換元法在代數(shù)中的應用

1、換元法在代數(shù)中的妙用A層次材料：基礎鞏固換元法是數(shù)學中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數(shù)學問題，若能根據(jù)問題的特點, 進行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，現(xiàn)舉例說明1. 用換元法分解因式例 1.分解因式：(m n)? -2(1 m n) -1.解:設m n = y，則原式=y2 _2(1 y) -1=y2 - 2 -2y -1=(y-3)(y1)(m n -3)(m n 1).,從而點評：運用換元法分解因式，是將原多項式中的某一部分巧用一個字母進行代換 使原多項式的結構簡化，進而便于分解因式.2. 用換元法解分式方程和無理方程例2.解方程：227(1) 2x2 亍-7x 2=0 ；xx

2、(2) 3(x -2)2 -2 x2 -4x 7 1=0.解:(1)原方程可化為：2=0.1設x -1 = y,則方程化為：x2y2 _7y 6 = 0 .解方程，得c 3 y2, y22當y2時,x -1 =2xr 3當y2時,21 3xx 21解得,2丄或X = 2.2經(jīng)檢驗,知 Xi =12, X2 = 1 -2 ,2_1所以,原方程的解為 Xi = 1 亠2 , X? = 1 - i 2 , X3 - - , X4 = 2.2點評：運用換元法解分式方程，主要有三種情況.一是原方程可化為關于某一個分式的二次方程（如，本例題）,這時,只須設這一分式為輔助元即可；二是原方程中含有未知數(shù)的幾X

3、2 43x個分式，除數(shù)字系數(shù)外，互為倒數(shù)關系（如，解方程：一- = 2），這時，只須X X -4設其中一個分式為輔助元即可；三是含有未知數(shù)的各個分式的分母都是關于未知數(shù)的二次三1 11項式，且二次項系數(shù)和一次項系數(shù)對應成比例（如，解方程 一12一11），x+2x+1 x+2x + 22這時，只須設二次項系數(shù)的絕對值最小的多項式為輔助元即可（2）原方程可化為：2 : 23（x - 4x 7） - 2 x - 4x 7 - 8 = 0 .設x2 - 4x 7 = y,則方程化為3y2 _ 2y _ 8 = 0.解方程，得c4y2, y 3.當y2時，、x2 -4x 7 =2.解得,x1 = 1,

4、x2 = 3.4當y2時，3.x2 _4x 7 _ _ 4.3此方程無解.經(jīng)檢驗，知X1 -1,x3都是原方程的解所以，原方程的解為x1,x3.點評：解比較復雜的無理方程時，如果用兩邊平方的方法，將出現(xiàn)高次方程，增加解題難 度，此時若能根據(jù)方程的特點，靈活地應用換元法，則可以實現(xiàn)化繁為簡、化難為易的目的在采用換元法解無理方程時，一般設整個根式為輔助元，這樣不僅能簡化方程，而且往往能直接把無理方程化為有理方程B層材料：能力提升3. 用換元法解高次方程例 3.解方程：(x 1)(x2)(x3)(x - 4) =3.解:原方程可化為：(x 1)(x 4) l(x 2)(x 3)1 = 3.即(x2

5、5x 4)(x2 5x 6) = 3.設x2 5xy，則方程化為：(y i)(y-iH3.解得，y = ： 2當y =2時，x2 5x 5=2.解方程，得-5士x.2x2 5x 5 - -2.A < 0，方程無實數(shù)根.因此，原方程的根為x1_513-5- 13，x2 -2 2點評：解一元高次方程的基本思想是降次，而換元法是降次的一種基本方法4. 用換元法解方程組例4.解方程組：丿x + y =18，卜x -3 - . y 2 =3.解：設.x-3二u,、y 2二v,則原方程組可化為”2 丄2”u +v =17,(I)u -v = 3.(2)由得，u = 3 v. (3)將代入(1),得(

6、3 v)2 v2 =17.解得，Vi =1,V2二-4( y 2不能為負，舍去). u = 4.得"3 7.y 2 =1.x = 19,解得,丿y = .經(jīng)檢驗，知丿x =19是原方程組的解x = 19所以,原方程組的解為丿.= -1點評：妙用換元法，將無理方程組化為有理方程組，從而把繁雜而生疏的問題轉化為簡單而熟悉的問題.C層材料：拓展升華5.用換元法求值1 1例5.計算：(-23-(1 -21 1解：設 1 一 - 1 - -2311 1)(1 -20062 31 1 1 1 , )( ).32006 232005一 x ,則20061原式=(X_'1)(X)-(x-'120062x丄 12= X _-X-x20