第18講-平行四邊形

1、第18講平行四邊形讓平行線相交吧，讓我親眼目睹它們相交吧我會看到的,我還會宣稱它們已經相交了,但我仍然不會接受它。陀思妥耶夫斯 基知識方法掃描四邊形的問題主要涉及在一定條件下求邊長、角度、面積以及證明這些量之 間的等與不等的關系，四邊形的問題一般可以化歸為三角形問題來解決。平行四邊形是一種特殊的四邊形：兩組對邊平行的四邊形叫平行四邊形。 平行四邊形的性質是：對邊相等，對角相等，對角線互相平分。平行四邊形的判定方法有：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩 組對邊相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形經典例題解析例1（1988年全國初中數學聯賽試題）下面有四個命題：（1

2、）一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；（2）一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊（3）組對角相等且這一組對角的頂點所聯結的對角線平分另一條對角線的 四邊形是平行四邊形。（4）-組對角相等且這一組對角的頂點所連結的對角線被另一條對角線平分 的四邊形是平行四邊形。其中，正確的命題的個數是（）（A） 1（B） 2（C） 3（D） 4解命題（1）是假命題。如圖（1）中的四邊形ABCD,它滿足命題的條件, ZA=ZC, AB=CD,但它不是平行四邊形。命題（2）是假命題。如圖（2）,延長等腰AADE底邊ED至任意點O,以 O為對角錢的交點作平行四邊形ABCE,這時四邊形

3、ABCD滿足AD=BC且 AO=OC,但它不是平行四邊形。命題（4）也是假命題，如圖（3）,四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD, BD 垂直平分AC,但四邊形ABCD不是平行四邊形。下面證明命題（3）是真命題。如圖（4）,四邊形ABCD中，ZBAD=ZDCB, 且命題。如圖（4）,四邊形ABCD中，ZBAD=ZDCB,且OB=OD,以O為中 心，將AABD逆時針旋轉180。OB=OD, AD與重合,B與D重合，點A與射線OC上的點A環(huán)是C,則 ZBArD>ZBCDo （A，在線段 OC 上，非點 C）,或ZBATXZBCD（A，在線段OC的延長線上）都與ZBAfD= ZBAD= ZBC

4、D矛盾，所以A，即為C, 即OA=OX=OC,所以A，即為點C,即OA=OAZ=OC,所以四邊形ABCD是平 行四邊形。故選（A）。D例2. （1984年武漢市初二數學競賽試題）ABCD是 平行四邊形，以AC為邊在兩側各作一個正三角形ACR ACQo試證BPDQ為平行四邊形。證明 因AACP與AACQ都是正三角形，于是PA=AC=CQ=PC=AQO故四邊形PAQC為平行四邊形。 連結PQ交AC于O。則O點是AC的中點也是PQ的中點。連結BD,因ABCD是平行四邊形，故BD與AC互人 相平分，即BD的中點也是O。因為PO=QO, BO=DO,所以BPDQ為平行四邊形。例3. （1976年美國紐約

5、初中數學競賽試題）平行四邊形相鄰兩邊長5米和 6米，一條對角線長為8米，另一條對角線長為仮，求k。解 我們先來證明下面的的“平行四邊形定理S平行四邊形四邊的平方和等 于對角線的平方和。右圖中ABCD是平行四邊形。作CE丄AB, DF丄AB,垂 足為 E, Fo 顯然 BCEAADF,貝I BE=AF, CE二DF。 故 BD2+AC2BF2+FD2+AE2+CE2(AB+AF) 2+FD2+(AB-BE) 2+CE2(AB+BE) 2+CE2+(AB-BE) 2+CE22 (AB2+ BE2+CE2)= 2 (AB2+ BC2).下面運用這個性質解答原題，（VT）2+82=2（52+62）,

6、k=58.例4.（第12屆“希望杯”數學邀請賽培訓題）如圖，在AABC中，AB=AC, AD丄BC于D,點P在BC上，PE丄BC交BA的延長線于E,交AC于F。(1)求證:2AD二PE+PF：（2）平移PE,使P點在BC的延長線上，PE交BA的延長 線于E,交AC的延長線于F,寫出AD, PE, PF滿足的關系式, 并證明你的結論。HB解 (1)如圖，延長AD至A使A?D=AD,連結XC,延長EF交XC于F 在ZXABC中，AB二AC,且AD丄 BC,： AD平分BC,即BD=CD.乂 RtAADCRtAADC, AC=AC, ZACD=ZA,CD, AACFF,為等腰三角形，FP=FT.乂

7、ZCAD=ZCAD二ZEAD, AT:AB,：四邊形AATE是平行四邊形，: AAEFSAA2AD,EFEP+PFEP+PF,故 2AD 二 PE+PF。（2）AD、PE、PF滿足關系式2AD=PE-PF.如圖，延長AD到A，使A'D=AD,連接A，C并延長與EF相 交于F.則由知PF=PF，,且AA'F'E是平行四邊形， AA-EFS 2AD二PE-PF.例5. （1990年西安市初中數學競賽試題）在等腰三角形 ABC的兩腰AB.AC上分別取點E和F,使AE=CF,已知BC=2, 求證：EF>1.證明 作平行四邊形ABCH,在HC上截取HG二AE, 連結EG ,

8、顯然四邊形AEGH和BEGC也是平行四邊形， EG=AH=BC=2o CG=BE=AB-AE=AC-CF=AFo在厶EAF 與ZFCG 中，AE=CF, ZEAF=ZFCG,AF=CG,所以 EAFAFCGo 于是 EF二FG。因2EF二EF+FG>EG=2, ittEF>l.例6. （2001年北京市中學生數學競賽試題）如圖,在等腰AABC中,延長邊AB到點D,延長邊CA到點E,連結DE,恰有AD二BC二CE二DE。.求證:ZBAC=100。.證明 山圖及已知條件，AADE中，AD=ED. AADE 為等腰三角形，其底角ZEAD必為銳角，所以等腰三角形 ABC中，ZBAC為鈍角，

9、必是頂角。所以AB,AC是腰，有 AB=ACo過C作AD的平行線，與過D所作BC的平行線交于 點F,連結EE易知BCFD為平行四邊形，因此DB=CEBC=DEZEAD=ZECF.在 AADE 與 ZCEF 中，AD二CE,AE二DB二CF, ZEAD=ZECE 所 以 AADEACEF,于是ED=EF.但是ED二BC二DF, ADEF是個對邊三角形，ZEDF=60°o設 ZBAC=a ,貝ij ZADF=ZABC= 一° ,ZDAE=180°-a , ZADE= 2180°-2 Z DAE = 180°-2(180°-a)=2a-l

10、80°.由ZADF+ ZADE= ZEFD=60°.得""一°+ (2a-180°) =60°,解得 a=100°o2B|JZBAC=100°.o例7. (1963年武漢市數學競賽試題)在平行四邊形ABCD的邊AB, AD ± 向外形作兩個正方形ABMX, ADNYo求證：對角線AC與兩正方形的頂點X 與Y的聯線互相垂直。I證明.V ABMX, ADNY是正方形，ABCD是平/h/行四邊形，:.AX=AB=DC, AY=AD, ZXAB=ZYAD=90°, ABDC。 ZXAY=180

11、°-ZBAD=Z4,AAAXYADCA, .Z2=Z3,V Zl + Z3=90。， Zl + Z2=90°, /.AH±XYo 弓 三例8 .在等邊六邊形 ABCDEF中，/ /弋、ZFAB+ ZBCD + ZDEF = ZB + ZCDE+ZF,求證；”ZFAB= ZCDE, ZB = ZDEF、ZBCD = ZF./ /證明：如圖，在六邊形外作射線DG,使 、1/BCZEDG = ZABC,ZCDG = ZAFE.并在 DG ±截取 DG二AB。連接 AE, EG, GC,CAoZFAB+ ZBCD+ ZDEF = ZB + ZCDE+ZF,ZFA

12、B+ ZB + ZBCD+ ZCDE+ 乙 DEF + ZF = 4xl80w = 720",/. ZB + 乙 CDE + ZF = 360".AB = ED、BC = DG、ZABC = ZEDG、AABC= AEDG. :. AC=EG.同理，AE=CG.從而四邊形ACEG是平行四邊形。：.乙EAC=ZEGC. 故 ZEDC= ZDEG+ZEGC+ ZDCG=ZDEG+ ZEAC+ ZDCG=ZBAC+ ZEAC+ ZFAE= ZBAEZFAB= ZCDE.同理 ZB = ZDEF. ZBCD=ZF.同步訓練一選擇題1. 某平行四邊形對角線的長為x,y, 邊長為12,

13、則x,y的值可能是(A) 8 與 14(B) 10 與 14(C) 18 與 20(D) 10 與 382. (2003年山東省“KLT快靈通杯”初中數學競賽試題)已知四邊形 ABCD,從下列條件中：(1)ABCD； (2)BCAD； (3)AB=CD： (4)BC = AD； (5)ZA=ZC； (6)ZB=ZDo任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD是 平行四邊形”這一結論的情況有()(A) 4 種(B) 9 種(C) 13 種 (D) 15 種3. 如圖，在口ABCD中，E,F分別在邊BC, AB上，且FEAC, 那么圖中除了adec本身外與其面積相等的三角形共有()個。B(A) 1(B

14、) 2(C) 3(D) 44. (第9屆“希望杯”數學邀請賽試題)如圖，ejABCD中，ZABC=75。，AF±BC于F, AF交BD于E,若DE=2AB,則ZAED的大小是()(A) 60°(B) 65°(C) 70°(D) 75°,BN5（1993年哈爾濱市初中數學競賽試題）如圖，oABCD中，M, N分別是AD, AB上的點，且BM二ND,其交點為P,設ZCPB=a, ZCPD=p,貝lj （）（A） a=p （B） a>p （C） a<p（D） a» 的大小不能確定二填空題6. （1997年陜西省初中數學競賽試題）

15、已知aABCD中，E是AB的中點，AB=10,AC=9, DE=12,貝iJdABCD 的面積 S二D G7. 如圖，P為aABCD內一點過P點分別作AB, AD的平行線，交平行四邊形于E, F, G, H四點，若四邊形AHPE £ 的面積為3,四邊形PFCG的面積為5,則三角形PBD的 面積為/ H8. （1994年北京市初二數學競賽復試試題）如圖，六邊形ABCDEF中，ZA=ZB=ZC=ZD=ZE=ZE 且 AB + BC= 11, FA CD = 3, 貝lj BC+DE=ABF E9（第9屆“希望杯”數學邀請賽試題）已知平行四邊形ABCD的周 長為52,自頂點D作DE丄AB,

16、 DF丄BC, E、F為垂足， =5, DF=8,則BE+BF的長為10. （第14屆“五羊杯”初中數學競賽試題）五羊大學建立 分校，校本部與分樣隔著兩條平行的小河。如圖，IJ/11 表示小河甲，h/h表示小河乙，A為校本部大門，B為 分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋， 橋面垂直于河岸。圖中的尺寸是：屮河寬8m,乙河寬10m, A到屮河垂直距離40m, B到乙河垂直距離20m,兩河距 離100m, A, B兩點水平距離（與小河平行方向）120m, 為使A, B兩點間來往路程最短，兩座橋都按個口標而建， 點間來往的路程是 三解答題D若DE2那么，此時A, B兩nio11. （1997年江蘇省初中數學競賽試題） 已知四邊形 ABCD,從ABDC；AB二DC ；ADBC； ®AD=BC； ZA=ZC； ©ZB=ZD中取兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行在 RtAABC 中，ZACB = 9