上海九年級(jí)數(shù)學(xué)上知識(shí)總結(jié)(word文檔良心出品)

1、上海九年級(jí)數(shù)學(xué)上知識(shí)總結(jié)相似三角形基本知識(shí)知識(shí)點(diǎn)一：放縮與相似形 知識(shí)點(diǎn)二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是mr n,那么就說(shuō)這兩條線段的比是a： b= m：a _mn （或 b n ）2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a： b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。說(shuō)明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。a c3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如 ba c4、比例外項(xiàng)：在比例b d （或a： b=c： d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。a _ c5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例b d （或a： b=c： d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。a c6

2、、第四比例項(xiàng)：在比例b d （或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。a _b7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為 b a （或a：b = b：c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。8.比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即旦=£b d（或a： b=c： d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。（注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)a c一=一 =ad = bc1 .基本性質(zhì)：b d（兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）a _ c _ b _ d=y=2 .反比

3、性質(zhì)：b d a c （把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換）3 .更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）:= b,（交換內(nèi)項(xiàng)）c-b d c4.合比性質(zhì)：a balb c£d（分子加（減）分母，分母不變）c=-,（父換外項(xiàng)）a=b.（同時(shí)交換內(nèi)外項(xiàng)） a注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間d -c發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如：-b dcc -d5.等比性質(zhì):（分子分母分別相加，比值不變.)如果a be =, * =m(b+d + f + n=0),那么 f n注意：(2)(3)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了 “設(shè) k法”，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法.應(yīng)用等比

4、性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零.可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立.知識(shí)點(diǎn)三:黃金分割1）定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段 AC和BC（AC > BC）,如果處=空，即AC 2=ABX BC ,AB AC那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。其5 -1 0.618 AB 。中 AC = 1 AB22）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn).BD=-AB作法：過(guò)點(diǎn) B作BD! AB,使 2連結(jié)AD,在DA上截取DE=DB 在AB上截取AC=AE則點(diǎn)C就

5、是所求作的線段 AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為:AC BC 乖-I = = 好4c 2.(只要求記住)B3）矩形中，如果寬與長(zhǎng)的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形。知識(shí)點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理（一）平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 已知 11 / 12/ 13,BC EF AC DF32.推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例區(qū)AD AE -BD EC iAD AE由DE/ BC可得：=或=或=.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛 ，條件是平行.DB EC AD EA AB AC3 .推論的逆定理

6、：如果一條直線截三角形的兩邊 （或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.那么這條 直線平行于三角形的第三邊.（即利用比例式證平行線）4 .定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線 ，所截的三角形的三邊 與原三角形三邊 對(duì)應(yīng) 成比例.5 .平行線等分線段定理： 三條平行線截兩條直線，如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一 條直線上截得的線段也相等。三角形一邊的平行線性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對(duì)應(yīng)成比例幾何語(yǔ)言 AABE中BD CEAB AD U，BC=DE簡(jiǎn)記：下下AB AD BC DE歸納:上上 下下全一全和全一全AC AE和AC AE推廣：類似地還可

7、以得到三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.平行線分線段成比例定理1 .平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例用符號(hào)語(yǔ)言表示:AD/ BE/ CF,.ABDEBCEFBCACEFDFABDEACDF2

8、 .平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等口工、士一 adUbeLIcf用符號(hào)語(yǔ)言表不：一ABuBC.DE = DF重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形1、相似三角形1）定義：如果兩個(gè)三角形中，三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似。補(bǔ)充：

9、對(duì)于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；2）性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例。3）相似比：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。如4ABC與4DEF相似，記作 ABC DEF o相似比為k。4）判定：定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.（此定理用的最多）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩

10、條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似.判定定理3:如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.直角三角形相似判定定理：.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。并且分成的兩個(gè)直角三角.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似, 形也相似。補(bǔ)充一：直角三角形中的相似問(wèn)題:斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似射影定理：CC2=AD BRAC2=AD AB,BC2=BD BA（在直角三角形的計(jì)算和證

11、明中有廣泛的應(yīng)用）補(bǔ)充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、周長(zhǎng)的比都等于相似比（對(duì)應(yīng)邊的比）.相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的 平方.銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與復(fù)習(xí)1、勾股定理：直角三角形兩直角邊 a、b的平方和

12、等于斜邊c的平方。a2+b2=c21.如下圖，在RtABC中，/C為直角，則/ A的銳角三角函數(shù)為（/A可換成/ B）:定 義表達(dá)式取值范圍關(guān) 系正弦/A的對(duì)邊 sin A =斜邊asin A =一 c0 < sin A <1（/A為銳角）sin A= cosB cosA = sin B22sin A + cos A = 1余弦/A的鄰邊cos A - -一斜邊八b cos A =- c0 < cosA < 1（/A為銳角）正切/A的對(duì)邊tan A - 八人”，ZA的鄰邊tan A 二旦 btan A a 0（/A為銳角）tan A = cot B cot A = ta

13、n B1-J-八（體【W(wǎng)r 余切/A的鄰邊 cot A -,/A的對(duì)邊，八b cot A =- acot A >0（/A為銳角）tan A （倒必）cot Atan A cot A = 13；任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。由. A /B =90得 B =90 - Asin A = cosB cosA =sin B任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。sin A = cos(90' - A)cosA =sin(90 ' 一 A)tan A =cot B由/A + /B=90。cot A = tan B得 NB =90 口一/A

14、.4；任意銳角的正切值等于它的余角的余切值;tanA=cot(90 - A) cotA =tan(90 -A)5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）三角函數(shù)0°30°45°60°90°sin a0122叵 21cos a1而 -2-灰 21萬(wàn)0tana0芯3173不存在cot a不存在<31正 306 、正弦、余弦的增減性：當(dāng)0° < ot <90°時(shí)，sin豆隨口的增大而增大，cos a隨ot的增大而減小。7、正切、余切的增減性

15、：當(dāng)00 <a<90 0tan a隨u的增大而增大，cot a隨0（的增大而減小。1、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個(gè)，其中必有一邊）一所有未知的邊和角。依據(jù)：邊的關(guān)系：a2+b2=c2;角的關(guān)系：A+B=90 ;邊角關(guān)系：三 角函數(shù)的定義。（注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法）2、應(yīng)用舉例:（1）仰角：視線在水平線上方的角;（2）俯角：視線在水平線下方的角。（3）坡面的鉛直高度 h和水平寬度l的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即 i=h。坡度一般寫(xiě)成1：m的形式，如i=1：5等。把坡面與水平面的夾角記作 a （叫 做坡角），那么i =：=tana。3、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針

16、轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA OB OC OD勺方向角分別是：45、135、225 。4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向 線所成的小于90°的水平角，叫做方向角如圖4: OA OB OC 0邛勺方向角分別是：北偏東 30 （東北方向），南偏東45° （東南方向），南偏西60 （西南方向），北 北偏西60 （西北方向）第一部分基礎(chǔ)知識(shí)2/,1 .定義：一般地，如果y=ax +bx+c（a,b,c是常數(shù)，a#0），那么y叫做x的二次函數(shù)_22 .二次函數(shù)y = ax的性質(zhì)2（1）拋物線y=ax的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是 y軸._2（2）函數(shù)y = ax的圖像與a的

17、符號(hào)關(guān)系.當(dāng)a >0時(shí)已 拋物線開(kāi)口向上 u 頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)； 當(dāng)a <0時(shí)u 拋物線開(kāi)口向下 u 頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)._2（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是 y軸的拋物線的解析式形式為 y = ax （a # 0）.3 .二次函數(shù)y = ax * bx *c的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.22h = _b_ k = 4ac-b24 .二次函數(shù)y=ax +bx +c用配方法可化成：y =a（x-h j+k的形式，其中2a' 4a5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式g y = ax2 ； y = ax2 + k ； y=ax-hf .y =a(x-h 2 +k；

18、 y =ax2 +bx+c6 .拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng) a A0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a <0時(shí)，開(kāi)口向下;相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同 平行于y軸（或重合）的直線記作 x = h .特別地，y軸記作直線x = 0.7 .頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)， 如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、 開(kāi)口大小完全相同，只是 頂點(diǎn)的位置不同.8 .求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法y tx2 4bx % t lx 止:Jac2-（ b 4a3）士x =b（1）公式法：一 C 2a，F(xiàn)a,頂點(diǎn)是,對(duì)稱軸是直線 2a.2（2）配方法：運(yùn)用配方的

19、方法，將拋物線的解析式化為y = a（x-h） +k的形式，得到頂點(diǎn)為（h , k）,對(duì)稱軸是直線（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失29 .拋物線丫=2* +bx+C中，a,b,c的作用（1） a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與2v =ax中的a完全一樣.（2）b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y=ax2*bx+C的對(duì)稱軸是直線xV,故：b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸;0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在b 0 y軸左側(cè)；a（即a、b異

20、號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 y軸右側(cè).(3)c的大小決定拋物線y=ax +bx+c與y軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)x=0時(shí)，y=c,：拋物線y =ax *bx*c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0, C）：函新解析武開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2y = ax當(dāng)a >0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a <0時(shí)，開(kāi)口向下。x = 0 (y 軸)(0,0)2y =ax +kx = 0 (y 軸)(0, k)1,2y = a(x -h )x = h(h,0)2y =a(x h ) +kx = h(h, k)2y = ax + bx + cbx =2ab 4ac -b2(2a' 4a )11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式c=0,拋

21、物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；c> 0,與y軸交于正半軸；c<0, 與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換 時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在b一 .-0y軸右側(cè)，則 a .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像 特征如下：(1) 一般式:y =ax2 +bx+c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式,2,(2)頂點(diǎn)式：y = a (x h)+k .已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.(3)交點(diǎn)式：已知圖像與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式：y = a(X %(X X2 ).12.直線與拋物線的交點(diǎn)(1) y軸與拋物線y =ax2+bx +c得交點(diǎn)為(0, C)._2(2)與y軸

22、平行的直線x = h與拋物線y=ax+ bx+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2+bh+c).(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)(x 1,0) 、 (x2,0)二次函數(shù)y = ax +bx*c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定: 有兩個(gè)交點(diǎn) u >0u 拋物線與x軸相交;有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在 x軸上)u A=0u 拋物線與x軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)之色<0u拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有 0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)

23、的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k,則橫坐標(biāo)是2ax +bx +c = k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2(5)一次函數(shù)y =kx n(k亡0 )的圖像i與二次函數(shù)ybx c(a k°)的圖像g的交點(diǎn)，由方程組l y =kx nyqx2 4bx九的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí) U l與G有兩個(gè)交點(diǎn)；方程組只有一組解時(shí)U l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí) U l與G沒(méi)有交點(diǎn).A(Xi,0 > B(x2,0)由于 xi、（6）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y = ax? * bx * c與x軸兩交點(diǎn)為2X2是方程ax +bx +c =0的兩個(gè)根，故bx1x2 =，x1 x24cb2 _

24、4acaAB = xi -x2 =xi - x2 x1 - x2- 4xix2 =第二部分典型習(xí)題1 .拋物線y = x2 + 2x 2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A. (2, -2) B. (1, -2) C. (1, 3)D. (1, 3)_ 22 .已知二次函數(shù)y =ax bx c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A. ab>0, c>0 B. ab>0, c<0 C. ab< 0, c>0 D. ab<0, c<03 .二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A . a>0,b<0,c>0B,a<0,b<0,c>0C . a<0,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>04 .如圖，已知&ABC中，bc=& bc上的高h(yuǎn) = 4 , d為bc上一點(diǎn)，EF / /BC,交ab于點(diǎn)e,交ac于點(diǎn)f （ef不過(guò)a、B）,設(shè)E到BC的距離為x ,則而ef的面積y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（）5 .拋物線y = X 2x3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為2 ,6.已知二次函數(shù)y=kx+（2k 1）XT與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)