重慶大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方程模型及其求解算法參考答案

1、實(shí)驗(yàn)2 方程模型及其求解算法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙饬x1 復(fù)習(xí)求解方程及方程組的基本原理和方法;2 掌握迭代算法;3 熟悉MATLAB軟件編程環(huán)境;掌握MATLAB編程語句(特別是循環(huán)、條件、控制等語句;4 通過范例展現(xiàn)求解實(shí)際問題的初步建模過程;通過該實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí),復(fù)習(xí)和歸納方程求解或方程組求解的各種數(shù)值解法(簡單迭代法、二分法、牛頓法、割線法等,初步了解數(shù)學(xué)建模過程。這對于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念,掌握數(shù)學(xué)的思維方法,熟悉處理大量的工程計(jì)算問題的方法具有十分重要的意義。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1.方程求解和方程組的各種數(shù)值解法練習(xí)2.直接使用MATLAB命令對方程和方程組進(jìn)行求解練習(xí)3.針對實(shí)際問題,試建立數(shù)學(xué)模型

2、,并求解。三、實(shí)驗(yàn)步驟1.開啟軟件平臺MATLAB,開啟MATLAB編輯窗口;2.根據(jù)各種數(shù)值解法步驟編寫M文件3.保存文件并運(yùn)行;4.觀察運(yùn)行結(jié)果(數(shù)值或圖形;5.根據(jù)觀察到的結(jié)果寫出實(shí)驗(yàn)報告,并淺談學(xué)習(xí)心得體會。四、實(shí)驗(yàn)要求與任務(wù)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)1.用圖形放大法求解方程x sin(x = 1. 并觀察該方程有多少個根。畫出圖形程序:x=-10:0.01:10;y=x.*sin(x-1;y1=zeros(size(x;plot(x,y,x,y1MATLAB運(yùn)行結(jié)果:-10-8-6-4-20246810-8-6-4-2246 8擴(kuò)大區(qū)間畫圖程序:x=-50:0.01:50;y=x.*sin(x-1;y

3、1=zeros(size(x;plot(x,y,x,y1MATLAB 運(yùn)行結(jié)果:-50-40-30-20-1001020304050 由上圖可知,該方程有偶數(shù)個無數(shù)的根。2.將方程x 5+5x3- 2x + 1 = 0 改寫成各種等價的形式進(jìn)行迭代,觀察迭代是否收斂,并給出解釋。(1畫圖:x1=-6:0.01:6;x2=-3:0.01:3;x3=-1:0.01:1;x4=-0.8:0.01:-0.75;y1=x1.5 +5*x1.3-2*x1+1;y2=x2.5 +5*x2.3-2*x2+1;y3=x3.5 +5*x3.3-2*x3+1;y4=x4.5 +5*x4.3-2*x4+1;subpl

4、ot(2,2,1,plot(x1,y1,title(子圖(1 ,grid on,subplot(2,2,2,plot(x2,y2,title(子圖(2,grid on,subplot(2,2,3,plot(x3,y3,title(子圖(3,grid on,subplot(2,2,4,plot(x4,y4,title(子圖(4 ,grid on, 由圖可知x 的初值應(yīng)在(-0.78,0.76之間。(2解:第一步構(gòu)造迭代函數(shù)(x f x=1(x f x =32121555x x x x=-+- 2(x f x = 32521x x x x=-+- 3(x f x = 第二步利用加速迭代收斂法變形后

5、:534241012515x x x x x-+=- 1(x f x = 62352435322x x x x x x x -=+- 2(x f x = 25328561x x x x x x -+=+- 3(x f x = 第三步迭代設(shè)定初值00.75x =-1(n n x f x +=n=0,1,2,3用 MA TLAB 編程x=-077;y=-0.77;z=-0.77;for k=1:30x=(-4*x5-10*x3+1/(2-5*x4-15*x2; y=(2*y6+4*y2-3*y/(5*y3+3*y5+2*y-2; z=(8*z2-2*z/(z5+5*z3+6*z-1; x,y,z;

6、end迭代結(jié)果為:x =-61.5948y =-0.7685z =-0.7687x =-49.2694 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-39.4074 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-31.5158 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-25.2000 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-20.1442 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-16.0957 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-12.8521 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-10.2512 y =-0.7685

7、 z =-0.7685 x =-8.1634 y =-0.7685-0.7685 x =-6.4844 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-5.1311 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-4.0373 y =-0.7685z =-0.7685 x =-3.1508 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-2.4323 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-1.8546 y =-0.7685z =-0.7685 x =-1.4028 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-1.0737 y =-0.7685 z =-0.76

8、85 x =-0.8700 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7840 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7689 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-

9、0.7685y =-0.7685z =-0.7685x =-0.7685y =-0.7685z =-0.7685x =-0.7685y =-0.7685z =-0.7685因此方程的解為 -0.7685.3.求解下列方程組121212222123121312312(125712(231102400x x x x e x x e x x x x x x x x x x x -=-+=-+=-+-=+=(1程序:x1,x2=solve(2.*x1-x2=exp(-x1,-x1+2.*x2=exp(-x2MATLAB運(yùn)行結(jié)果:x1 =.56714329040978387299996866221036

10、x2 =.56714329040978387299996866221036(2程序x1,x2,x3=solve(x12-5*x22+7*x32+12,3*x1*x2+x1*x3-11*x1,2.*x2*x3+40*x1 MATLAB運(yùn)行結(jié)果:x1 =0.0.0.0.1. -387.00943364216191174841684720677+32.703483593366328482166316712807*i -387.00943364216191174841684720677-32.703483593366328482166316712807*i -.31446604900950983649

11、963891979635x2 =-1.5491933384829667540717061599130 1.5491933384829667540717061599130 0.0.5. -.31228791210131965952830872704551-50.806549482970160848437610559089*i -.31228791210131965952830872704551+50.806549482970160848437610559089*i 2.9579091575359726523899507874243x3 =0.0.1.30930734141595428759658

12、49124937*i -1.3093073414159542875965849124937*i -4. 11.936863736303958978584926181137+152.41964844891048254531283167727*i 11.936863736303958978584926181137-152.41964844891048254531283167727*i 2.1262725273920820428301476377270 直接使用 MATLAB 命令：solve(和 fsolve(對方程組求解。 4迭代以下函數(shù)，分析其收斂性。任選一個完成。 1 f ( x = a (

13、 x a 2 ; 2 f ( x = a sin( x; 3 f ( x = x 4 a; 使用線性連接圖、蛛網(wǎng)圖或分枝與混沌圖對參數(shù) a 進(jìn)行討論與觀察，會得到什么結(jié) 論？ 選擇 2） 線性連接圖： 源代碼： a=0.5;x=; x(1=0.5; for i=2:20 x(i=a*sin(x(i-1; end n=1:20; subplot(2,2,1,plot(n,x,title(a=0.5,x0=0.5 a=0.5,x0=0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 圖： 應(yīng)用實(shí)驗(yàn)（以下四個問題，至少完成一個） 應(yīng)用實(shí)驗(yàn)（以下四個問題，至少完成一個） 1油

14、價與船速的優(yōu)化問題 油價的上漲，將影響大型海船確定合理的航行速度，以優(yōu)化航行收入。直觀地，油耗的 多少直接影響船速的快慢， 因而直接影響航行時間的長短， 進(jìn)而影響支付船員人工費(fèi)用數(shù)量。 過去有一些經(jīng)驗(yàn)表明：(1 油耗正比于船速的立方；(2 最省油航速的基礎(chǔ)上改變 20%的速 度；則引起 50%的油耗的變化。作為一個例子：某中型海船，每天油耗 40 噸，減少 20%的航 速，省油 50%、即 20 噸。每噸油價 250 美元，由此每天減少耗油費(fèi)用 5000 美元，而航行時 間的增加將增加對船員支付的費(fèi)用的增加，如何最優(yōu)化? 算例：航程 L=1536 海里，標(biāo)準(zhǔn)最省油航速 20 節(jié)，油耗每天 50

15、 噸，航行時間 8 天。最 低航速 10 節(jié)，本次航行總收入為 84600 美元。油價 250 美元/噸，日固定開支 1000 美元。 試確定最佳航速。 2. 炮彈發(fā)射角的問題 炮彈發(fā)射視為斜拋運(yùn)動，已知初始速度為 200 m/s，問要擊中水平距離 360m、垂直距離 160m 的目標(biāo)，當(dāng)忽略空氣阻力時，發(fā)射角應(yīng)多大？此時炮彈的運(yùn)行軌跡如何？試進(jìn)行動態(tài) 模擬。 進(jìn)一步思考： 且設(shè)阻力與 （水平方向） 速度成正比， 系數(shù)為 0.1 進(jìn)一步思考 如果要考慮水平方向的阻力， （1/s） ，結(jié)果又如何？此時炮彈的運(yùn)行軌跡如何？試進(jìn)行動態(tài)模擬。 3. 小行星的運(yùn)動軌道問題 一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運(yùn)行的軌道， 他在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點(diǎn)的 直角坐標(biāo)系，其單位為天文測量單位。在