中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：歸納與猜想

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：歸納與猜想三.歸納與猜想一、 知識(shí)綜述歸納是一種重要的推理方法，是根據(jù)具體事實(shí)和特殊現(xiàn) 象，通過實(shí)驗(yàn)、觀察、比較、概括出一般的原理和結(jié)論。猜 想是一種直覺思維，它是通過對(duì)研究對(duì)象的實(shí)驗(yàn)、觀察和歸 納、猜想它的規(guī)律和結(jié)論的一種思維方法。猜想往往依據(jù)直覺來獲得，而恰當(dāng)?shù)臍w納可以使猜想更 準(zhǔn)確。我們?cè)谶M(jìn)行歸納和猜想時(shí)，要善于從變化的特殊性中 尋找出不變的本質(zhì)和規(guī)律。二、 理解掌握例1、用等號(hào)或不等號(hào)填空：比較2x與x2+1的大小1當(dāng)x=2時(shí)，2xx2+1;2當(dāng)x=1時(shí)，2xx2+1;3當(dāng)x=-1時(shí)，2xx2+1.可以推測(cè)：當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，2xx2+1.分析：本題是通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)和猜想一

2、般規(guī)律題，正確計(jì) 算和發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵。解：v,=,v；w。例2、觀察下列分母有理化的計(jì)算:從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算:分析：解本題時(shí)，要抓住分每有理化后的結(jié)果都是兩數(shù) 之差，且可以錯(cuò)位相消。還要注意相消后所剩下的是什么。解：=X)1=x%例3、觀察下列數(shù)表:34行345第二行第三行第四行列第二列第三列第四列根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，猜想第6行與第6列的交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為_，第n行與第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為分析：本題要求的是同行同列交叉點(diǎn)上的數(shù)，因此，必 須先研究同行同列交叉點(diǎn)上的數(shù)有什么規(guī)律，然后利用此規(guī) 律解題。解：11,2n1.例4、將一個(gè)邊長為1的正方形紙，剪成四個(gè)大小一樣 的正方

3、形，然后將其中的一個(gè)按同樣的方法剪成四個(gè)正方 形，如此循環(huán)下去，觀察下列圖形和所給表格中的數(shù)據(jù)后填 空格。操作的次數(shù)12310.n正方形個(gè)數(shù)4710分析：解本題的關(guān)鍵是：先歸納總結(jié)操作的次數(shù)與正方 形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，再猜想空格中的結(jié)果。解：操作的次數(shù)是10時(shí)，正方形個(gè)數(shù)為31;操作的次 數(shù)是n時(shí)，正方形個(gè)數(shù)為1+3n.例5、下面三個(gè)圖是由若干盆花組成形如三角形的圖案， 每條邊有n盆花，每個(gè)圖案花盆總數(shù)為S,按此規(guī)律推斷，S與n的關(guān)系式是_ 。n=2n=3n=4S=3S=6S=9分析：題目給出了“每條邊有n盆花”，而三角形有三 條邊，因此，三條邊上的的花盆數(shù)量為3n,但每個(gè)頂點(diǎn)上的 花盆用了兩次

4、，必須減去。所以S=3n3。解：S=3n3。三、拓寬應(yīng)用例6、如下表：方程1,方程2,方程3,，是按 照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1,并將它的解填在表 中的空白處：序號(hào)方程方程的解_3.若方程的解是，求a,b的值，該方程是不是中所給出的一列方程中的一個(gè)方程？如果是，它是第幾個(gè)方 程？請(qǐng)寫出這列方程中的第n個(gè)方程和它的解，并驗(yàn)證所寫出的解適合第n個(gè)方程。分析：通過解方程不難求出：x1=3,x2=4,將，代入方程易求a=12,b=5。本題較難的是寫出第n個(gè)方程和它的解，解決難點(diǎn)的關(guān) 鍵是觀察表格中方程和它們的解的排列規(guī)律，特別是每個(gè)變 化的數(shù)與序號(hào)的關(guān)系。解：解方程得，x1=3,x2=4;將，

5、代入方程，易求得a=12,b=5;第n個(gè)方程是：，它的解是：。例7、圖形的操作過程：在圖1中，將線段向右平移1個(gè)單位到，得到封閉圖在圖2中，將折線向右平移1個(gè)單位到，得到封閉圖形在圖3中，請(qǐng)你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線，同 樣向右平移1個(gè)單位，從而得到一個(gè)封閉的圖形，并用斜線 畫出陰影；請(qǐng)你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余 部分的面積：聯(lián)想與探索：如圖4,在一塊矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路， 請(qǐng)你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜 想是正確的。分析：本題考查的內(nèi)容較多，有動(dòng)手操作、有計(jì)算、有 歸納猜想，還有想象。和兩問并不困難，第問可想象將中間 的小路從中抽去，再拼起

6、來后仍然是一個(gè)矩形，這時(shí)它的兩 邊長分別是a1,b，這樣面積就不難求了。解：=ab-b；=ab-b；=ab b;空白部分表示的草地面積是abbo例&閱讀下列材料，按要求解答問題。觀察下面兩塊三角尺它們有一個(gè)共同的性質(zhì)：/B。我們由此出發(fā)來進(jìn)行思考。在圖a中，作斜邊上的高cD,由于/B=30,可知c=2b, /AcD=30,于是AD= BD=由厶cDBAAcB,可知，即，同理，于是。圖a圖b圖c對(duì)于圖b由勾股定理有，由于b=c,故也有，這兩塊三 角尺都具有性質(zhì)，在ABc中，如果有一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè) 內(nèi)角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形。兩塊三角尺 就都是特殊的倍角三角形，上面的性質(zhì)仍

7、然成立嗎？暫時(shí)把 我們的設(shè)想作為一個(gè)猜測(cè)：如圖5在厶ABc中，若/cAB=2/ABc,貝畀在上述由 三角尺的性質(zhì)到“猜測(cè)”這一認(rèn)識(shí)過程中，用到了下列四種 數(shù)學(xué)思想方法中的哪一種？選出一個(gè)正確的將其序號(hào)填在 括號(hào)內(nèi)分類的思想方法；轉(zhuǎn)化的思想方法；由特殊到一般的思想方法；數(shù)形結(jié)合的思想方法。A=2這個(gè)猜測(cè)是否正確？請(qǐng)證明。分析：通過閱讀可以發(fā)現(xiàn)：本題的研究是先從特殊情況 入手，再得出一般情況的結(jié)論，因此，主要運(yùn)用的是由特殊 到一般的思想方法。故選；一般情況下的證明雖然方法較 多，但是有一定的難度，應(yīng)加強(qiáng)解題思路的分析。解：；猜測(cè)是正確的。證明：延長BA到D,使AD=Ac=b連結(jié)cD,則/AcD=/

8、ADc,/BAc=ZAcD+ZADc/BAc=2/ ADcBAc=2/ABcZABc=ZADc,且Bc=cD=a,.AAccBD想一想：還有其他證明方法嗎？四、鞏固訓(xùn)練觀察下列有規(guī)律的數(shù)，并根據(jù)規(guī)律寫出第五個(gè)數(shù)：觀察下列圖形并填表。11梯形的個(gè)數(shù)123456n周長581114下列每個(gè)圖形都是若干棋子圍成的正方形圖案，圖案的每條邊上都有n個(gè)棋子，每個(gè)圖案的棋子總數(shù)為S,按下圖的排列規(guī)律推斷，S與n之間的關(guān)系可以用式子_來表示。?n=2?S=4n=3?S=8n=4?S=12n=5S=16判斷下列各式是否成立，你認(rèn)為成立的請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“/，不成立的打“X”你判斷完以上各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)用含有n的式子將規(guī)律表示出來，并注明n的取值范圍： _請(qǐng)用數(shù)學(xué)知識(shí)說明你所寫的式子的正確性。已知Ac、AB是Oo的弦，AB Ac。如圖9,能否在AB上確定一個(gè)點(diǎn)E,使Ac=AE?AB,為什么？如圖10,在條件的 結(jié)論下延長Ec到P,連結(jié)PB如果PB=PE