概率論與數(shù)理統(tǒng)計 參數(shù)估計

1、數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 引言引言 上一講，我們介紹了總體、樣本、上一講，我們介紹了總體、樣本、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量和抽樣分布的概簡單隨機樣本、統(tǒng)計量和抽樣分布的概念，介紹了統(tǒng)計中常用的三大分布，給念，介紹了統(tǒng)計中常用的三大分布，給出了幾個重要的抽樣分布定理出了幾個重要的抽樣分布定理 . 它們是它們是進一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)進一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ) .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 總體總體樣樣本本統(tǒng)計量統(tǒng)計量描述描述作出推斷作出推斷隨機抽樣隨機抽樣數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 現(xiàn)在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計推斷問題現(xiàn)在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計推斷問題 參數(shù)估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估參數(shù)估計問題是利用從總體抽樣得到的

2、信息來估計總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù)計總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù). 參數(shù)估計參數(shù)估計估計廢品率估計廢品率估計新生兒的體重估計新生兒的體重 估計降雨量估計降雨量在參數(shù)估計問題在參數(shù)估計問題中，假定總體分中，假定總體分布形式已知，未布形式已知，未知的僅僅是一個知的僅僅是一個或幾個參數(shù)或幾個參數(shù).數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 這類問題稱為這類問題稱為參數(shù)估計參數(shù)估計.參數(shù)估計問題的一般提法參數(shù)估計問題的一般提法X1,X2,Xn要依據(jù)該樣本對參數(shù)要依據(jù)該樣本對參數(shù) 作出估計作出估計, 或估計或估計 的某個已知函數(shù)的某個已知函數(shù) .)(g現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本 設(shè)有一個統(tǒng)計總體設(shè)有

3、一個統(tǒng)計總體 , 總體的分布函數(shù)總體的分布函數(shù)為為F( x, ) ，其中，其中 為未知參數(shù)為未知參數(shù) ( 可以是向量可以是向量) . 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 參數(shù)估計參數(shù)估計點估計點估計區(qū)間估計區(qū)間估計數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 )1 . 0,(2 N（假定身高服從正態(tài)分布（假定身高服從正態(tài)分布 ） 設(shè)這設(shè)這5個數(shù)是個數(shù)是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估計估計 為為1.68，這是這是點估計點估計.這是這是區(qū)間估計區(qū)間估計.估計估計 在區(qū)間在區(qū)間 1.57, 1.84 內(nèi)，內(nèi)，例如我們要估計某隊男生的平均身高例如我們要估計某隊男生的平均身高. 現(xiàn)從該總體選取容量為現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣

4、本，我們的任的樣本，我們的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（5個數(shù)）求出總體均值個數(shù)）求出總體均值 的估計的估計. 而全部信息就由這而全部信息就由這5個數(shù)組成個數(shù)組成 . 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 一、點估計概念一、點估計概念隨機抽查隨機抽查100個嬰兒個嬰兒 , ,得得100個體重數(shù)據(jù)個體重數(shù)據(jù) 10,7,6,6.5,5,5.2, 呢呢 ? ? 據(jù)此據(jù)此, ,我們應(yīng)如何估計我們應(yīng)如何估計和和而全部信息就由這而全部信息就由這100個數(shù)組成個數(shù)組成 .例例1 已知某地區(qū)新生嬰兒的體重已知某地區(qū)新生嬰兒的體重 , , 2,XN ( ,) 未知未知數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 二、尋求估計量的方法二、尋求估

5、計量的方法1. 矩估計法矩估計法2. 極大似然法極大似然法數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 1. 矩估計法矩估計法 矩估計法是英國統(tǒng)計學(xué)家矩估計法是英國統(tǒng)計學(xué)家K.皮爾遜皮爾遜最早提出來的最早提出來的 .由辛欽定理由辛欽定理 ,若總體若總體 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 有限有限, E X X則有則有11niiXXn ()PE X 11nkkiiAXn ()(1,2,)PkkE Xk 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 這表明這表明 , 當(dāng)樣本容量很大時當(dāng)樣本容量很大時 , 在統(tǒng)計上在統(tǒng)計上 , 可以可以用樣本矩去估計總體矩用樣本矩去估計總體矩 . 這一事實導(dǎo)出矩估計法這一事實導(dǎo)出矩估計法.定義定義用樣本原點矩估計相應(yīng)的總體原點矩用樣

6、本原點矩估計相應(yīng)的總體原點矩 , 這種參數(shù)點估計法稱為這種參數(shù)點估計法稱為矩估計法矩估計法 . 理論依據(jù)理論依據(jù): 大數(shù)定律大數(shù)定律數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例2 設(shè)總體設(shè)總體 服從服從 上的均勻分布上的均勻分布, , 是未是未知參數(shù)知參數(shù), , 是取自總體是取自總體 的樣本的樣本, ,求求 的矩估的矩估計量計量. . X, 0 0nXX,1X,2)(XEX2解解 因為因為 令令 ,即得即得 的矩估計量的矩估計量:X2數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例例1 設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度為的概率密度為其它, 010,) 1()(xxxf 其中其中 是未知參數(shù)是未知參數(shù) , X1 , X2 , , Xn 是取自是取自 X

7、的樣本的樣本,1 求參數(shù)求參數(shù) 的矩估計的矩估計數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 2. 最大似然法最大似然法 它首先是由德國數(shù)學(xué)家它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯高斯在在1821年提出的年提出的 . 后后來由英國統(tǒng)計學(xué)家來由英國統(tǒng)計學(xué)家費歇費歇于于1922年重新提出，并證明年重新提出，并證明了一些性質(zhì)。因此，這個方法常歸功于他。了一些性質(zhì)。因此，這個方法常歸功于他。GaussFisher數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 最大似然法的基本思想最大似然法的基本思想 先看一個簡單例子先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過一只野兔從前方竄過 .是誰打中的呢？是誰打中的呢？ 某位同學(xué)與一位獵人一起外某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵出打獵 .如果要

8、你推測，如果要你推測，你會如何想呢你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下 .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 你就會想，只發(fā)一槍便打中你就會想，只發(fā)一槍便打中, 獵人命中的概率獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率 . 看來這一槍是獵人看來這一槍是獵人射中的射中的 . 這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想基本思想 .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 最大似然估計原理：最大似然估計原理： 當(dāng)給定樣本當(dāng)給定樣本X1,X2,Xn時，定義時，定義似然函數(shù)似然函數(shù)為：為：這里這里 x1, x2 , xn 是樣本的觀察值是樣本的觀

9、察值 .111221122( )( ; ,)( ;,)(; ) (; )(; )nnnnnLPxxPXx XxXxP XxP XxP Xx112( )( ; ,)( ; ) ( ; )( ; )nnLfxxf xf xf x數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 )(max)( LL 最大似然估計法最大似然估計法就是用使就是用使 達到最大值的達到最大值的 去估計去估計 . )(L 稱稱 為為 的的最大似然估計值最大似然估計值 . 看作參數(shù)看作參數(shù) 的函數(shù)，它可作為的函數(shù)，它可作為 將以多大可將以多大可能產(chǎn)生樣本值能產(chǎn)生樣本值 x1, x2, ,xn 的一種度量的一種度量 .)(

10、L 而相應(yīng)的而相應(yīng)的統(tǒng)計量統(tǒng)計量稱為稱為 的的最大似然估計量最大似然估計量 .1(,)n XX數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例2 設(shè)總體設(shè)總體X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布,試求試求 的的極大似然估計值。極大似然估計值。解解 設(shè)設(shè) 是一組樣本觀測值是一組樣本觀測值,則似然函數(shù)為則似然函數(shù)為nxxx,21112,0,1,( )( ) ()()0,inxiinexinLf x f xf xelseelsenixeixnnii, 0, 1, 0,1數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 niixnL1ln)(ln令0)(ln1niixnL解得解得 的極大似然估計值為的極大似然估計值為xxnnii11所以當(dāng)所以當(dāng) 時，時

11、， 取對數(shù)取對數(shù)), 1(0nixi0)(L數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 L(p)= P(X=x1, X=xn) 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自總體是取自總體 XB(1, p) 的一個樣的一個樣本，求參數(shù)本，求參數(shù)p的最大似然估計量的最大似然估計量.nixxiipp11)1 (解：解：似然函數(shù)似然函數(shù)為為: ppXi110niiniixnxpp11)1 (數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 對對p求導(dǎo)并令其為求導(dǎo)并令其為0，0)(111)(ln11niiniixnpxpdppLdxxnpnii11即為即為 p 的的最大似然估計值最大似然估計值 .)1ln()()ln()(ln11pxnpxpLniinii對數(shù)似然函數(shù)對數(shù)似然函

12、數(shù)為：為：數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 (4) 在最大值點的表達式中在最大值點的表達式中, 用樣本值代入就用樣本值代入就 得參數(shù)的得參數(shù)的最大似然估計值最大似然估計值 .求最大似然估計求最大似然估計(MLE)的一般步驟是：的一般步驟是： (1) 由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合分布率由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合分布率(或聯(lián)或聯(lián)合密度合密度); (2) 把樣本聯(lián)合分布率把樣本聯(lián)合分布率 ( 或聯(lián)合密度或聯(lián)合密度 ) 中自變中自變 量看成已知常數(shù)量看成已知常數(shù),而把參數(shù)而把參數(shù) 看作自變量看作自變量,得到得到似然似然 函數(shù)函數(shù)L( ); (3) 求似然函數(shù)求似然函數(shù)L( ) 的最大值點的最大值點(常常轉(zhuǎn)化為常常轉(zhuǎn)化為求求

13、ln L( )的最大值點的最大值點) ，即，即 的的MLE; 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度為的概率密度為其它, 010,) 1()(xxxf 其中其中 是未知參數(shù)是未知參數(shù) , X1 , X2 , , Xn 是取自是取自 X 的樣本的樣本,1 求參數(shù)求參數(shù) 的極大似然估計。的極大似然估計。數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例例6 設(shè)總體設(shè)總體 X N( ) , 未知未知 . 是來自是來自 X 的樣本值的樣本值 , 試求試求 的最大似然估計量的最大似然估計量 .1,nxx2, 2, 2, 似然函數(shù)為似然函數(shù)為 解解X 的概率密度為的概率密度為 xexfx,21)(222)( 222()211( ,

14、)2ixniL e 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 222()211( ,)2ixniL e 2222211(2 )()exp() 2nnniix 于是于是22211ln(2 )ln()222niinnLnLx 令令211()0niiLnLxn 2222211()022()niinLnLx 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 11niixxn 2211()niixxn 解得解得的最大似然估計量的最大似然估計量為為2, ,X 2211()niiXXn 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 第二節(jié)第二節(jié) 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)無偏性無偏性有效性有效性相合性相合性數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 樣本均值是否是樣本均值是否是 的一個好的估計量？的一個好的估

15、計量？ (2) 怎樣決定一個估計量是否比另一個估計量怎樣決定一個估計量是否比另一個估計量“好好”？樣本方差是否是樣本方差是否是 的一個好的估計量？的一個好的估計量？2 這就需要討論以下幾個問題這就需要討論以下幾個問題: :(1) 我們希望一個我們希望一個“好的好的”估計量具有什么特性？估計量具有什么特性？(3) 如何求得合理的估計量？如何求得合理的估計量？XN( )2, 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：1無偏性無偏性2有效性有效性3相合性相合性這里我們重點介紹前面兩個標(biāo)準(zhǔn)這里我們重點介紹前面兩個標(biāo)準(zhǔn) .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到估計量是隨機

16、變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值不同的估計值 . 我們希望估計值在未知參數(shù)真值附我們希望估計值在未知參數(shù)真值附近擺動，而它的期望值等于未知參數(shù)的真值近擺動，而它的期望值等于未知參數(shù)的真值. 這就這就導(dǎo)致無偏性這個標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)致無偏性這個標(biāo)準(zhǔn) . 一、無偏性一、無偏性 )(E則稱則稱 為為 的的無偏估計無偏估計 . ),(1nXX 設(shè)設(shè)是未知參數(shù)是未知參數(shù) 的估計量，若的估計量，若 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例如，用樣本均值作為總體均值的估計時，例如，用樣本均值作為總體均值的估計時，雖無法說明一次估計所產(chǎn)生的偏差，但這種偏差隨雖無法說明一次估計所產(chǎn)生的偏差，但這種偏差隨機地在機地在0的周圍波動，對同一

17、統(tǒng)計問題大量重復(fù)使的周圍波動，對同一統(tǒng)計問題大量重復(fù)使用不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差用不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差 .無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求 .無偏性的實際意義是指沒有系統(tǒng)性的偏差無偏性的實際意義是指沒有系統(tǒng)性的偏差 .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例例1 設(shè)總體設(shè)總體 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布 , 其其概率密概率密 度度為為 1,0,0 ,x exfx 其其它它, ,0 其其中中為未知為未知,X1,X2,Xn是取自總體的一個樣本是取自總體的一個樣本 ,試證試證 和和 誰是參數(shù)誰是參數(shù) 的的無偏估計無偏估計量量1min(,)nXZXX 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計

18、證證 ,E X E X 所以所以 是參數(shù)是參數(shù) 的的無偏估計量無偏估計量 .X而而1min(,)nZXX 具有概率密度具有概率密度 min,0,;0 ,nx nexfx 其其它它, ,故知故知 ,E Zn E nZ 即即 也是參數(shù)也是參數(shù) 的的無偏估計量無偏估計量 .nZ數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 所以無偏估計以方差小者為好所以無偏估計以方差小者為好, 這就引進了這就引進了有效性有效性 這這 一概念一概念 .的大小來決定二者誰更優(yōu)的大小來決定二者誰更優(yōu) .21)( E和和2 1 一個參數(shù)往往有不止一個無偏估計一個參數(shù)往往有不止一個無偏估計, 若若 和和都是參數(shù)都是參數(shù) 的無偏估計量，的無偏估計量，我們可

19、以比較我們可以比較22)( E211)()( ED由于由于222)()( ED數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 二、有效性二、有效性D( ) D( )2 1 則稱則稱 較較 有效有效 .2 1 都是參數(shù)都是參數(shù) 的無偏估計量，若對的無偏估計量，若對任意任意 ，),(11nXX ),(122nXX 1 設(shè)設(shè)和和 且至少對于且至少對于某個某個 上式中的不等號成立，上式中的不等號成立，數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例例2 (續(xù)例續(xù)例1) 試證試證 當(dāng)當(dāng) n 1 時時 的無偏估計量的無偏估計量 較較 哪個更有效哪個更有效 .證證 2,D X 221111()()nniiiiD XDXD Xnnn故有故有 22,D Zn 而而故有

20、故有 2.D nZ 當(dāng)當(dāng) n 1 時時 , (),D nZD X XnZ故故 較較 有效有效 .XnZ數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 三、相合性三、相合性任意任意 ，當(dāng)，當(dāng) 時時 依概率收斂依概率收斂于于 , 則稱則稱 為為 的的相合估計量相合估計量.設(shè)設(shè)n 是參數(shù)是參數(shù) 的估計量，若對于的估計量，若對于1(,)n XX1(,)n XX為為 的的相合估計量相合估計量0 對于任意對于任意 , 有有l(wèi)im|1,nP數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 第三節(jié)第三節(jié) 區(qū)間估計區(qū)間估計置信區(qū)間定義置信區(qū)間定義置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 引言引言 前面，我們討論了參數(shù)點估計前面，我們討論了參數(shù)點估計. 它是用樣本算它是

21、用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù)得的一個值去估計未知參數(shù). 但是，點估計值僅僅但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大值的誤差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計正好區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷彌補了點估計的這個缺陷 .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 一、一、 置信區(qū)間定義置信區(qū)間定義 滿足滿足設(shè)設(shè) 是是 一個待估參數(shù)，給定一個待估參數(shù)，給定, 0 X1,X2,Xn確定的兩個統(tǒng)計量確定的兩個統(tǒng)計量若由樣本若由樣本1P 12(,)n XXX 12(,)n XXX () 和和 分別稱為分別稱為置信下限和置信上限置

22、信下限和置信上限. 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平（置信度的置信水平（置信度 )為為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 1( , ) 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 這里有兩個要求這里有兩個要求:可見，可見， 對參數(shù)對參數(shù) 作區(qū)間估計，就是要設(shè)法找出兩個作區(qū)間估計，就是要設(shè)法找出兩個只依賴于樣本的界限只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量). 一旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把 估計在區(qū)間估計在區(qū)間 內(nèi)內(nèi) . 12(,)n XXX 12(,)n XXX () ( , ) 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度可靠度的條件下盡可能提

23、高精度.1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間 內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大 .即要求估計盡量可靠即要求估計盡量可靠. ( , ) P 2. 估計的精度要盡可能的高估計的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間長度如要求區(qū)間長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則. 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 在求置信區(qū)間時，要查表求分位點在求置信區(qū)間時，要查表求分位點.二、置信區(qū)間的求法二、置信區(qū)間的求法()1P aXb()()1P XbP Xa ()1,2P Xb()2P Xa 設(shè)設(shè) , 對隨機變量對隨機變量X，稱滿足，稱滿足的點的點 為為

24、X的概率分布的上的概率分布的上 分位點分位點. x01()P Xx定義定義()1P Xx數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 若若 X 為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量 , 則有則有12,ax 2.bx 所求所求置信區(qū)間為置信區(qū)間為122(,)xx ()1,2P Xb()2P Xa數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 N(0, 1)選選 的點估計為的點估計為 , ,X求參數(shù)求參數(shù) 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例1 設(shè)設(shè)X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取明確問題明確問題,是求什么是求什么參數(shù)的置信區(qū)間參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？置信水平是多少？尋找未知參尋找未知參數(shù)的

25、一個良數(shù)的一個良好估計好估計.解解 尋找一個待估參數(shù)和尋找一個待估參數(shù)和統(tǒng)計量的函數(shù)統(tǒng)計量的函數(shù) ，要求，要求其分布為已知其分布為已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率.數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 ,1 對給定的置信水平對給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得,2 u對于給定的置信水平對于給定的置信水平, 根據(jù)根據(jù)U的分布，確定一的分布，確定一個區(qū)間個區(qū)間, 使得使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平取值于該區(qū)間的概率為置信水平. 1|2unXP使使數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 122unXunXP從中解得從中解得,1 對給定的置信水平對給定的置信水平查正態(tài)分布表得

26、查正態(tài)分布表得,2 u 1|2unXP使使數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 ,22 unXunX也可簡記為也可簡記為2()Xun 122unXunXP于是所求于是所求 的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 單個總體單個總體 的情況的情況兩個總體兩個總體 的情況的情況2( ,)N 211(,),N 222(,)N 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 一、單個總體一、單個總體 的情況的情況2( ,)N 2( ,),XN 并設(shè)并設(shè) 為來自總體的為來自總體的 1,nXX樣本樣本 ,2,X S分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差 .均值均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間1.12為已知為已知(0,1)XNn 可得到可得到 的的

27、置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1 22(,)XuXunn2()Xun 或或數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 22為未知為未知(1)Xt nSn 可得到可得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1 此分布不依賴于此分布不依賴于任何未知參數(shù)任何未知參數(shù)2|(1)1XPtnSn 由由22(1),(1)SSXtnXtnnn2(1)SXtnn或或數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例例1 有一大批糖果有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機地取現(xiàn)從中隨機地取 16 袋袋 , 稱稱得重量得重量(以克計以克計)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 50

28、6 502 509 496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總試求總體均值體均值 的置信水平的置信水平0.95為的置信區(qū)間為的置信區(qū)間.解解 這里這里10.95,20.025,115,n0.025(15)2.1315.t 1611503.75 ,16iixx 16211()6.2022 .15iisxx 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 2(1)sxtnn于是得到于是得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間為為 0.95即即(500.4,507.1)數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 方差方差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間22.222(1)(1)nSn 2221222(1)(1)(1

29、)1nSP nn 由由可得到可得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 2222212(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn 2數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 22122(1)(1)(1)1nSPnn 由由可得到標(biāo)準(zhǔn)差可得到標(biāo)準(zhǔn)差 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 2221211(,)(1)(1)nSnSnn 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例例2 有一大批糖果有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機地取現(xiàn)從中隨機地取 16 袋袋 , 稱稱得重量得重量(以克計以克計)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509

30、 496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總試求總體標(biāo)準(zhǔn)差體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平的置信水平0.95為的置信區(qū)間為的置信區(qū)間.解解 這里這里20.025,120.975,115,n20.025(15)27.488, 20.975(15)6.262. 16211()6.2022 .15iisxx 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 于是得到于是得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為0.952221211(,)(1)(1)nSnSnn 即即(4.58,9.60).數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 二、兩個總體二、兩個總體 的情況的情況211(,),N 222(,)N 設(shè)已給定置

31、信水平為設(shè)已給定置信水平為 , 并設(shè)并設(shè) 1 112,nXXX是來自第一個總體的樣本是來自第一個總體的樣本 , 212,nY YY是來自第二是來自第二個總體的樣本個總體的樣本 ,這兩個樣本相互獨立這兩個樣本相互獨立 .且設(shè)且設(shè) 分別分別,X Y為第一、二個總體的樣本均值為第一、二個總體的樣本均值 , 2212,SS為第一、二為第一、二個總體的樣本方差個總體的樣本方差 . 兩個總體均值差兩個總體均值差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間12 1.12212,為已知為已知數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 2111(,),XN n2222(,)YN n因為因為 相互獨立相互獨立 ,X Y所以所以 相互獨立相互獨立 . ,X Y故

32、故22121212(,)XYN nn12221212()()(0,1)XYNnn 或或數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 2212212()XYunn于是得到于是得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 12 222212,為已知為已知2121212()()(2)11XYt nnSnn 其中其中2,SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 2121211(2)XYtnnSnn于是得到于是得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 12 其中其中2,SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例例3 為比較為比較 I

33、, 兩種型號步槍子彈的槍口兩種型號步槍子彈的槍口速度速度 ,隨機地取隨機地取 I 型子彈型子彈 10 發(fā)發(fā) ,得到槍口速度的平得到槍口速度的平 均值均值 為為 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 隨隨機地取機地取 型子彈型子彈 20 發(fā)發(fā) ,得到槍口速度的平均值為得到槍口速度的平均值為 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 假設(shè)兩總假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布.且生產(chǎn)過程可認(rèn)且生產(chǎn)過程可認(rèn)為方差相等為方差相等 .求兩總體均值差求兩總體均值差 的的置信水平為置信水平為 0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.1500(),xm s 211.10(),sm s 2496(),xm s 221.20().sm s 12 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 解解122121211(2)xxtnnsnn 依題意依題意 , 可認(rèn)為分別來自兩總體的樣本是可認(rèn)為分別來自兩總體的