概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案精選

1、習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球，編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律【解】故所求分布律為X345P2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數(shù)，求：(1)X的分布律；(2)X的分布函數(shù)并作圖；(3)133PX-,P1X-,P1X-,P1X2.【解】故X的分布律為X012P(2)當(dāng)x<0時，F(xiàn)(x)=P(X<x)=0當(dāng)0<x<1時，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(X=0)=3534當(dāng)1<x<2時，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(X=0)

2、+P(X=1)=35當(dāng)x>2時，F(xiàn)(x)=P(X<x)=1故X的分布函數(shù)3 .射手向目標(biāo)獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0,1,2,3.故X的分布律為X0123P4 .(1)設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=a，k!其中k=0,1,2,，入>0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.(2)設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=a/N,k=1,2,，N,試確定常數(shù)a.【解】(1)由分布律的性質(zhì)知故ae(2)由分布律的性質(zhì)知即a1.5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為，今各投3次，求：(

3、1)兩人投中次數(shù)相等的概率；(2) 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則Xb(3,),Yb(3,(1) P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)(0.4)3(0.3)3C30.6(0.4)2C30.7(0.3)2+(2) P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)6 .設(shè)某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率設(shè)為，且設(shè)各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于(每條跑道只能允許一架飛機降落)？【解】設(shè)X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù)，則Xb(200

4、,設(shè)機場需配備N條跑道，則有200kk200k即C200(0.02)(0.98)0.01kN1利用泊松近似查表得N>9.故機場至少應(yīng)配備9條跑道.7 .有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時段出事故的概率為，在某天的該時段【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)【解】設(shè)在每次試驗中成功的概率為內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少(利用泊松定理)？Xb(1000,)X滿足PX=1=PX=2,求概率PX=4.P,則所以9.設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為，當(dāng)_4 1 4 2P(X 4) C5(3二10243A發(fā)生不少于3次

5、時，指示燈發(fā)出信號,(1)進行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率；(2)進行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率【解】(1)設(shè)X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X6(5,)(2)令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Yb(7,)10 .某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2)t的泊松分布，而與時間間隔起點無關(guān)(時間以小時計)(1)求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；(2)求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率5P(X 1) 1 P(X 0) 1 e "3【解】(1)P(X0)e2_kk2k11 .設(shè)PX=k=C2P(1

6、p),k=0,1,2mm4mPY=m=C4P(1p),m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X,Y的概率分布，如果已知PX>1=5,試求PY>1.954【解】因為P(X1),故p(x1)-.992而P(X1)P(X0)(1p)一24故得(1p)24,9即p1.465從而P(Y1)1P(Y0)1(1p)4一0.802478112.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則Xb(2000,.利用泊松近似計算，P(X 5)2-5e 25!0.0018313.進行某種試驗，成功的概率為一，失敗的概

7、率為4X的分布律，并計算 X取偶數(shù)的概率.1一.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù)，試寫出4【解】X1,2,L,k,L14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金求：(1)保險公司虧本的概率；(2) 保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.(1) 在1月1日，保險公司總收入為2500X12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則Xb(2500,則所求概率為由于n很大，p很小，1=np=5,故用泊松近似，有(2)

8、 P(保險公司獲利不少于10000)即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P(保險公司獲利不少于20000)P(300002000X20000)P(X5)即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae |x|, 求：(1) A 值；(2) P0<X<1;(3) F(x).OO<X<+ 00【解】(1)由 f(x)dx 1得1故A 1.21 1 x11(2) p(0 X 1) - 0e dx -(1 e ),L ,、x 1 x ,1 x(3)當(dāng) x<0 時，F(xiàn) (x)-e dx -e22x 1 I I 0

9、1x 1當(dāng) x>0 時，F(xiàn)(x)-e |x|dx-exdx-e Xdx220 21 xn-e , x 0故F (x)2d 1 x八1 e x 0216.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=0,求：(1)(2)(3)【解】1002-, x 100, xx 100.在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率; 在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；F (x).(1)P(X 150)150 100100dx1 1 /2 2 P2C3 7(7)3 3(3)當(dāng) x<100 時 F (x)49=0當(dāng) x>100 時 F (x)f (t)dtF(x)d 100

10、1 x0,x 10017.在區(qū)間0, a上任意投擲一個質(zhì)點，以內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求【解】 由題意知XU0,a,密度函數(shù)為故當(dāng)x<0時F (x) =0X表示這質(zhì)點的坐標(biāo),X的分布函數(shù).設(shè)這質(zhì)點落在0, a中任意小區(qū)間x當(dāng) 0<x<a 時 F(x) f (t)dtx 1xf(t)dt dt 一 0 aa當(dāng)x>a時，F(xiàn)(x)=1即分布函數(shù)18 .設(shè)隨機變量X在2,5上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】XU2,5,即故所求概率為1一19 .設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分鐘計)服從指數(shù)分布E().某顧客在窗口

11、等待服務(wù),5個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次，以丫表數(shù)，試寫出丫的分布律，并求PY>1.1【解】依題意知XE(),即其密度函數(shù)為5該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為Yb(5,e2)，即其分布律為20 .某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N(40,102)；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N(50,42).(1)若動身時離火車開車只有1小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？(2)又若離火車開車時間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】(1)若走第一條路,XN (40, 102),XN

12、(50, 42)P(X60) PX 5060 50(2.5) 0.9938 +40故走第二條路乘上火車的把握大些(2)若XN(40,102),則若XN(50,42),貝IJ故走第一條路乘上火車的把握大些21 .設(shè)XN(3,22),(1)(2)求P2<X<5,P4<X<10,確定c使PX>c=PX<c.P>2,PX>3;一_2(1) P(2X5)P-c=3(,),規(guī)定長度在士內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格品的概率22 .由某機器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)XN【解】P(|X10.05|0.12)P10.050.060.120.06(160,(2),若要求

13、P120 <X< 200 >,允許23 .一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(小時)服從正態(tài)分布(T最大不超過多少？120160X【解】P(120X200)P-1602001601.2931.2524 .設(shè)隨機變量X分布函數(shù)為2a(x)ABext,0,0,0.(0),(1)(2)(3)求常數(shù)A,B;求PX<2,PX>3;求分布密度f(x).【解】(1)lim由xlimx0F(x)F(x)(2)P(X2)f(x)F(x)ximF(2)F(x)0,25 .設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=x,2求X的分布函數(shù)F【解】當(dāng)x<0時F(x)=0(x)當(dāng)0<x<1時F

14、(x)xf(t)dt當(dāng)1<x<2時F(x)xf(t)dt當(dāng)x>2時F(x)xf(t)dtx,0,(x)及f(t)dt(x)x其他.f(t)dt1,2,F(x)0,2x2 ,2 x2x00x12x1,1x21,x226 .設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為(1) f(x)=ae?|x|,人>0;bx,0x1,1(2) f(x)=,1x2,x0,其他.試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F(x).【解】(1)由f(x)dx1知1ae|x|dx2aexdx0xe,x0即密度函數(shù)為f(x)2xex02xx1xe2當(dāng)x<0時F(x)f(x)dxexdx2x0x當(dāng)x>0時F(x)f(

15、x)dxeXdx2e02xdx故其分布圖數(shù)121b1(2)由1f(x)dxbxdxdx1x2202得b=1故2即X的密度函數(shù)為當(dāng)x<0時F(x)=0x0x當(dāng)0<x<i時F(x)f(x)dxf(x)dx0f(x)dxx01x1當(dāng)1Vx<2時f(x)f(x)dx0dxxdxdx01x當(dāng)x>2時F(x)=1故其分布函數(shù)為27.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點，(1)=，求z;=，求Z,Z/2.【解】(1)P(Xz)0.01即1(z)0.01即(z)0.09故z2.33(2)由P(Xz)0.003得即(z)0.997查表得z2.75查表得(z/2)0.9985z/22.9628.

16、設(shè)隨機變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0,1,4,9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029.設(shè)PX=k=(1)k,k=1,2，令2求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】P(Y1)P(X2)P(X4)LP(X2k)L30.設(shè)XN(0,1).(1)(2)(3)求Y=eX的概率密度；求Y=2X2+1的概率密度；求Y二|X|的概率密度.(1)當(dāng)y<0時，F(xiàn)Y(y)P(Yy)0當(dāng) y>0 時，F(xiàn)Y(y)P(Y y)P(ex y)P(X In y)fY(y)dFY(y)dy1 .一 fx(ln y)

17、 y11 ln2y/2e , yy V 2冗P(Y2X211)1當(dāng) y<i 時 FY(y)P(Yy)當(dāng) y>1 時 K(y)P(Yy)_ _2P(2X 1y)故 fY(y) FY(y)dyfy 1fXP(Y0)1當(dāng) y<0時FY(y) P(Yy) 0當(dāng)y>0時Fy(y)P(|X|y)P(yXy),rdrr故fY(y)FY(y)fx(y)fx(y)dy31 .設(shè)隨機變量XU(0,1),試求：(1) Y=ex的分布函數(shù)及密度函數(shù)；(2) Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】(1)P(0X1)1(3) P(1Yexe)1(4) y1時FY(y)P(Yy)0當(dāng)1<y&

18、lt;e時FY(y)P(exy)P(XIny)(5) y>e時FY(y)P(exy)1即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為(6) 由P(0<x<1)=1知當(dāng)z<0時，F(xiàn)Z(z)P(Zz)0當(dāng)z>0時，F(xiàn)Z(z)P(Zz)P(2lnxz)即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為32 .設(shè)隨機變量x的密度函數(shù)為2x八二，0x4f(x)=冗0,其他.試求Y=sinx的密度函數(shù).【解】P(0Y1)1當(dāng)y<0時，F(xiàn)Y(y)P(Yy)0當(dāng)0<y<1時，(y)p(yy)P(sinxy)當(dāng)戶1時，F(xiàn)y(y)1故Y的密度函數(shù)為33 .設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)如下:試填上,(2),(3)項.

19、【解】由limF(x)1知填1x由右連續(xù)性limF(x)F(x0)1知x00,故為0。xx+從而亦為0。即34 .同時擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.1【解】設(shè)Ai=第i枚骰子出現(xiàn)6點。(i=1,2),P(Ai尸一.且Ai與A2相互獨立。再設(shè)C=每次拋擲出現(xiàn)66點。則11,故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。3635 .隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于？【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字，則Xb(n,即(0.9)n0.1得n>22即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。x 0,1 X 2, 1 . 236 .已知0,1F(x)=

20、x一,21,則F(x)是()隨機變量的分布函數(shù)(A)連續(xù)型；(B)離散型;(C)非連續(xù)亦非離散型.【解】因為f(x)在(oo,+oo)上單調(diào)不減右連續(xù)，且limF(x)0xJimF(x)1，所以f(x)是一個分布函數(shù)。但是F(x)在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F(x)是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的分布函數(shù)。選(C)37 .設(shè)在區(qū)間a,b上，隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx,而在a,b外，f(x)=0,則區(qū)間a,b等于()(A)0,n；(B)0,Tt;3(C)N2,0;(D)0,2町冗”2【解】在0,一上sinx>0,且°sinxdx1.故f(x)是密度函數(shù)。冗在0

21、,可上0sinxdx21.故f(x)不是密度函數(shù)。在,0上 sinx3.在0,一可上，當(dāng)冗20 ,故f(x)不是密度函數(shù)。3,x 一冗時，sinx<0, f(x)也不是密度函數(shù)。故選(A) o38 .設(shè)隨機變量XN (002),問：當(dāng)b取何值時,【解】因為X N (0,2),P(1 X 3)P(-X落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大?X -)利用微積分中求極值的方法，有4，則ln 3_2_.布(0)0故當(dāng)2» 心為極大值點且惟一'。,ln32-=時X落入?yún)^(qū)間(1,ln 33)的概率最大。39 .設(shè)在一段時間內(nèi)進入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布 P (人)，每個顧客購買某種物

22、品的概率為p,并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布律.e【解】P(X m)m,m 0,1,2,L m!設(shè)購買某種物品的人數(shù)為Y,在進入商店的人數(shù)X=m的條件下，Yb(m,p),即由全概率公式有此題說明：進入商店的人數(shù)服從參數(shù)為人的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)槿藀.證明：Y=1 e2X在區(qū)間(0, 1)上服從均勻分布.即 P (0<Y<1 ) =140 .設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布【證】X的密度函數(shù)為由于P(X>0)=1,故0<1e2X<1,當(dāng)y<0時，F(xiàn)y(y)=0當(dāng)y>1

23、時，F(xiàn)y(y)=1當(dāng) 0<y<i 時，F(xiàn)Y(y) P(Yy)2xP(ey)33即Y的密度函數(shù)為即丫U(0,1)41 .設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為13,2f(x)=-,90,X 1,x 6,其他.(2000研考)若k使得PX>k=2/3,求k的取值范圍.【解】由P(X>k)=2知P(X<k)=1若k<0,P(X<k)=0代k1k1若0<k<1,P(X<k)=-dx03331當(dāng)k=1時P(X<k)=-311k1若1<k<3時P(X<k)=dx0dx0313若3<k<6,貝IP(X<k)=11k221

24、dx-dx-k-033993若k>6,貝IP(X<k)=12故只有當(dāng)1<k<3時滿足P(X>k)=-342 .設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=0,0.4,0.8,1,x 1,1 x 1,1 x 3,x 3.求X的概率分布.(1991研考)【解】由離散型隨機變量 X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知 X的概率分布為X113P43 .A.若 A19/27,A在一次試驗中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨立試驗中 A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè) P (A) =p，則Xb(3,p)由 P (X>1)=坦知 P (X=0) = (1 p) 3=2727場 1故p= 一344 .若隨機

25、變量X在【解】1,6)上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少?45 .若隨機變量XN (2, b 2),且P2<X<4=,則P X <0=.2 2 X 2 4 2【解】0.3 P(2 X 4) P()故(2) 0.8X 2 0 22因此P(X 0) P(X- -)(-)46 .假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率可以直接出廠；以概率需進一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率可以出廠,以概率定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了 n(n > 2)臺儀器(假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立)求(1)全部能出廠的概率a;(2)其中恰好有兩臺不能出廠的概率3；(3)其中至少有兩臺不

26、能出廠的概率9.【解】設(shè)A=需進一步調(diào)試,B=儀器能出廠，則A=能直接出廠,AB=經(jīng)調(diào)試后能出廠由題意知B=AUAB,且令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù)，則X6(n,),故47 .某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語成績，則XN(72,b2)-24故(一)0.977一24查表知242,即b=12從而XN(72,122)6072X728472故P(60X84)P12121248 .在電源電壓不超過200V、200V240V和超過240V三種情形下，某種電

27、子元件損壞的概率分別為，和(假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252).試求：(1)該電子元件損壞的概率a;(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200240V的概率3【解】設(shè)Ai=電壓不超過200V,A2=電壓在200240V,A3=電壓超過240V,B=元件損壞。由XN(220,252)知由全概率公式有由貝葉斯公式有49 .設(shè)隨機變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布，試求隨機變量Y=e2X的概率密度fy(y).1,1x2【解】fX(x)升小X0,其他因為P(1<X<2)=1,故P(e2<Y<e4)=1當(dāng)y<e2時Fy(y)=P(Y<y)=0.當(dāng)e2<y<e4時，F(xiàn)y(y)P(Yy)P(e2Xy)當(dāng)y>e4時，F(xiàn)Y(y)P(Yy)120,ye1即FY(y)Iny1,eye21,ye4