初一奧數(shù)第07講-含絕對(duì)值的方程及不等式

1、第七講含絕對(duì)值的方程及不等式從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離.但除零以外，任一個(gè)絕對(duì)值都是表示兩個(gè)不同數(shù)的絕對(duì)值.即一個(gè)數(shù)與它相反數(shù)的絕對(duì)值是一樣的.由于這個(gè)性質(zhì)，所以含有絕對(duì)值的方程與不等式的求解過程又出現(xiàn) 了一些新特點(diǎn).本講主要介紹方程與不等式中含有絕對(duì)值的處理方法.一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值記作| a ,指的是由a所唯一確定的非負(fù)實(shí)數(shù)：L當(dāng)且o時(shí)；I a I =，Oi當(dāng)過=0時(shí)工-a.當(dāng)&<。時(shí). L含絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)：CD I置 I ” I 6 I Q aI b I 或 W - I b I,-I a I I 前【w(2) | a | - | b |

2、< | a+b | < | a I + I b I ; I a I - I b I < I a-b I < I a I + I b I .由于絕對(duì)值的定義，所以含有絕對(duì)值的代數(shù)式無法進(jìn)行統(tǒng)一的代數(shù)運(yùn)算.通常的手法是分別按照絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負(fù)情況，脫去絕時(shí)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算，即含有絕對(duì)值的方程與不等式的求解， 常用分類討論法.在進(jìn)行分類討論時(shí)，要注意所劃分的類別之間應(yīng)該不重、不漏.下 面結(jié)合例題予以分析.例 1 解方程 | x-2 | + | 2x+1 | =7.分析解含有絕對(duì)值符號(hào)的方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，這可用“零點(diǎn)分段法即令久-

3、2 = 0, 2k -hl = Os分別得到戈士2, 2 = f用2，將數(shù)軸分成三段：瞿>2, -1<2<2f然后在每一段上去掉絕對(duì)值符號(hào)再求解.解(1)當(dāng)x>2時(shí)，原方程化為(x-2)+(2x+1)=7 ,解之微=g,所以在所給的范圍父2之內(nèi)，£ = |是原方程的解.(2)當(dāng)式久<2時(shí)，原方程化為-(x-2)+(2x+1)=7 .解之得發(fā)=4,它不在-3<乂<2的范圍內(nèi)，所以x = 4不是原方程的解. 應(yīng)舍去.(3)當(dāng)父-時(shí)，原方程化為-(x-2)-(2x+1)=7 .解之彳導(dǎo)飄=-2,在所給的范圍又< 一之內(nèi)，所以-2是原方程的解.

4、 口9綜上，原方程的解為x =-或籃=*2.說明 若在x的某個(gè)范圍內(nèi)求解方程時(shí)，若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去.例2求方程| x- | 2x+1 | =3的不同的解的個(gè)數(shù).分析此方程有兩層絕對(duì)值符號(hào)，先由2+1 = 0得式=，然后分別對(duì)z=2, s>2,4一；考慮去掉里層的絕對(duì)值符號(hào)，使得方程轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的方程.然后再去掉外層的絕對(duì)值符號(hào)求解.I x-(2x+1) | =3,解(1)當(dāng)注二1時(shí)，原方程化為I%I 二幾無解. 當(dāng)時(shí)，原方程化為即I 1+x | =3,所以x=2或x=-4.結(jié)合£>-(,知笈=9庖舍去.(3)當(dāng)時(shí)

5、，原方程化為I x+(2x+1) | =3,即| 3x+1 | =3,所以K=:或其=-2.1 2結(jié)合知芯工:應(yīng)舍去.2 5券上，所求方程的解只有乂 = 2或£ =；兩個(gè)解.所以原方程不同的解3 的個(gè)數(shù)為2.例3若關(guān)于x的方程| x-2 | -1 | 二2有三個(gè)整數(shù)解.則a的值是多少？解 若a<0,原方程無解，所以a>0.由絕對(duì)值的定義可知| x-2 | -1 = ±a,所以 | x-2 | =1±a.(1)若 a>1,則 | x-2 | =1-a<0,無解.| x-2 | =1 + a,x 只能有兩個(gè)解 x=3+a 和 x=1-a.(2)

6、若 0&a& 1,則由 | x-2 | =1+a,求得x=1-a 或 x=3+a；由 | x-2 | =1-a,求得x=1+a 或 x=3a原方程的解為x=3+a, 3-a, 1+a, 1-a,為使方程有三個(gè)整數(shù)解，a必為整數(shù), 所以a只能取0或1.當(dāng)a=0時(shí)，原方程的解為x=3, 1,只有兩個(gè)解，與題設(shè)不 符，所以a*0.當(dāng)a=1時(shí)，原方程的解為x=4, 0, 2,有三個(gè)解.綜上可知，a=1.例4已知方程| x | =ax+1有一負(fù)根，且無正根，求a的取值范圍.解 設(shè)x為方程的負(fù)根，則-x=ax+1,即<0.所以應(yīng)有a>-1.反之，a>-1時(shí)，原方程有負(fù)根.

7、設(shè)方程有正根x,則x=ax+1,即所以a<1.反之，a<1時(shí)，原方程有正根.綜上可知，若使原方程有一負(fù)根且無正根，必須 a>1.例5設(shè)x 十 y 25 y 3.-y ->0, -z + 2y >0,乙.，士心求 x+y.分析從絕對(duì)值的意義知x +y 25、 3-y -=0n gx + 2y >0 匚4b4兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)和為零時(shí)，這兩個(gè)實(shí)數(shù)必須都為零.解由題設(shè)有3-3T + 2y = 0,由有K=把代入得4解之得y=-3,所以x=4.故有x+y=4-3=1.例6解方程組J I K-y I =1,| I x I +2 I y I =3.分析與解 由得x-y=1或x

8、-y=-1,即x=y+1 或 x=y-1.與結(jié)合有下面兩個(gè)方程組耳二y+1,HI +2 |y|1+ 2 | y| =37 / 7解（I）:把 x=y+1 代入 | x | +2 | y | =3 得I y+1 I +2 I y I =3.去生對(duì)值符號(hào)，可得y=:或y=；,再將其代入"y+1,可求出方程 j3組（I）的解為同理，解（R）有r 5r1發(fā)=< :蚪324匕-于7 =13故原方程組的解為例7解方程組(I K-y I = x + y-2,| I s + y I =5(+2.解由得x+y= | x-y | +2.因?yàn)?| x-y | > 0,所以 x+y>0,所

9、以 | x+y | =x+y.把代入有x+y=x+2,所以y=2.將之代入有| x-2 | =x,所以或 x -2=-x.無解，所以只有解得x-2=x,x=1.故為原方程組的解.說明 本題若按通常的解法，區(qū)分x+y>0和x+y<0兩種情形，把方程分 成兩個(gè)不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2 ,對(duì)方程也做類似處理的話，將很麻 煩.上面的解法充分利用了絕對(duì)值的定義和性質(zhì)，從方程中發(fā)現(xiàn)必有x+y>0,因而可以立刻消去方程中的絕對(duì)值符號(hào)，從而簡(jiǎn)化了解題過程.例 8 解不等式 | x-5 | - | 2x+3 | < 1.分析關(guān)犍也是去掉絕時(shí)值符號(hào).分三個(gè)區(qū)間討i色&

10、lt;x<5, x>5.解(1)當(dāng)時(shí)，原不等式化為-(x-5)-(2x+3) <1,解之得色< 7,結(jié)合瞿一" 故瞿是原不等式的解；C2)當(dāng)-日<卷45時(shí),原不等式北為-(x-5)-(2x+3) <1,解之得心>；結(jié)合UKi故:5是原不等式的解;(3)當(dāng)x>5時(shí)，原不等式化為x-5-(2x+3) < 1,解之得x>-9,結(jié)合x>5,故x>5是原不等式的解.綜合(1) , (2),(分可知，艮<門或是原不等式3的解.例9解不等式10 | 3x-5 | <2.分析與解此不等式實(shí)際上是C1)"I

11、3貪-5 I <2,解對(duì) | 3x-5 | > 1:Cl)當(dāng)運(yùn):時(shí)，轉(zhuǎn)化為3雙.5，1,所小，2是的解.（2）當(dāng)乂工時(shí),轉(zhuǎn)化為-（3漢-5）>1,所以-五二-4,即 & g是的解.所以的解為2或褒1.對(duì) | 3x-5 | < 2:（3）當(dāng)我1時(shí)，轉(zhuǎn)化為丸_542,所出所吠|幺 是的解.（4）當(dāng)宜<|時(shí)，轉(zhuǎn)化為-（配-5）<2,所曲）1,所以1卷|是的解.所以的解為kk所以與的公共解應(yīng)為KkS, 或77即原不等式的解為14我彳或2出耳.例 10 解不等式 | x+3 | - | x-3 | | >3.解 從里往外去絕對(duì)值符號(hào)，將數(shù)軸分為 x<

12、;-3, -3<x<3, x>3三段來討 論，于是原不等式化為如下三個(gè)不等式組.河3,'I -（亶十3）十（聶-3） I31()尸。"UU |1 3)+ U-3；CIII)I ()-g-力| >3.尤-3"I -5 I >3,x <-3.由（過）得|-3<K3('I 2笈 I >3.即x>3.a 彳綜上可知，原不等式的解為宜< 晟或itr說明 本題也可以由外向內(nèi)去絕對(duì)值符號(hào)，由絕對(duì)值的意義，解下面兩個(gè)不I又+ 3 I - I兄-3 |匕-3.lx + 3l - lx-3l >3,分別解出和即可

13、，請(qǐng)同學(xué)們自己完成這個(gè)解法.例11當(dāng)a取哪些值時(shí)，方程| x+2 | + | x-1 | 二a有解？解法 1 (1)當(dāng) x0-2 時(shí)，| x+2 | + | x-1 | =-2x-1>-2(-2)-1=3.(2)當(dāng)-2<x< 1 時(shí)，| x+2 | + | x-1 | =x+2-x+1=3.(3)當(dāng) x>1 時(shí)，| x+2 | + | x-1 | =2x+1>2 1+1=3.所以，只有當(dāng)a3時(shí)，原方程有解.解法2按照絕對(duì)值的性質(zhì)| a-b | < | a | + | b | ,故| x+2 | + | x-1 | > | (x+2) -(x-1) | =3.其中等號(hào)當(dāng)-2<x<1時(shí)成立，所以當(dāng)a3時(shí)，原方程有解.練習(xí)七1 .解下列方程：(1) | x+3 | - | x-1 | =x+1; I I 1+x | -1 | =3x;(3) | 3x-2 | - |