第二章z變換與離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)

1、第二章第二章 z變換和變換和離散離散時(shí)間傅立葉變換時(shí)間傅立葉變換（DTFT）第二章學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握掌握z z變換及其收斂域，掌握收斂域與序列的關(guān)系變換及其收斂域，掌握收斂域與序列的關(guān)系 掌握掌握z z反變換反變換 理解理解z z變換的主要性質(zhì)變換的主要性質(zhì) 掌握掌握z z變換求解差分方程，判斷系統(tǒng)的因果、穩(wěn)定變換求解差分方程，判斷系統(tǒng)的因果、穩(wěn)定性性 掌握序列的掌握序列的FourierFourier變換定義、存在條件、主要性變換定義、存在條件、主要性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性）質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性） 掌握模擬信號(hào)、理想抽樣信號(hào)、序列，以及它們的掌握模擬信號(hào)、理想抽樣信號(hào)、序列，以及它們的LaplaceLaplace變換、

2、變換、Z Z變換、變換、FourierFourier變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系 掌握掌握S S平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射本章作業(yè)練習(xí) P83:P83: 1(2)(3)1(2)(3) 2 2 3(1)(2)3(1)(2) 6 6 7(1)(3)7(1)(3) 9 9 10(a)(b)(c)10(a)(b)(c) 11(a)(b)11(a)(b) 1313 1414 1717 第二章 z變換和離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種：信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種： 時(shí)域分析方法時(shí)域分析方法變換域分析方法變換域分析方法連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)： 拉普拉斯變換

3、拉普拉斯變換 傅立葉變換傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) Z變換變換 傅立葉變換傅立葉變換2.1 2.1 序列的序列的z變換變換2.1.1 z變換的定義變換的定義 序列序列x(n)的的z變換定義為：變換定義為：z反變換反變換( ) ( )( )nnX zZT x nx n z 11( )( )(,)2nxxcx nX z z dz cRRj 2.1.2 Z變換變換的收斂域的收斂域 對(duì)于任意給定序列對(duì)于任意給定序列x(n)，使其，使其z變換變換X(z)收斂收斂的所有的所有z值的集合稱(chēng)為值的集合稱(chēng)為X(z)的收斂域。的收斂域。 級(jí)數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對(duì)可和級(jí)數(shù)收斂的充要條件是滿足

4、絕對(duì)可和( )nnx n zM 2.1.2 Z變換變換的收斂域的收斂域（1）若絕對(duì)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)一定收斂）若絕對(duì)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)一定收斂（2）z變換的收斂域和表達(dá)式變換的收斂域和表達(dá)式X(z)兩者共同才兩者共同才能確定唯一的能確定唯一的x(n)（3）不同形式的序列收斂域是不同的）不同形式的序列收斂域是不同的 ( )( )( )P zX zQ z令X(z)X(z)=0( )0( )( ) ( )P zQ zP zQ z則的零點(diǎn)：使的點(diǎn)， 即和當(dāng)階次高于時(shí)X(z)X(z)( )0( )( )( )Q zP zQ zP z的極點(diǎn)：使的點(diǎn)， 即和當(dāng)階次高于時(shí) 2.1.2 Z變換變換的收斂域的收斂域（

5、1）有限長(zhǎng)序列）有限長(zhǎng)序列12( )( )0 x nnnnx nn其它 2.1.3 4種典型序列的種典型序列的Z變換變換的收斂域的收斂域 收斂域?yàn)椋ㄊ諗坑驗(yàn)椋?，），稱(chēng)為有線），稱(chēng)為有線Z平面平面n的特殊選擇下，收斂域還可以擴(kuò)大的特殊選擇下，收斂域還可以擴(kuò)大11(1)111( )()(1)( 1)nnX zx n zx nzxz22(1)0122(0)(1)(1)()nnxzxzx nzx n zz0 0, 021時(shí)，nnz0 0, 021時(shí)，nnz0 0, 021時(shí)，nn 如果如果n20 ，則收斂域不包括，則收斂域不包括點(diǎn)點(diǎn) 如果如果n10 ，則收斂域不包括，則收斂域不包括0點(diǎn)點(diǎn) 如果如果n

6、10n2，收斂域不包括，收斂域不包括0 、點(diǎn)點(diǎn)例例1znZT0 , 1收斂域應(yīng)是整個(gè)收斂域應(yīng)是整個(gè)z的閉平面的閉平面1 nnzn例例2：求：求x(n)=RN(n)的的z變換及其收斂域變換及其收斂域Re zIm jz0X(z)=( )=( )nnNnnx n zRn z解：10=Nnnz2 1,.,1rjNzerN零點(diǎn)：01zN極點(diǎn)： （）階: 0Rocz 122111nnnnn nqqqq111Nzz21nq 時(shí)須滿足11(1)NNzzz2）右邊序列）右邊序列11( )( )0 x nnnx nnn110:0:xxnRoc RznRoc Rz 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，因果序列的因果序列的z變換必在變換必

7、在處收斂處收斂在在處收斂的處收斂的z變換，其序列必為因果序列變換，其序列必為因果序列a.定義：當(dāng)定義：當(dāng) 時(shí)有值，時(shí)有值， 時(shí)，序列時(shí)，序列右邊序列，右邊序列，因果序列因果序列例例3：求：求x(n)=anu(n)的變換及其收斂域的變換及其收斂域Re zIm jz0a0X(z)=( )=( )=nnnnnnnnx n za u n za z解：0z 零點(diǎn)：za極點(diǎn)：: Rocza111 az11az當(dāng)時(shí)3）左邊序列）左邊序列220( )( )nnx nx nnn220:00:0 xxnRoczRnRoczR當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，左邊序列，左邊序列，Re zIm jz0aX(z)=( )=(1)nnnnn

8、x n za unz 解：0z 零點(diǎn)：za極點(diǎn)：: Rocza111111a za zaz11a z當(dāng)時(shí)11=nnnnnna zaz例例4：求：求x(n)=-anu(-n-1)的變換及其收斂域的變換及其收斂域4）雙邊序列）雙邊序列n為任意值時(shí)皆有值:xxxxxxRRRocRRRoc RzR當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，10z( )( )( )nnnnX zx n zx n z其 變換：Roc: 0 xzR前式Roc: xRz 后式4）雙邊序列）雙邊序列10X(z)=( )=nnnnnnnnnnnx n za za za z解：10=nnnnnna za z11nnnaza zaz11/azza 1011nnn

9、a zaz11azza例例5：求：求x(n)=a|n|，a為實(shí)數(shù)，求為實(shí)數(shù)，求ZT及其收斂域及其收斂域Re zIm jz0a1/a211(1)1( )11(1)()azzaaX zazazazza當(dāng)時(shí)，0,z 零點(diǎn)：1,za a極點(diǎn)：: 1/Rocaza1X( )az當(dāng)時(shí)，無(wú)公共收斂域，不存在 X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點(diǎn)，故：在收斂域內(nèi)解析，不能有極點(diǎn)，故： 右邊序列的的z變換收斂域一定在模最變換收斂域一定在模最大的有限的有限極點(diǎn)所在圓極點(diǎn)所在圓之外 左邊序列的的z變換收斂域一定在模最變換收斂域一定在模最小的有限的有限極點(diǎn)所在圓極點(diǎn)所在圓之內(nèi) 給定給定z變換變換X(z)不能唯一地確定一

10、個(gè)序列，不能唯一地確定一個(gè)序列，只有同時(shí)給出收斂域才能唯一確定。只有同時(shí)給出收斂域才能唯一確定。（結(jié)結(jié)合例左邊序列和右邊序列的例子）合例左邊序列和右邊序列的例子）Re zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abc2.1.4 z反變換反變換 實(shí)質(zhì)：求實(shí)質(zhì)：求X(z)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 z反變換的求解方法：反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法）圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法部分分式法 長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法( )( )x nIZT X zz反變換反變換:已知序列已知序列 x(n)的的z變換及變換及X(z)及及 X(z)的收斂域，求原序列的收斂域

11、，求原序列(n)( ) ( )( )nnX zZT x nx n z 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域在環(huán)狀區(qū)域 內(nèi)是解析的，則在內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)，即可展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)，即( )nnxxnX zC zRzR,0,xxxxRzRRR （）11( )2nncCX z zdzj 0, 1, 2,n 1 1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法）圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法） 其中圍線其中圍線c是在是在X(z)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針?lè)较虻拈]合圍線。的一條逆時(shí)針?lè)较虻拈]合圍線。 因此：因此：Re zIm jz0 xRx

12、RC11( )( )(,)2nxxcx nX z z dz cRRj （1）計(jì)算圍線積分）計(jì)算圍線積分 按定理：若被積函數(shù)按定理：若被積函數(shù) 在圍線在圍線c上解析上解析，在，在c內(nèi)有內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)zk， F(z)在在c外外M個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)zm，則：，則：1( )( )nF zX z z( )Re ( )kzzkx ns F z( )Re ( )mz zmx ns F z 1 1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法）、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法）（2）留數(shù)的計(jì)算公式）留數(shù)的計(jì)算公式 單階極點(diǎn)的留數(shù)：?jiǎn)坞A極點(diǎn)的留數(shù)：rrzznrzznzzXzzzzXs)()()(Re11rrzznlrllzznzzXzzdzd

13、lzzXs)()()!1(1)(Re1111留數(shù)法的求解步驟：留數(shù)法的求解步驟： 找被積函數(shù)，整理成最簡(jiǎn)形式；找被積函數(shù)，整理成最簡(jiǎn)形式； 找圍線找圍線C（根據(jù)收斂域）（根據(jù)收斂域） ； 劃分劃分n的范圍（根據(jù)分母的階次高于分的范圍（根據(jù)分母的階次高于分子的階次兩階以上）；子的階次兩階以上）； 按公式分別進(jìn)行求解。按公式分別進(jìn)行求解。2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzzz例1：，求其z反變換Re zIm jz0C41/4211( )(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz 解：211( )(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：11( )4nF

14、 zcz 當(dāng)時(shí)在圍線 內(nèi)只有一階極點(diǎn)14( )Re ( )zx ns F z1141()4 (4)(1/4)nzzzzz415n11( )(1)04nF zcznz 當(dāng)時(shí)在圍線 內(nèi)有一階極點(diǎn)和-階極點(diǎn)4( )Re ( )zx ns F z 14441/4nzzzzz 2415ncz=4F(z)而圍線 外只有一階極點(diǎn)，且的分母多項(xiàng)式階次高于分子多項(xiàng)式階次兩次以上244( )(1)(2)1515nnx nu nun Re zIm jz0C41/42( ) 4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反變換Re zIm jz0C41/4解： 收斂域是圓的外部 lim( )1X(z)z=zX z 又

15、，即在處收斂( )( )00 x nx nn是一個(gè)因果序列，即，( )x n是右邊序列10( )c(4)(1/4)0( )0nznF zzzx n同樣當(dāng)時(shí)，由在 外無(wú)極點(diǎn)，且分母階次比分子階次高兩階以上，由圍線外極點(diǎn)留數(shù)為 可得0n 當(dāng)時(shí)1( )(4)(1/4)nzF zzz144cz在圍線 內(nèi)有一階極點(diǎn)， Re zIm jz0C41/441/4( )Re ( )Re ( )zzx ns F zs F z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21( )(44) ( )15nnx nu n思考：n=0,1時(shí)，F(xiàn)(z)在圍線c外也無(wú)極點(diǎn)，為

16、何( )0 x n 1125( ) 2316zX zzzz例：，求z反變換Re zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 112255516623zzzX zzzzzzz解： 1252323X zAAzzzzz 12252123zzX zAReszzzz 1123X zzzz 111123121 3zzX zzzzz23z11( )1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun 2.部分分式展開(kāi)法部分分式展開(kāi)法 一般一般X(z)是是z的有理分式，可分解成部分的有理

17、分式，可分解成部分分式：分式：12( )( )( )( )( )( )KB zX zXzXzXzA z( )( )x nIZT X z12( )( )( )KIZT XzIZT XzIZT Xz11011( )11M NM rrnkknknkkkiACX zB zz zz z（1）第一種求法）第一種求法NkkMkkNkkkMkkkNNNNMMMMzzzeAzazbzbzazaazbzbzbbzAzBzX111100)1(1110)1(1110)1 ()1 (.)()()(X(z)可以表示成可以表示成 的有理分式的有理分式1zX(z)可以由分母多項(xiàng)式的根展開(kāi)成部分分式可以由分母多項(xiàng)式的根展開(kāi)成部

18、分分式000)(Re)(zzzzXszzXzB0nBkkkzzzzkzzkkzzXszzXzzzXzzA| )(Re|)()(| )()1 (1nB例例2 2 設(shè)設(shè)利用部分分式法求利用部分分式法求z z反變換。反變換。2|,)5 . 01)(21 (1)(11zzzzX5 . 031234)5 . 0)(2()(2zzzzzzzzX)()5 . 0(31234)(nunxnn解：解：1125( ) 2316zX zzzz例：，求z反變換 23353123zzX zAReszzzz 112255516623zzzX zzzzzzz解： 1252323X zAAzzzzz 12252123zzX

19、zAReszzzz 1123X zzzz 111123121 3zzX zzzzz23z11( )1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz 1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun 3.冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法） 把把X(z)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)( )( )nnX zx n z1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz例例1 1111 azzX)(az ROC1:)11 az111 az1az221 zaaz22 za. 2211zaaz111 az. 2211zaaz,.,21aanx

20、長(zhǎng)除法示例長(zhǎng)除法示例解：由解：由RocRoc判定判定x(nx(n) )是因果序列，用長(zhǎng)是因果序列，用長(zhǎng)除法展成除法展成z z的負(fù)冪的負(fù)冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)az ROC2:0 ,.,12aanx111 az. 221zaza)11 az1za1 221zaaz 22za. 221zazaza11 解：由解：由RocRoc判定判定x(nx(n) )是左邊序列，是左邊序列，用長(zhǎng)除法展成用長(zhǎng)除法展成z z的正冪級(jí)數(shù)的正冪級(jí)數(shù)122331( )nnnX za za za za z -( )(1)nx na un 111122221 11 aza za za za za z12233a za za z122330(

21、 )1nnnX zaza za za z ( )( )nx na u n11112222223333111 azazazaza za za za za z122331aza za z 對(duì)于單邊序列，根據(jù)收斂域判斷對(duì)于單邊序列，根據(jù)收斂域判斷x(n)的性的性質(zhì)，再展開(kāi)成相應(yīng)的質(zhì)，再展開(kāi)成相應(yīng)的z的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) x(n)是右邊序列：將是右邊序列：將X(z)展成展成z的負(fù)冪級(jí)的負(fù)冪級(jí)數(shù)，數(shù)， X(z)的分子分母按的分子分母按z的降冪排列的降冪排列 x(n)是左邊序列：將是左邊序列：將X(z)展成展成z的正冪級(jí)的正冪級(jí)數(shù)數(shù) ，X(z)的分子分母按的分子分母按z的升冪排列的升冪排列xzRxzR2( )

22、 1/44(4)(1/4)zX zzzz例：，求z反變換161( )1515(4)()41/41/4X zzzzzzz116( )151/44zzX zzz22233416164 44 zzzzzzzz 23144zzz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz2123111( )141544X zzzzzz 1+16244( )( )(1)1515nnx nu nun201114154nnnnnnzz(1) (1) 線性性線性性2.1.5 Z變換的基本性質(zhì)和定理變換的基本性質(zhì)和定理)()()()(zbYzaXnbynax)()(zXzNnxN)()(azXnxan

23、)()(zXdzdznnxR1R2R|a|RR2 2、序列的移位、序列的移位3 3、z z域尺度變換域尺度變換 （乘以指數(shù)序列）（乘以指數(shù)序列）4 4、 z z域求導(dǎo)域求導(dǎo) （序列線性加權(quán)）（序列線性加權(quán)）Z變換的基本性質(zhì)（續(xù)）變換的基本性質(zhì)（續(xù)） )(lim)0(zXxz)() 1(lim)(1zXzxz)1()(zXnx5 5、翻褶序列、翻褶序列)()(zXnx1/RR6 6、共軛序、共軛序列列7 7、初值定理、初值定理8 8、終值定理、終值定理Z變換的基本性質(zhì)（續(xù)變換的基本性質(zhì)（續(xù)）)()()()(zYzXnynx9 9、有限項(xiàng)累加特性、有限項(xiàng)累加特性nmzXzzmxny0)(1)()(

24、dvvHvzXjnhnxc)()(21)()(dvvvHvXjnhnxcn1)1()(21)()(ZTZT的主要性質(zhì)參見(jiàn)書(shū)的主要性質(zhì)參見(jiàn)書(shū)p.69p.69頁(yè)的表頁(yè)的表2-22-21010、序列的卷積和、序列的卷積和1111、序列乘法、序列乘法1212、帕塞瓦定理、帕塞瓦定理1LSI ( )( )(1) ( )( )nnnh nb u nabu nx na u n例：已知系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)：，求系統(tǒng)輸入的響應(yīng)。( ) ( )( ) nzX zZT x nZT a u nzaza解：1( ) ( )( )(1)nnH zZT h nZT b u nabu n1( )(1)nnZT b u naZT

25、 bu n1 zzzaazzbzbzbzb( )( )( ) zY zX z H zzbzb( )( )* ( ) ( )( )ny nx nh nIZT Y zb u nRe zIm jz0ba2.2 離散信號(hào)的傅立葉變換（離散信號(hào)的傅立葉變換（DTFT ）-序列的傅立葉變換序列的傅立葉變換2.2.1 序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義變換對(duì)：變換對(duì)：稱(chēng)為稱(chēng)為離散時(shí)間傅里葉變換（離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）。）。() ( )( )jj nnX eDTFT x nx n e11( )()()2jjj nx nDTFTX eX eed1 1）時(shí)域）時(shí)域x(nx(n) )是離散的，則頻域是

26、離散的，則頻域 一定是周期的一定是周期的2 2）由于時(shí)域）由于時(shí)域x(nx(n) )是非周期的，則頻域是非周期的，則頻域 是變是變量量 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)3 3） 是是x(nx(n) )的頻譜密度，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜，它是的頻譜密度，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜，它是 的的復(fù)函數(shù)，可分解為模（幅度譜復(fù)函數(shù)，可分解為模（幅度譜| |* *| |），相角），相角（相位譜（相位譜argarg * * ）或分解為實(shí)部）或分解為實(shí)部ReRe* * ，虛部，虛部ImIm * * ，它們都是的連續(xù)、周期（周期為它們都是的連續(xù)、周期（周期為 ）函數(shù)，即：）函數(shù)，即：2.2 離散信號(hào)的傅立葉變換（離散信號(hào)的傅立葉變換（DTFT ）-序列的

27、傅立葉變換序列的傅立葉變換序列傅立葉變換的特點(diǎn)：序列傅立葉變換的特點(diǎn)：2.2.2 序列傅立葉變換的收斂性序列傅立葉變換的收斂性 DTFT的存在條件的存在條件njnezjenxzXeXj)(|)()(（1）一致收斂）一致收斂 序列的傅立葉變換可以看成序列的序列的傅立葉變換可以看成序列的z變換變換在單位圓上的值。在單位圓上的值。上式成立，即要求級(jí)數(shù)收斂，就要求上式成立，即要求級(jí)數(shù)收斂，就要求 （對(duì)全部（對(duì)全部 ），也就是要求），也就是要求z變換的收斂域包變換的收斂域包括單位圓，即：括單位圓，即：)()()()(nxenxenxeXnjnjj)(jeX2.2 離散信號(hào)的傅立葉變換（離散信號(hào)的傅立葉變

28、換（DTFT ）-序列的傅立葉變換序列的傅立葉變換 若若x(n)絕對(duì)可和，則絕對(duì)可和，則x(n)的傅立葉變換一定的傅立葉變換一定存在，即序列存在，即序列x(n)絕對(duì)可和是其傅立葉變換存絕對(duì)可和是其傅立葉變換存在的充分條件。在的充分條件。滿足此條件，則稱(chēng)滿足此條件，則稱(chēng) 一致收斂于一致收斂于 0)()(limNNnnjjNenxeXnnjenx)()(jeXnotherwise,Nn,(n)Rx(n)N010111011zzzX(z)NNnnjjNjeeeX11)(NjjjjNjNjNjjeNeeeeeeeX2)1(222222)2sin()2sin()()()(例例1、計(jì)算門(mén)序列的、計(jì)算門(mén)序列

29、的DTFT)2sin()2sin()(NeXj) 2/sin() 2/sin(arg2) 1( )(argNNeXj ( (類(lèi)似類(lèi)似Sa(.)Sa(.)函數(shù)函數(shù) ) )( (線性相位線性相位) ) 解：解：DTFT幅頻特性：幅頻特性：相頻特性：相頻特性：圖示說(shuō)明：圖示說(shuō)明：零極點(diǎn)圖(N=8)Z平面11jj)(nRNn0N-11)(X022N=8N有限長(zhǎng)序列一定滿足絕對(duì)可和條件，則其傅立葉有限長(zhǎng)序列一定滿足絕對(duì)可和條件，則其傅立葉變換一定存在，且一定是一致收斂的變換一定存在，且一定是一致收斂的例例2 2、已知、已知 ( ),( ),計(jì)算其計(jì)算其DTFTDTFT。,)( :)()(nuanfn1a

30、)sin)cos1 (111)(0jaaeeaeFjnjnnjFTDTZTazzFeFjjezezj111)()(由此可以得到由此可以得到FT的幅頻特性和相頻特性的幅頻特性和相頻特性aaeFjcos211)(2)cos1sin()(1aatg（2）均方收斂）均方收斂 0)()(21lim2denxeXNNnnjjN2)(nx 上式右端的展開(kāi)式均方收斂于上式右端的展開(kāi)式均方收斂于 ，即滿足：，即滿足： 序列序列x(n)能量有限（平方可和）也是傅立葉能量有限（平方可和）也是傅立葉變換存在的充分條件。變換存在的充分條件。x(n)絕對(duì)可和是其傅立葉變換存在的充分條件絕對(duì)可和是其傅立葉變換存在的充分條件

31、當(dāng)當(dāng)x(n)不滿足絕對(duì)可和，但滿足能量有限時(shí)不滿足絕對(duì)可和，但滿足能量有限時(shí)() ( )( )jj nnX eDTFT x nx n e（2）均方收斂）均方收斂 由于由于 所以，若所以，若x(n)是絕度可和的，則它一定是平是絕度可和的，則它一定是平方可和的；但反過(guò)來(lái)卻不一定成立。方可和的；但反過(guò)來(lái)卻不一定成立。 即，一致收斂一定均方收斂，均方收斂不一即，一致收斂一定均方收斂，均方收斂不一定一致收斂。定一致收斂。nnnxnx22)()( 例例2.27結(jié)合結(jié)合2.2.2，非課程重點(diǎn)，屬于提高，非課程重點(diǎn)，屬于提高篇，有興趣的同學(xué)可以溝通！篇，有興趣的同學(xué)可以溝通！ 2.2.3 序列傅立葉變換的主要

32、性質(zhì)序列傅立葉變換的主要性質(zhì))()()()(2121jjebXeaXnbxnaxDTFT1 1、線性性：、線性性：)()(jjmeXemnxDTFT2 2、序列的移位：、序列的移位：)()()(00jnjeXnxeDTFT4 4、乘以復(fù)指數(shù)序列、乘以復(fù)指數(shù)序列 （調(diào)制性）（調(diào)制性）3 3、乘以復(fù)指數(shù)序列、乘以復(fù)指數(shù)序列)1()(jneaXnxaDTFT5 5、時(shí)時(shí)域域卷積定理卷積定理：)()()()(jjeYeXnynxDTFTdeYeXeYeXnynxjjjj)()(21)()()()()(6 6、頻頻域域卷積定理卷積定理：7 7、序列線性加權(quán)、序列線性加權(quán))()(jeXddjnnxDTFT

33、)()(jeXnxDTFT9 9、序列翻褶、序列翻褶)()(jeXnxDTFT1010、序列共軛、序列共軛jnd)X(e(n)x2221deYeXnynxjjn)()(21)()(*8 8、帕塞瓦定理：、帕塞瓦定理：(Parseval Theory)2.2.4 序列及其傅立葉變換的序列及其傅立葉變換的 一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)( )( )( )eox nx nx n*( )()eex nxn*( )()oox nxn 2.2.4 序列及其傅立葉變換的序列及其傅立葉變換的 一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ox nx nxn其中：2.2.4

34、 序列及其傅立葉變換的序列及其傅立葉變換的 一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)( )( )( )eox nx nx n2.2.4 序列及其傅立葉變換的序列及其傅立葉變換的 一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)2.2.4 序列及其傅立葉變換的序列及其傅立葉變換的 一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)()()()jjjeoX eXeXe ( )()jx nX eRe ( )()jex nXeIm ( )()jojx nXe( )Re()jex nX e( )Im()jox njX e)()(jeXnxDTFT)()(jeXnxDTFT)(Im)(ImjjeXeX)(Re)(RejjeXeX)(arg)(argjjeXeX)()(j

35、jeXeX)()(jjeXeX 實(shí)、偶對(duì)稱(chēng)序列實(shí)、偶對(duì)稱(chēng)序列 實(shí)、偶對(duì)稱(chēng)序列實(shí)、偶對(duì)稱(chēng)序列 實(shí)、奇對(duì)稱(chēng)序列實(shí)、奇對(duì)稱(chēng)序列 虛、奇對(duì)稱(chēng)序列虛、奇對(duì)稱(chēng)序列 虛、偶對(duì)稱(chēng)序列虛、偶對(duì)稱(chēng)序列 實(shí)、偶對(duì)稱(chēng)序列實(shí)、偶對(duì)稱(chēng)序列 虛、奇對(duì)稱(chēng)序列虛、奇對(duì)稱(chēng)序列 實(shí)、奇對(duì)稱(chēng)序列實(shí)、奇對(duì)稱(chēng)序列下面舉例說(shuō)明下面舉例說(shuō)明DTFT性質(zhì)得使用。性質(zhì)得使用。計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分I的值。的值。jjd)be)(ae(I11111b,ajnjnbeu(n)baeu(n)a1111解：根據(jù)解：根據(jù) debeaenubnuajnjjnn)1)(1 (121)()(222200000ba|bau(n)|bu(n)aInnmmnmnnn

36、利用時(shí)域卷積定理有：利用時(shí)域卷積定理有：上式卷積上式卷積n=0時(shí)就是積分時(shí)就是積分I的值。的值。2.2.5 周期性序列的周期性序列的DTFT1、復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換、復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換00),2(20injieq復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列ej 0n的傅里葉變換，是以的傅里葉變換，是以 0為中心，為中心，以以2 的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為面積為2 q思考，思考，DTFTcos( 0n+ff、 DTFT sin( 0n+ff2、常數(shù)序列的傅里葉變換、常數(shù)序列的傅里葉變換iiiin)2(2)(1q常數(shù)序列的傅里葉變換，是以常數(shù)序列的傅里葉變換，

37、是以0為中心，以為中心，以2 的整的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2 3、周期為、周期為N的抽樣序列串的傅里葉變換的抽樣序列串的傅里葉變換kikNNiNn)2(2)(q周期為周期為N的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻率在率在2 /N的整數(shù)倍上的的整數(shù)倍上的一系列沖激函數(shù)之和，一系列沖激函數(shù)之和，這些沖激函數(shù)的積分面積為這些沖激函數(shù)的積分面積為2/N/N4、一般性的周期為、一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換的周期性序列的傅里葉變換kkkNjkjkijkNkXNkNeXNkNNeXnxkNNiNneXnx)

38、2()(2)2()(2)2(2)()()2(2)()()(2iiiNnnxiNnxnx)()()()(1021021022)()()()()(NnnkNjNnnkNjNnkNnjkNjenxenxenxeXkXq周期性序列周期性序列 （周期為（周期為N）的傅里葉變換是）的傅里葉變換是一系一系列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于 乘以乘以，而，而 是是x(n) 的一個(gè)周期的一個(gè)周期的傅里葉的傅里葉變換變換X(ej )在頻域中在頻域中 2/N/N的整數(shù)倍的各抽樣點(diǎn)的整數(shù)倍的各抽樣點(diǎn)上的抽樣值。上的抽樣值。)(nx)(kX)(kX)(nxq即：即：kkNkXN

39、nxDTFT)2()(2)(1021020201020)(1)2()(1)2()(1)2()(221)(NkknNjNknjnjNknjkekXNdekNkXNdekNkXNdekNkXNnx 滿足滿足0 0 2 /N從從00之前開(kāi)始抽樣；之前開(kāi)始抽樣；在在22之間結(jié)束抽樣；之間結(jié)束抽樣；此區(qū)間共有此區(qū)間共有N N個(gè)抽樣值：個(gè)抽樣值：0 0 k N1N1周期序列的周期序列的DFS正變換和反變換正變換和反變換21100( ) ( )( )( )NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k e

40、X k WNN周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)（周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）2jNNWe其中：其中：2.3 模擬信號(hào)、抽樣信號(hào)、離散信號(hào)及對(duì)應(yīng)的模擬信號(hào)、抽樣信號(hào)、離散信號(hào)及對(duì)應(yīng)的 拉普拉斯變換、拉普拉斯變換、z變換、傅立葉變換的關(guān)系，變換、傅立葉變換的關(guān)系， S平面到平面到Z平面的映射平面的映射若：若：)()(txLsXaajsaasXjX)()()()(txLsXaajsaasXjX)()()()(nxZzXjezjzXeX)()(信號(hào)時(shí)域、復(fù)頻域及頻域間的關(guān)系圖信號(hào)時(shí)域、復(fù)頻域及頻域間的關(guān)系圖（1）時(shí)域間的關(guān)系）時(shí)域間的關(guān)系)()()(nTtnTxtxnaanTtatxnx)()()()()(nT

41、tnxtxna抽樣序列在單位圓上的抽樣序列在單位圓上的z z變換，就等于其理想抽樣變換，就等于其理想抽樣信號(hào)的傅里葉變換信號(hào)的傅里葉變換（2）復(fù)頻域的關(guān)系復(fù)頻域的關(guān)系ksaajksXTsX)(1)(kaksaaezkTjsXTjksXTsXzXsT)2(1)(1)(| )()()(| )(sXeXzXasTezsT（3）頻域的關(guān)系頻域的關(guān)系kaksajsaakTjXTkjXTsXjX)2(1)(1)()(kaezTjkTjXTzXeXTj)2(1)()()()()(jXeXeXaTjTjkaezjkTjXTzXeXj)2(1)()(解：解：1） )(2)()(0110jXetxFTtj DTF

42、Tnjenx0)(1mjmeX)2(2)(01)()(cos000tFT )2()2(cos)(0002 mDTFTmmnnx)(2)(1)(33jXtxFT DTFTnx)(3mjmeX)2(2)(32）3）1)()cos()()(30210nx;nnx;enxnj例：例：抽樣序列：抽樣序列：)()(nTxnxannznxzX)()(sTez 當(dāng)當(dāng))()(| )(sXeXzXasTezsT兩變換之間的關(guān)系，就是由復(fù)變量?jī)勺儞Q之間的關(guān)系，就是由復(fù)變量s s平面到復(fù)平面到復(fù)變量變量z z平面的映射，其映射關(guān)系為平面的映射，其映射關(guān)系為zTsezsTln1,對(duì)比：對(duì)比：nnsTaaenTxsX)(

43、)(（4）S平面到平面到Z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系a.a.討論討論r r和的和的 的關(guān)系的關(guān)系S S平面平面 Z Z平面的單位圓平面的單位圓), 0(js虛軸) 1,zezj單位圓（)0(左半平面) 1Tjerz單位圓內(nèi)（)(0平行于虛軸的直線的圓半徑為（)0Tjerz)0(右半平面) 1Tjerz單位圓外（b.Sb.S平面的原點(diǎn)平面的原點(diǎn)s=0s=0對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于Z Z平面單位圓上的平面單位圓上的z=1z=1這一點(diǎn)這一點(diǎn)S S平面平面 Z Z平面的單位圓平面的單位圓c.c.討論討論 與與 的關(guān)系的關(guān)系T)0實(shí)軸（)0實(shí)半軸（)0（平行于實(shí)軸的實(shí)線)00Tz輻射線（始于: :/TT: :3

44、/TT /3 /TT: : :2周期：的周期性2.4 離散線性移不變（離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征）系統(tǒng)的頻域表征2.4.1 LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)的描述描述（1）時(shí)域中的描述，可以有兩種方法）時(shí)域中的描述，可以有兩種方法a.用單位抽樣響應(yīng)用單位抽樣響應(yīng) 來(lái)表征來(lái)表征)()(nTnh)()()()()(*)()(mnxmhmnhmxnxnhnymmb.用常系數(shù)線性差分方程來(lái)表征用常系數(shù)線性差分方程來(lái)表征)()()(00knxamnxbnyNkkMmma.用系統(tǒng)函數(shù)用系統(tǒng)函數(shù) 來(lái)表征來(lái)表征當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，將線性常系數(shù)差分方程等式兩當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，將線性常系數(shù)差分方程等式兩端求端求z變換來(lái)

45、表征系統(tǒng)函數(shù)變換來(lái)表征系統(tǒng)函數(shù)（2）變換域中的描述，也有兩種方法）變換域中的描述，也有兩種方法2.4.1 LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)的描述描述nnznxnhZzH)()()()()()(zHzXzY101)()()(kkkmmmzazbzXzYzH注意：除了各個(gè)系數(shù)決定系統(tǒng)函數(shù)外，還必須收斂注意：除了各個(gè)系數(shù)決定系統(tǒng)函數(shù)外，還必須收斂范圍，才能唯一的確定一個(gè)范圍，才能唯一的確定一個(gè)LSI系統(tǒng)。系統(tǒng)。b.用系統(tǒng)頻率響應(yīng)用系統(tǒng)頻率響應(yīng) 來(lái)表征來(lái)表征（2）變換域中的描述，也有兩種方法）變換域中的描述，也有兩種方法2.4.1 LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)的描述描述nnjjjjenxeXeYeH)()()()(101)()(

46、)(kkjkmmjmjjjeaebeXeYeH注意：當(dāng)初始狀態(tài)為零時(shí)，注意：當(dāng)初始狀態(tài)為零時(shí)，LSI的系統(tǒng)頻率響應(yīng)是的系統(tǒng)頻率響應(yīng)是由系統(tǒng)本身的各個(gè)系數(shù)決定與輸入輸出信號(hào)無(wú)關(guān)。由系統(tǒng)本身的各個(gè)系數(shù)決定與輸入輸出信號(hào)無(wú)關(guān)。a.因果性因果性（1）時(shí)域條件）時(shí)域條件2.4.2 LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)的因果、穩(wěn)定條件因果、穩(wěn)定條件是因果序列)(, 0, 0)(nhnnh是絕對(duì)可和的)(,)(nhnhn注意：此條件分別是因果性和穩(wěn)定性的充要條件注意：此條件分別是因果性和穩(wěn)定性的充要條件b.穩(wěn)定性穩(wěn)定性a.因果性因果性 （1）z域條件域條件2.4.2 LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)的因果、穩(wěn)定條件因果、穩(wěn)定條件zRh是絕對(duì)可

47、和的)(,)(nhnhn注意：此條件分別是因果性和穩(wěn)定性的充要條件注意：此條件分別是因果性和穩(wěn)定性的充要條件b.穩(wěn)定性穩(wěn)定性H(z)收斂且要滿足收斂且要滿足 是模值最大的極點(diǎn)的所在圓的半徑，由于是模值最大的極點(diǎn)的所在圓的半徑，由于h(n)是是因果序列，故因果序列，故H(z)的收斂域?yàn)榘霃綖榈氖諗坑驗(yàn)榘霃綖?的圓的外部，的圓的外部，并且包括了并且包括了（1）z域條件域條件2.4.2 LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)的因果、穩(wěn)定條件因果、穩(wěn)定條件1z的的z值確定，所以值確定，所以H(z)的收斂域必須包括單位圓，的收斂域必須包括單位圓，這是這是LSI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件b.穩(wěn)定性穩(wěn)定性H(z)的收斂

48、域必須包括的收斂域必須包括z平面的單位圓，即平面的單位圓，即 。因?yàn)榉€(wěn)定性的充要條件是因?yàn)榉€(wěn)定性的充要條件是nnh)(而而H(z)的收斂域由滿足的收斂域由滿足nnnnznhznhzH)()()(/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一LSI系統(tǒng)的極點(diǎn)有： 問(wèn)什么情況下，系統(tǒng)為因果系統(tǒng)， 什么情況下，系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系統(tǒng)： 0.41.5z穩(wěn)定系統(tǒng)：LSI311( )(1)(2)( )(1)483( )( )123y ny ny nx nx nx ny n例：已知離散系統(tǒng)的差分

49、方程：（設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零)其中：為輸入，為輸出。）求系統(tǒng)函數(shù)，指出系統(tǒng)的零極點(diǎn)；）若該系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，指出系統(tǒng)的收斂域；）求該因果穩(wěn)定系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)。z解：1）對(duì)差分方程兩邊取 變換：121311( )( )( )( )( )483Y zz Y zz Y zX zz X z1112111111( )33( )3111( )1114824zzY zH zX zzzzz111, 0 , 324zz 零點(diǎn)：極點(diǎn)：系統(tǒng)函數(shù)：212z ）由于系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 故收斂域： Re zIm jz00.50.2511/3 111131131111241124zzH zzzzzz 1213111124

50、24zH zAAzzzzz 1121211103112324zzzH zAReszzzz3)H(z)h(n) 對(duì)求z反變換即得單位抽樣響應(yīng)， 用部分分式法 214141173114324zzzH zAReszzzz 10733( )1124zzH zzz1: 2-12Rocz 根據(jù)，查表得 10 17 1( )323 4nnh nu n3、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義1）LSI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0( )jnx nen 000()( )( )( )jn mjnjmmmy nh m eeh m e00()jnjeH e0( )cos()x nAnf000( )() cosarg()jjy nA H enH ef2）LSI系