練習(xí)冊第4章《振動》答案

1、第4章振動一、選擇題1(C) ， 2(B) ， 3(C) ，4(E) ，5(C) ， 6(D) ，7(B) ， 8(D) ，9(B) ， 10(C)二、填空題(1).、- /2 分、(2).22m/ k 、 2m / 2k(3).x0.04 cos( t1)2(4).0.04 cos(4 t1 )2(5).x210 2 cos(5t / 21 )2(6).0.05 m， - 0.205（或 - 36.9）(7).3/4， 2l / g(8).291 Hz 或 309 Hz- 21(9). 410m，2(10).4: 3三、計算題1如圖 1 所示，一定滑輪的半徑為 R，轉(zhuǎn)動慣量為 J，其上掛一輕

2、繩，繩的一端系一質(zhì)量為 m 的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如圖所示設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，繩與滑輪間無滑動，且忽略軸的摩擦力及空氣阻力現(xiàn)將物體 m 從平衡位置拉下一微小距離后放手，證明物體作簡諧振動，并求出其m角頻率解：取如圖 x 坐標(biāo)，平衡位置為原點(diǎn)O，向下為正， m 在平衡位置時彈簧已伸長 x0mgkx0圖 1設(shè) m 在 x 位置，分析受力 , 這時彈簧伸長 xx0NT1T2k (xx0 )由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律列方程：mgT1mamx0T1R T2R JT2 MgT1mgOaRx聯(lián)立解得akxm(J /R2)由于 x 系數(shù)為一負(fù)常數(shù)，故物體做簡諧振動，其角頻率為kkR2(J / R

3、2)mJ mR22在直立的 U 形管中裝有質(zhì)量為 m = 240 g 的水銀（密度為= 13.6 g/cm 3），管的截面積為1S = 0.30 cm2經(jīng)初始擾動后，水銀在管內(nèi)作微小振動不計各種阻力試列出振動微分方程，并求出振動周期解：建立豎直坐標(biāo)如圖，令微小振動中，兩臂水銀面相平時，水銀面坐標(biāo)為0，水銀的重力勢能為 0，則以右臂水銀面的坐標(biāo)為準(zhǔn)，在振動中任一時刻，水銀的運(yùn)動速度d x這v1 mv 2dt時振動中水銀的動能為，水銀的勢能（看作兩水銀面相平的狀態(tài)下，從左臂移高度2x）為 S gx2因振動中機(jī)械為 x 的一段水銀柱到右臂，則有質(zhì)量為S x 的水銀升高了高度能守恒1mv 2S gx

4、2常量2vx對 t 求導(dǎo)數(shù)可得mv d2S gxv0xd tO化簡md x 22S gx0d t 2這就是簡諧振動的微分方程由此可得振動角頻率2S gm振動周期T 2m1.09 s2S g3. 質(zhì)量 m = 10g 的小球與輕彈簧組成的振動系統(tǒng)，按 x0.5 cos(8 t1) 的規(guī)律作自由振3動，式中t 以秒作單位， x 以厘米為單位，求(1) 振動的角頻率、周期、振幅和初相；(2) 振動的速度、加速度的數(shù)值表達(dá)式；(3) 振動的能量 E；(4) 平均動能和平均勢能解： (1)A = 0.5 cm ；- 1；T=2 /= (1/4) s ； = /3= 8 s(2)v x4 10 2 sin

5、(8 t1 )(SI)3ax32210 2 cos(8t1) (SI)1 kA21 m3(3)EEKEP2 A2=7.90 10- 5J22(4)平均動能E K(1/ T ) T 1 mv 2 d t0 2(1/T )T 1m( 410 2 ) 2 sin2 (8t1) d t0 23= 3.95 10- 5J =1 E12同理EP- 5JE= 3.95 10224. 一質(zhì)量 m = 0.25 kg 的物體， 在彈簧的力作用下沿 x 軸運(yùn)動， 平衡位置在原點(diǎn) . 彈簧的勁度系數(shù) k = 25 N m- 1(1) 求振動的周期 T 和角頻率 (2) 如果振幅 A =15 cm ，t = 0 時物

6、體位于 x = 7.5 cm 處，且物體沿 x 軸反向運(yùn)動，求初速 v0 及初相 (3) 寫出振動的數(shù)值表達(dá)式解： (1)k / m10 s 1T2 /0.63 s(2) A = 15 cm，在由得 x0 0 ，t = 0 時， x0 = 7.5 cm ， v 0 0Ax02(v 0 /)2v 0A2x021.3 m/stg 1 ( v 0 / x0 )1或4/3133(3)x1510 2 cos(10t1)(SI)35. 如圖 5 所示，有一水平彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)k = 24 N/m ，重物的質(zhì)量m = 6 kg ，重物靜止在平衡位置上設(shè)以一水平恒力F =10 N 向左作用于物體 （不

7、計摩擦），使之由平衡位置向左運(yùn)動了0.05mFm 時撤去力 F當(dāng)重物運(yùn)動到左方最遠(yuǎn)位置時開始計時，求物體的運(yùn)動方程Ox圖 5解：設(shè)物體的運(yùn)動方程為xA c o s (t) 恒外力所做的功即為彈簧振子的能量：F 0.05 = 0.5 J當(dāng)物體運(yùn)動到左方最遠(yuǎn)位置時，彈簧的最大彈性勢能為0.5 J，即：1 kA22A 即振幅2按題目所述時刻計時，初相為物體運(yùn)動方程為0.5 J， A = 0.204 m k / m4 (rad/s)2= 2 rad/s = x0.204 cos(2t)(SI) 四 研討題1. 簡諧振動的初相是不是一定指它開始振動時刻的位相？參考解答：對于一個振幅和周期已定的簡諧振動，

8、用數(shù)學(xué)公式表示時，由于選作原點(diǎn)的時刻不同，值就不同。 例如，選物體到達(dá)正向極大位移的時刻為時間原點(diǎn)，則值等于零； 如果選物體到3達(dá)負(fù)向極大位移的時刻為時間原點(diǎn)，則等于。由于是由對時間原點(diǎn)的選擇所決定的，所以把它叫做振動的初相。簡諧振動的初相不是一定指它開始振動時刻的位相。思考題： 任何一個實際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量，彈簧振子的振動周期將變大還是變??？2. 任何一個實際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量，彈簧振子的振動周期將變大還是變?。繀⒖冀獯穑阂驗閺椈烧褡拥闹芷跊Q定于系統(tǒng)的慣性和彈性， 慣性越大則周期越大。 因此可以定性地說，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的周期肯定會變

9、大。若振子的質(zhì)量為 M ，彈簧的質(zhì)量為 m，彈簧的勁度系數(shù)為 k，可以計算出，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的振動周期為T 2Mm / 3k例：勁度系數(shù)為k、質(zhì)量為 m 的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M 的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動。求解彈簧振子的振動周期( m M )。解：平衡時 0點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動到x 處時，速度為v .設(shè)此時彈簧的長度為L，取彈簧元 dl 分析：質(zhì)量 d mm d l ，位移為 lx （前提 :彈簧各等長小段變形相LL同，位移是線性規(guī)律） ，速度為： l d xl v.L d tL2L 1mlEk1d l)12 ， Ek21 M v 2 .彈簧、物體的

10、動能分別為：0 2(vmvLL62kx 2系統(tǒng)彈性勢能為：EP.2系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：1 M v 21 mv 21 kx2常數(shù)262即 1(Mm )v 21 kx2常數(shù)232v將上式對時間求導(dǎo)，整理后可得：( Mm ) dkx 0即 d 2 x3d tMkx0令2kd t2m 3Mm 3比較簡諧振動微分方程，知T22Mm / 3.k3. 彈簧振子的無阻尼自由振動是簡諧運(yùn)動，同一彈簧振子在簡諧驅(qū)動力持續(xù)作用下的穩(wěn)態(tài)受迫振動也是簡諧運(yùn)動，這兩種簡諧運(yùn)動有什么不同？參考解答：這兩種振動雖都是簡諧振動，其振動的表達(dá)式xAcos( t) 形式也相同，但兩種運(yùn)動有很多的不同，這可從振動的運(yùn)動學(xué)特點(diǎn)和動力學(xué)特點(diǎn)兩個方面來說明。4從運(yùn)動學(xué)來說，兩種振動的