.更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始存在點(diǎn) A'(5, 6), B,( -3, 6)在拋物線L上.(10分)一31第2題解圖3.解：(1)二拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0, 2),且OB = 2OC,對(duì)稱5軸為直線x=2，B(4, 0), c= 2,16a+ 4b+ 2=0b 52a = 21a = 2解得，八 5b= -2 拋物線的表達(dá)式為y = 2x2-|x+2;(2)設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=mx+n(mw0),1 m= - 2n= 2將 B(4, 0)、C(0, 2)代入,4m+ n = 0得，解得n

49、 = 21直線BC的表達(dá)式為y=-2x+ 2,1 1 c 5一設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x, 0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, 2x+2),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x, 2x2一小+2),其中0Vx<4,以B、D、N為頂點(diǎn)的三角形能與 OBC相似.設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(t, gt2 5t+2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t, 0),其中0<t<4,當(dāng) DBNs obc 時(shí)，可得DB = DNOB OC'1 2 54T |2t - 2t+ 2|即4t =-2，42，當(dāng) 4_t=2(2t2_5t+2)時(shí),解得ti=0, t2=4,均不符合題意，舍去;當(dāng) 4 t= 2(，一五+2)時(shí)，解得 ti=2, t2= 4(舍

50、), N(2, 1);當(dāng) DNBs OBC 時(shí),可得DN=DB OB OC鏟-|t+2| 即2-24解得ti=3, t2=4,均不符合題意，舍去;,1c 5當(dāng) 2t22t+2= 2(4t)時(shí),解得ti=4, t2=5,均不符合題意，舍去.綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)N,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2, - 1).4.解：(1) ,. y=x2-2x-3 = (x- 1)2-4,，點(diǎn) D(1, 4),令 y= x2 2x 3= 0,解得x= 1或x=3, 點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊， A(-1, 0), B(3, 0)；(2)令 x=0,得 y= 3,.,點(diǎn) C(0, 3),(3- 1)2+ (0 + 4)2=20, B

51、C2=(30)2+(0+3)2=18, CD2=(1 0)2 + (4+ 3)2=2, BD2=更多名校，總復(fù)習(xí)從試題研究開始,.BC2+CD2=BD2, . BCD是直角三角形;(3)存在. B(3, 0), C(0, 3),OBC=Z OCB=45°,點(diǎn)E為拋物線C2與y軸的交點(diǎn)，若點(diǎn) E在點(diǎn)C下方，則/ ECB=135°,以E、B、C為頂點(diǎn)的三角形 定不與 ABC相似，故點(diǎn) E在點(diǎn)C上方. . / OBC=Z ECB=45°,，分兩種情況：當(dāng) CBEA BAC 時(shí)，則有CBBACEBO537BC=3/2, AB=4,.CE=2，點(diǎn) E(。，|),此時(shí)拋物線C

52、i向上平移2個(gè)單位得到拋物線 C2,1.拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 2月當(dāng) CEBA BAC 時(shí)，則有CBBC-CE=1BA此時(shí)兩三角形全等，故舍去.綜上所述，存在點(diǎn)巳使得以E、B、C為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似，此時(shí)新拋物線 C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 2).類型五 二次函數(shù)與線段最值1 .解：(1)已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+1)2+k,將點(diǎn) A(-3, 0),點(diǎn) C(0, 3)代入，a= 1k= - 44a+ k= 0得，解得a+ k= - 3，拋物線的表達(dá)式為 y= (x+ 1)2-4 = x2 + 2x- 3;(2)由(1)知拋物線表達(dá)式為y= x2 + 2x 3,令y=0,解得x= 3或x=1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1, 0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0, 3),.OB