第六章參數(shù)估計

1、第五章第五章 參數(shù)估計參數(shù)估計第一節(jié)第一節(jié) 參數(shù)估計基本方法參數(shù)估計基本方法第二節(jié)第二節(jié) 總體均值和總體比例的區(qū)間估計總體均值和總體比例的區(qū)間估計第一節(jié)參數(shù)估計的基本方法第一節(jié)參數(shù)估計的基本方法v推斷統(tǒng)計就是根據(jù)抽樣分布的原理進行的。推斷統(tǒng)計就是根據(jù)抽樣分布的原理進行的。v推斷統(tǒng)計分為兩大類：推斷統(tǒng)計分為兩大類：v參數(shù)估計：參數(shù)估計：根據(jù)一個隨機樣本的統(tǒng)計值來估計總體根據(jù)一個隨機樣本的統(tǒng)計值來估計總體之參數(shù)值是多少。先看樣本情況，再推總體情況。之參數(shù)值是多少。先看樣本情況，再推總體情況。v假設檢驗：假設檢驗：首先假設總體的情況是怎樣的，然后以首先假設總體的情況是怎樣的，然后以一個隨機樣本的統(tǒng)計

2、值來檢驗這個假設是否正確一個隨機樣本的統(tǒng)計值來檢驗這個假設是否正確。第一節(jié)參數(shù)估計的基本方法第一節(jié)參數(shù)估計的基本方法v只要采用隨機抽樣法，就可根據(jù)抽樣分布，以樣本只要采用隨機抽樣法，就可根據(jù)抽樣分布，以樣本統(tǒng)計值來推測總體情況。統(tǒng)計值來推測總體情況。即根據(jù)一個隨機樣本的統(tǒng)即根據(jù)一個隨機樣本的統(tǒng)計值來估計總體參數(shù)是多少。計值來估計總體參數(shù)是多少。 參數(shù)估計方法：參數(shù)估計方法：1.1.點估計：以一個最適當?shù)臉颖窘y(tǒng)計值來代表總體點估計：以一個最適當?shù)臉颖窘y(tǒng)計值來代表總體的參數(shù)值；的參數(shù)值；2.2.區(qū)間估計：以一個區(qū)間去估計總體參數(shù)值區(qū)間估計：以一個區(qū)間去估計總體參數(shù)值；一、點估計一、點估計從總體中抽

3、取一個樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計量對總體的未從總體中抽取一個樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計量對總體的未知參數(shù)作出一個數(shù)值點的估計，用于估計總體某一參數(shù)的知參數(shù)作出一個數(shù)值點的估計，用于估計總體某一參數(shù)的隨機變量；隨機變量；例如例如: : 用樣本均值作為總體未知均值的估計值就是一用樣本均值作為總體未知均值的估計值就是一 個個點估計。點估計。樣本越大，抽樣方法越嚴謹，點估計越可信樣本越大，抽樣方法越嚴謹，點估計越可信。點估計的缺陷點估計的缺陷 抽樣誤差總是難免的。抽樣誤差總是難免的。 點估計沒給出估計值接近總體未知點估計沒給出估計值接近總體未知參數(shù)程度的信息，即估計的可信程度很參數(shù)程度的信息，即估計的可信程度

4、很難確定。難確定。二、區(qū)間估計二、區(qū)間估計1.1.根據(jù)一個樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計范圍根據(jù)一個樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計范圍2.2.給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率3.3.例如例如: : 總體均值落在總體均值落在50705070之間，可信度為之間，可信度為 95%95%v總體未知參數(shù)落在某區(qū)間內的概率總體未知參數(shù)落在某區(qū)間內的概率v表示為表示為 (1 - 100100為為顯著性水平顯著性水平，是總體參數(shù)，是總體參數(shù)未在未在區(qū)間內的概率區(qū)間內的概率v常用的可信度值有常用的可信度值有 99%, 95%99%, 95%；相應；相應的的 為為0.010.01，0.

5、050.05。可信度（置信水平）可信度（置信水平） 正態(tài)分布落在總體均值某一區(qū)間正態(tài)分布落在總體均值某一區(qū)間內的樣本內的樣本XXXXXXXX總體均值的間距估計總體均值的間距估計假定條件假定條件總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,且總體方差（且總體方差（ ）已知已知如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來近似如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來近似 ( (n n 30)30)均值的間距估計均值的間距估計v可用下面公式計算可用下面公式計算可信間距可信間距：v當可信度為當可信度為9999時，時，Z Z取取2.582.58)(96. 1)(96. 196. 1%95)(xxxxxMxZZxxZ取值時，當可信

6、度為v間距的大小與可信度成正比間距的大小與可信度成正比v不難理解：在估計時所用不難理解：在估計時所用 的間距如果很小，錯誤的間距如果很小，錯誤的機會當然較大，可信度自然較低。的機會當然較大，可信度自然較低。v應用間距估計法時，可以選用任意的可應用間距估計法時，可以選用任意的可信度，但一般用信度，但一般用9595或或9999?？傮w均值的間距估計總體均值的間距估計某行業(yè)職工日工資收入服從正態(tài)分布，從該行業(yè)職工中隨機抽某行業(yè)職工日工資收入服從正態(tài)分布，從該行業(yè)職工中隨機抽取人，測得其平均日工資收入為取人，測得其平均日工資收入為21.4 21.4 元。已知總體標準元。已知總體標準差差 =0.15=0.

7、15元，試估計建立該行業(yè)職工日均收入的置信區(qū)間元，試估計建立該行業(yè)職工日均收入的置信區(qū)間，給定置信水平為，給定置信水平為0.950.95。v均值抽樣分布的標準差，稱為均值的標準誤：計算均值抽樣分布的標準差，稱為均值的標準誤：計算方法是用總體的標準差除以樣本大小方法是用總體的標準差除以樣本大小(n)(n)的的平方的的平方根。根。v然而，總體的標準差很難知道，如果樣本相當大，然而，總體的標準差很難知道，如果樣本相當大，通常以樣本的標準差通常以樣本的標準差 S S 作為總體的標準差作為總體的標準差。但。但是，這種做法有將實際的標準誤估計得稍偏。因為是，這種做法有將實際的標準誤估計得稍偏。因為樣本標準

8、差傾向稍小于總體標準差。為彌補這個差樣本標準差傾向稍小于總體標準差。為彌補這個差異，在計算樣本標準差時，除以異，在計算樣本標準差時，除以n-1n-1而不是而不是n n。這樣。這樣就可以得到總體方差和標準差的無偏估計。就可以得到總體方差和標準差的無偏估計。1nSSX xn v此處的此處的“n-1”稱為稱為“自由度自由度”。 第一，自由度的產(chǎn)生是與抽樣分布聯(lián)系在一起的第一，自由度的產(chǎn)生是與抽樣分布聯(lián)系在一起的。因為從總體中抽取樣本，因而我們需要計算樣。因為從總體中抽取樣本，因而我們需要計算樣本的本的“統(tǒng)計量統(tǒng)計量”，“統(tǒng)計量統(tǒng)計量”是研究者通過調查是研究者通過調查樣本數(shù)據(jù)人為地計算出來的，而樣本數(shù)

9、據(jù)人為地計算出來的，而“參數(shù)參數(shù)”是被調是被調查者的總體所客觀存在的，這是兩者的區(qū)別。在查者的總體所客觀存在的，這是兩者的區(qū)別。在統(tǒng)計學的理論層面上，要求統(tǒng)計量是參數(shù)的無偏統(tǒng)計學的理論層面上，要求統(tǒng)計量是參數(shù)的無偏估計，認為兩者是相等的。在實際研究中，由于估計，認為兩者是相等的。在實際研究中，由于抽樣的誤差可能導致兩者的不相等，但對于這種抽樣的誤差可能導致兩者的不相等，但對于這種情況，研究者是無法知道的，否則就沒有抽樣的情況，研究者是無法知道的，否則就沒有抽樣的必要了。在理論假設下，統(tǒng)計量和參數(shù)一樣被看必要了。在理論假設下，統(tǒng)計量和參數(shù)一樣被看作是客觀的、確定性的。作是客觀的、確定性的。 第二

10、，既然在理論上統(tǒng)計量被要求是確定的第二，既然在理論上統(tǒng)計量被要求是確定的，那么在實際層面上計算統(tǒng)計量的那組數(shù)，那么在實際層面上計算統(tǒng)計量的那組數(shù)據(jù)就不是完全自由的。這一點很重要，因據(jù)就不是完全自由的。這一點很重要，因為為“自由度自由度”中中“自由自由”的含義就是相對的含義就是相對這個這個“確定確定”而言的。正是統(tǒng)計量的這個而言的。正是統(tǒng)計量的這個“確定性確定性”限制了與之相關的一組數(shù)據(jù)的限制了與之相關的一組數(shù)據(jù)的“自由度自由度”，也就是說，一組數(shù)據(jù)不是可，也就是說，一組數(shù)據(jù)不是可以完全自由取值的，它必須支持以完全自由取值的，它必須支持“統(tǒng)計量統(tǒng)計量與總體參數(shù)相等與總體參數(shù)相等”的理論假設。這就

11、是的理論假設。這就是“自由度自由度”存在的理由。存在的理由。 研究者對某一社區(qū)內居民家庭的收入狀況進行調研究者對某一社區(qū)內居民家庭的收入狀況進行調查，該社區(qū)共有查，該社區(qū)共有10001000戶，采取隨機抽取的方式戶，采取隨機抽取的方式對對100100戶進行了調查。在這個例子中，總體戶進行了調查。在這個例子中，總體10001000戶的收入的平均數(shù)是總體參數(shù)，是客觀的戶的收入的平均數(shù)是總體參數(shù)，是客觀的、確定的，盡管研究者不知道。通過隨機抽樣、確定的，盡管研究者不知道。通過隨機抽樣和入戶問卷調查，研究者獲得了和入戶問卷調查，研究者獲得了100100戶的收入戶的收入數(shù)據(jù)。運用這組數(shù)據(jù)可以算出樣本的平

12、均數(shù)，數(shù)據(jù)。運用這組數(shù)據(jù)可以算出樣本的平均數(shù)，它是統(tǒng)計量。由于在理論上要求統(tǒng)計量與參數(shù)它是統(tǒng)計量。由于在理論上要求統(tǒng)計量與參數(shù)相等。當相等。當9999個數(shù)據(jù)被選擇以后，第個數(shù)據(jù)被選擇以后，第100100個數(shù)據(jù)個數(shù)據(jù)就是確定的，所以，這組數(shù)據(jù)在求平均數(shù)這統(tǒng)就是確定的，所以，這組數(shù)據(jù)在求平均數(shù)這統(tǒng)計量時的自由度就是計量時的自由度就是:k=100-1=99:k=100-1=99。t t分布分布v以均值標準誤的估計以均值標準誤的估計 作為分母計算的值作為分母計算的值，不完全符合，不完全符合Z Z分布或者說標準正態(tài)分布，我分布或者說標準正態(tài)分布，我們給這個分布起個名字，叫做們給這個分布起個名字，叫做t

13、t分布。分布。vt t值符合值符合t t分布。分布。n-1n-1被稱作自由度，自由度不被稱作自由度，自由度不同同t t分布的形狀有差異。隨著樣本規(guī)模增大，分布的形狀有差異。隨著樣本規(guī)模增大，也就是自由度的增大，也就是自由度的增大，t t分布會變得更加近似分布會變得更加近似于標準正態(tài)分布。于標準正態(tài)分布。XSXt1 ndfXS總體均值的間距估計總體均值的間距估計v例題：例題：v我們欲了解某地區(qū)家庭用于請客送禮的每月我們欲了解某地區(qū)家庭用于請客送禮的每月平均支出（平均支出（ ）情況）情況, ,現(xiàn)從該地區(qū)抽取一個現(xiàn)從該地區(qū)抽取一個樣本是：樣本是：n n226226戶，戶， 4343元，元，S S10

14、.510.5。則可信度為則可信度為9595的間距估計值為？的間距估計值為？XZSXMXv 41.63 M44.3741.63 M44.37v當可信度為當可信度為9999時的間距估計值是多少？時的間距估計值是多少？影響可信間距寬度的因素：影響可信間距寬度的因素：數(shù)據(jù)的離散程度，用數(shù)據(jù)的離散程度，用 來測度來測度；樣本容量樣本容量n n；置信水平置信水平 (1 - ) ，影響影響 Z Z 的取值。的取值。算例算例1 1v某大學從該校學生中隨機抽取某大學從該校學生中隨機抽取100100人，調查到人，調查到他們平均每天參加體育鍛煉的時間為他們平均每天參加體育鍛煉的時間為2626分鐘。分鐘。試以試以95

15、95的置信水平估計該大學全體學生平的置信水平估計該大學全體學生平均每天參加體育鍛煉的時間（已知總體方差均每天參加體育鍛煉的時間（已知總體方差為為3636分鐘）分鐘）算例算例2 2從一個正態(tài)總體中抽取一個隨機樣本，從一個正態(tài)總體中抽取一個隨機樣本， n n = 25 = 25 ，其均值，其均值 x = 50 ，標準差標準差 s s = 8 = 8。 建立總體均值建立總體均值m m 的的95%95%的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。我們可以我們可以9595的概率保證總體均值在的概率保證總體均值在46.6946.6953.30 53.30 之間之間四、總體比例的間距估計四、總體比例的間距估計v我們要估計某城鎮(zhèn)

16、有多少家庭是不和睦的?，F(xiàn)我們要估計某城鎮(zhèn)有多少家庭是不和睦的?，F(xiàn)一個隨機樣本（一個隨機樣本（n n100100）中知道有）中知道有20.0%20.0%的家庭的家庭不和，請估計該城鎮(zhèn)總體家庭不和睦情況。要不和，請估計該城鎮(zhèn)總體家庭不和睦情況。要求置信度是求置信度是9595。v估計總體的比例或百分率，其邏輯基本上估計總體的比例或百分率，其邏輯基本上與估計均值的相同。如果樣本頗大，百分與估計均值的相同。如果樣本頗大，百分率（或比例）的抽樣分布會近似正態(tài)分布率（或比例）的抽樣分布會近似正態(tài)分布，各個樣本的百分率都對稱地散布于總體，各個樣本的百分率都對稱地散布于總體百分率的兩旁。其標準誤差是：百分率的兩

17、旁。其標準誤差是：v其中其中P是總體的比例（即百分率）。由于是總體的比例（即百分率）。由于難以知道難以知道P的數(shù)值，的數(shù)值，樣本相當大時，樣本樣本相當大時，樣本中的比例中的比例 可以代替總體中的比例可以代替總體中的比例 P P。v總體比例區(qū)間估計總體比例區(qū)間估計:nPPSE)1 ( nppZp) 1 ( nppSE) 1 ( p 總體比例的間距估計總體比例的間距估計v我們要估計某城鎮(zhèn)有多少家庭是不和睦的。我們要估計某城鎮(zhèn)有多少家庭是不和睦的。現(xiàn)一個隨機樣本（現(xiàn)一個隨機樣本（n n100100）中知道有）中知道有20.0%20.0%的家庭不和，請估計該城鎮(zhèn)總體家的家庭不和，請估計該城鎮(zhèn)總體家庭不

18、和睦情況。要求置信度是庭不和睦情況。要求置信度是9595。v0.122P 0.278總體比例的間距估計總體比例的間距估計v上面的方法，是在上面的方法，是在SpSp公式中以樣本公式中以樣本 值代替值代替總體總體 P P 值。如果樣本相當大，這個方法是可值。如果樣本相當大，這個方法是可以的。另一個較為保守的做法，是以以的。另一個較為保守的做法，是以P P0.500.50代入代入SESE公式，使公式，使SESE達到最大值，再將達到最大值，再將SESE值代值代入可信間距公式就獲得最大的間距，以之來入可信間距公式就獲得最大的間距，以之來估計參數(shù)值最安全。估計參數(shù)值最安全。v如上述家庭不和睦的例子：如上述

19、家庭不和睦的例子：v 0.071P0.329p 算例算例3 3某企業(yè)在一項關于職工流動原因的研究中，從該某企業(yè)在一項關于職工流動原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機選取了企業(yè)前職工的總體中隨機選取了200200人組成一人組成一個樣本。在對其進行訪問時，有個樣本。在對其進行訪問時，有140140人說他們人說他們離開該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。離開該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。試估計由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的比試估計由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的比例（例（95%95%的置信度）。的置信度）。我們可以我們可以9595的概率保證該企業(yè)職工由于同管理的概率保證該企業(yè)職工由于同管

20、理人 員 不 能 融 洽 相 處 而 離 開 的 比 例 在人 員 不 能 融 洽 相 處 而 離 開 的 比 例 在63.6%76.4%63.6%76.4%之間之間第三節(jié)第三節(jié) 決定樣本的大小決定樣本的大小v樣本越大越好樣本越大越好v在能夠付出的研究代價的限度內，選取最大在能夠付出的研究代價的限度內，選取最大的樣本。的樣本。v除此之外的兩個標準：除此之外的兩個標準：v1 1、我們愿意容忍多少錯誤、我們愿意容忍多少錯誤v2 2、所研究的個案之間的相互差異有多大、所研究的個案之間的相互差異有多大均值間距估計樣本大小的決定均值間距估計樣本大小的決定v某變量某變量X X總體均值為總體均值為 ，一個隨

21、機抽取樣本，一個隨機抽取樣本的均值為的均值為v抽樣均值與總體均值的差就是錯誤抽樣均值與總體均值的差就是錯誤e e，如果用，如果用絕對值表示如下：絕對值表示如下：ve=| - |e=| - |XX均值間距估計樣本大小的決定均值間距估計樣本大小的決定v假定我們知道總體的標準差假定我們知道總體的標準差的數(shù)值，則在估計總的數(shù)值，則在估計總體的均值時，體的均值時，9595的可信度間距為：的可信度間距為： 222)58.2(%99)96.1(%95eneneZneZnnZeZexZxZxxx時，當可信度為時，當可信度為均值間距估計樣本大小的決定均值間距估計樣本大小的決定v在上述公式中，容忍錯誤的大小可以隨

22、研究的需在上述公式中，容忍錯誤的大小可以隨研究的需要來決定，但標準差要來決定，但標準差的值卻難以確定，原則上的值卻難以確定，原則上用總體的標準差，如果不知道，只有參考前人的用總體的標準差，如果不知道，只有參考前人的研究或自己進行試點研究，依據(jù)這些研究計算出研究或自己進行試點研究，依據(jù)這些研究計算出來的標準差數(shù)值，盡可能猜想總體的標準差是多來的標準差數(shù)值，盡可能猜想總體的標準差是多少。少。v這項猜想工作不容易，準確性也有疑問。所以社這項猜想工作不容易，準確性也有疑問。所以社會學研究多不用此公式來決定樣本的大小，但以會學研究多不用此公式來決定樣本的大小，但以之作參考只用是可以的。之作參考只用是可以

23、的。算例算例4 4v我們想調查某地區(qū)工人的平均工資，根據(jù)前人我們想調查某地區(qū)工人的平均工資，根據(jù)前人研究，該地區(qū)工人工資變量的標準差大約是研究，該地區(qū)工人工資變量的標準差大約是1515元，我們希望樣本均值與總體均值的差距最好元，我們希望樣本均值與總體均值的差距最好不要多過不要多過3 3元。應該抽取多少名工人來研究？元。應該抽取多少名工人來研究？v如果置信度為如果置信度為95%95%vn=(1.96/e)2 =(1.96153)2 96v如果可信度為如果可信度為99，則則vn= (2.58/e)2 166比例間距估計樣本大小的決定比例間距估計樣本大小的決定v原理與均值間距估計樣本大小的決定一樣。

24、原理與均值間距估計樣本大小的決定一樣。v例：研究某地區(qū)工人有多少是滿意目前的工例：研究某地區(qū)工人有多少是滿意目前的工作環(huán)境的，根據(jù)前人研究大概有作環(huán)境的，根據(jù)前人研究大概有6060的工人的工人滿意目前的工作環(huán)境，要求本研究的可信度滿意目前的工作環(huán)境，要求本研究的可信度為為9595，而且樣本比例與總體比例的差異不，而且樣本比例與總體比例的差異不大于大于5 5，要抽取多少名工人來研究？，要抽取多少名工人來研究？ve= 1.96(SE)v2 P(1-P)v計算結果，當可信度為計算結果，當可信度為95時，時，vn=(1.96)2 (0.60)(1-0.60)/(0.05)2 369v當可信度為當可信度

25、為99時，時，vn=(2.58)2 (0.60)(1-0.60)/(0.05)2=639v可見，要求的可信度越高，樣本要越大。可見，要求的可信度越高，樣本要越大。v上面的公式要求我們推測總體上面的公式要求我們推測總體P P值。如果有困值。如果有困難，可改用比較保守的方法，就是上一節(jié)所難，可改用比較保守的方法，就是上一節(jié)所講的，以講的，以P P0.500.50代入公式中，得到一個更大代入公式中，得到一個更大的樣本。的樣本。v如上面例題，如上面例題，9595的可信度：的可信度：vn=(1.96)2 (0.50)(1-0.50)/(0.05)2 v =384決定樣本大小要注意的問題決定樣本大小要注意

26、的問題v一、以統(tǒng)計公式來推斷樣本的大小，最大的一、以統(tǒng)計公式來推斷樣本的大小，最大的困難是要先推測若干總體參數(shù)值，如標準差、困難是要先推測若干總體參數(shù)值，如標準差、比例等。倘若我們的推測犯錯誤，決定的樣比例等。倘若我們的推測犯錯誤，決定的樣本大小就有問題。較為適當?shù)淖龇ㄊ?，一方本大小就有問題。較為適當?shù)淖龇ㄊ?，一方面參考統(tǒng)計公式算得的結果，另一方面看能面參考統(tǒng)計公式算得的結果，另一方面看能夠付得起多少研究代價，然后決定樣本的大夠付得起多少研究代價，然后決定樣本的大小。例如根據(jù)公式推測小。例如根據(jù)公式推測n n369369，如果研究經(jīng)，如果研究經(jīng)費許可，可以決定樣本的大小為費許可，可以決定樣本的

27、大小為400400，甚至，甚至500500。決策時，寧多勿少。決策時，寧多勿少。決定樣本大小要注意的問題決定樣本大小要注意的問題v二、每一項調查研究都包括多個變量，我們二、每一項調查研究都包括多個變量，我們應該根據(jù)哪一個變量來計算樣本的大小呢？應該根據(jù)哪一個變量來計算樣本的大小呢？同樣是前述工人的例子，如果根據(jù)工資變量，同樣是前述工人的例子，如果根據(jù)工資變量，n n9696，如果根據(jù)滿意工作環(huán)境變量，則，如果根據(jù)滿意工作環(huán)境變量，則n n369369。因此，大部分的社會學研究是難于應用。因此，大部分的社會學研究是難于應用統(tǒng)計公式的。如果一定要應用公式來決定樣統(tǒng)計公式的。如果一定要應用公式來決定樣本的大小，通常以樣本中最重要的變量作為本的大小，通常以樣本中最重要的變量作為準則，而且只是作為參考用。準則，而且只是作為參考用。決定樣本大小要注意的問題決定樣本大小要注意的問題v三、決定樣本的大小，還要考慮日后采用的三、決定樣本的大小，還要考慮日后采用的資料分析方法。如果計劃采用多變量分析法資料分析方法。如果計劃采用多變量分析法或每個變量的分類都很精細，就要選用一個或每個變量的分類都很精細，就要選用一