考研數(shù)學(xué)高數(shù)部分模擬題的答案(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上考研數(shù)學(xué)高數(shù)部分模擬題的答案一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).）（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間-1,1上連續(xù)，則是函數(shù)的（ ） 跳躍間斷點(diǎn). 可去間斷點(diǎn). 無窮間斷點(diǎn). 震蕩間斷點(diǎn). 【答案】 【詳解】所以是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)故應(yīng)選.（2）曲線，漸近線的條數(shù)為 （ ） 0. 1. 2. 3.【答案】【詳解】 因?yàn)?，所以為垂直漸近線；又 ，所以y=0為水平漸近線；進(jìn)一步，=， = =，于是有斜漸近線：y = x. 故應(yīng)選.（3）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間 上有定義，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則 （ ）當(dāng)時(shí)，存在

2、，使. 對(duì)任何，有.當(dāng)時(shí)，存在，使.存在，使.【答案】 【詳解】由于在內(nèi)可導(dǎo). ，則在點(diǎn)連續(xù)，故.（4）設(shè)則 （ ） . . . .【答案】【詳解】故所以偏導(dǎo)數(shù)不存在所以偏導(dǎo)數(shù)存在應(yīng)選（5），則之間的大小順序?yàn)?（ ） 【答案】【詳解】（6）設(shè)非齊次線性微分方程有兩個(gè)不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是 （ ）. . . .【答案】.【詳解】由于是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解為，故應(yīng)選().(7) f(x)為二階可導(dǎo)函數(shù)設(shè)當(dāng)時(shí)，而的圖形如圖所示，則在內(nèi) ( ) (A)有3個(gè)極值點(diǎn)，2個(gè)拐點(diǎn) (B)有3個(gè)極值點(diǎn)，3個(gè)拐點(diǎn) (C)有2個(gè)極值點(diǎn)，3個(gè)拐點(diǎn)(D)有2個(gè)極

3、值點(diǎn)，2個(gè)拐點(diǎn) 【答案】 (C) 【分析】 f'(x)在處為0，在和的兩側(cè)f'(x)符號(hào)改變了，但在的兩側(cè)f'(x)的符號(hào)沒有改變，由取得極值的充分條件是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，不是極值點(diǎn)在的兩側(cè)g(x)的單調(diào)性發(fā)生了變化，即f'(x)的單調(diào)性發(fā)生了變化，則f"(x)在這三個(gè)點(diǎn)的兩側(cè)的符號(hào)發(fā)生了變化，因此，是曲線yf(x)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)選(C)（8）設(shè)yy(x)在0，)可導(dǎo)，在"x(0，)處的增量yy(xx)y(x)滿足，其中當(dāng)x0時(shí)是與x等價(jià)的無窮小，又y(0)1則y(x)等于 (A)(1x)ln(1x)1 (B)ln(1x)1 (C) (D)

4、1x. 【答案】 (A) 【分析】 本題實(shí)質(zhì)上是解微分方程的初值問題首先，將等式兩邊除以x，并令x0，注意 (可導(dǎo)必連續(xù)) 于是得 這是一階線性非齊次微分方程的初值問題，其為 由y(0)1得c1，所以y(1x)ln(1x)1，選(A)二、填空題（914小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.）（9） 極限 .【答案】2【詳解】由于當(dāng)，則.（10）設(shè)曲線在點(diǎn)(0，1)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，則【答案】0【詳解】曲線在點(diǎn)(0，1)處的切線斜率，所以，曲線的切線方程為yn(x0)1nx1，令y0得，因此，從而有（11） 方程確定隱函數(shù)，則 .【答案】0【詳解】把方程兩邊分別對(duì) x求導(dǎo)數(shù)得當(dāng)

5、x=0時(shí)，從原方程得y=0，所以0.（12） 已知方程有且只有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】（4,）【分析】 引入函數(shù)則方程. 因故函數(shù)f（x）有兩個(gè)駐點(diǎn)x11與x23.列表討論f（x）的單調(diào)性如下：x（）1（1,3）3（3,+）+00+f40此外，還有f（0）0,和，從而的圖像如右： 不難看出，當(dāng)k<0時(shí)f（x）k有唯一根，且為負(fù);當(dāng)k0時(shí)f（x）k有兩個(gè)根x10與x2=3;當(dāng)0<k<4時(shí)f（x）k有三個(gè)根，且都是正根;當(dāng)k4時(shí)f（x）k有兩個(gè)根，一個(gè)是x11，另一根x2>3;當(dāng)k>4時(shí)f（x）k有唯一根，且為正.故k的取值范圍為（4,+）.（13）

6、交換積分次序【答案】 【詳解】這是兩個(gè)累次積分之和，需將它們對(duì)應(yīng)二重積分的積分區(qū)域合并成一個(gè)區(qū)域，然后再交換積分次序 第一個(gè)累次積分對(duì)應(yīng)的積分區(qū)域是 第二個(gè)累次積分對(duì)應(yīng)的積分區(qū)域是 從而， . 于是，交換積分次序?yàn)橄葘?duì)y積分，后對(duì)x積分，得 (14) 滿足,，則 【答案】 【詳解】x0時(shí)，有xsinx， 所以原式 三、解答題（1523小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分10分） 設(shè)試求.【詳解】 令2xt，則 （16）（本題滿分11分）設(shè)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，并存在.若求，并證明在連續(xù)?！驹斀狻繒r(shí)于是當(dāng)時(shí)由連續(xù)性的運(yùn)算法則得到連續(xù).當(dāng)時(shí)即在也連續(xù)，因此，在

7、連續(xù)。（17）（本題滿分10分）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，（I）利用定義證明函數(shù)可導(dǎo)，且；（II）當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù)（I）【證明】【注】不能利用LHospital法則得到(II) 【證法1】根據(jù)題設(shè)，有，當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，從而 因而取得，故 即是以2為周期的周期函數(shù)【證法2】根據(jù)題設(shè)，有，對(duì)于，作換元，并注意到，則有，因而 于是即是以2為周期的周期函數(shù)【證法3】根據(jù)題設(shè)，有，當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，必有事實(shí)上，所以取得，所以即是以2為周期的周期函數(shù)（18）（本題滿分11分）求二元函數(shù)的極值?！驹斀狻?故則而二元函數(shù)存在極小值（19）（本題滿分10分）

8、計(jì)算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域.【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可.【詳解】積分區(qū)域如右圖.因?yàn)楦?hào)下的函數(shù)為關(guān)于x的一次函數(shù)，“先x后y”積分較容易，所以 （20）（本題滿分10分）設(shè)求證：函數(shù)滿足不等式【分析與證明】 先考察 方法1° 用泰勒公式。在處展開，有 分別取被展開點(diǎn)xa，b得 其中 +得因?yàn)橛忠虍?dāng)時(shí)嚴(yán)格單調(diào)下降方法2°引進(jìn)輔助函數(shù)利用單調(diào)證明不等式，將b改為x，分別考察輔助函數(shù)與 其中1axb.由 其中1<特別有 再由其中1于是，當(dāng)1a<x時(shí) 即G（x）此時(shí)單調(diào)增加，G（x）>G（a）=0特別有G(b)>0,即（

9、21） （本題滿分10分）求微分方程的通解.【詳解】齊次方程的特征方程為由此得對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程得從而所求解為（22）（本題滿分11分）設(shè)f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)，且f(a)f(b)1，證明：必存在，(a，b)使得【分析】 將方程分離變形為 知，在a，b上分別對(duì)函數(shù)，運(yùn)用拉格朗日中值定理，再組合可證得結(jié)論 【詳解】 設(shè)，由已知f(x)及在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，均滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此，存在，(a，b)，使得 及 兩式相比，及由f(a)f(b)1，有 .（23）（本題滿分11分）設(shè)D是位于曲線下方、x軸上方的無界區(qū)域 。(I) 求區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積V(a);(II) 當(dāng)a為何值時(shí)，V(a)最小? 并求此最小值.【分析】V(a)的可通過廣義積分進(jìn)行計(jì)算，再按通常方法求V(a) 的最值即可?！驹斀狻?(I)