高一數(shù)學(xué)反三角函數(shù)1

1、 6.4反三角函數(shù)（1）反正弦函數(shù) 上海市交通大學(xué)附屬中學(xué) 曹建華一、教學(xué)內(nèi)容分析 根據(jù)反函數(shù)的概念，正弦函數(shù)y=sinx（xR）沒有反函數(shù).但是如果我們適當(dāng)選取實(shí)數(shù)集R的一個(gè)子集-，那么函數(shù)y=sinx， x-，就存在反函數(shù)，為什么要選取-，教師要作必要性說明.我們把函數(shù)y=sinx， x-，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，x-1，1，學(xué)生對符號的arcsinx的理解比較困難，前面符號中的x必須滿足|x|1，arcsinx是-，上的一個(gè)角的弧度數(shù)，這個(gè)角的正弦值為x.根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系，函數(shù)y=arcsinx，x-1，1的圖像和函數(shù)y=sinx， x-，的圖像應(yīng)該關(guān)于

2、直線y=x對稱，這樣容易作出反正弦函數(shù)的圖像，根據(jù)其圖像可以得到反正弦函數(shù)y=arcsinx，x-1，1是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1理解函數(shù)y=sinx（xR）沒有反函數(shù)；理解函數(shù)y=sinx， x-，有反函數(shù)；理解反正弦函數(shù)y=arcsinx的概念，掌握反正弦函數(shù)的定義域是-1，1，值域是-，. 2知道反正弦函數(shù)y=arcsinx ，x-1，1的圖像. 3掌握等式sin（arcsinx）=x，x-1，1和arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1. 4能夠熟練計(jì)算特殊值的反正弦函數(shù)值，并能用反正弦函數(shù)值表示角. 5會用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想分析和思考問題.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

3、 教學(xué)重點(diǎn)：理解反正弦函數(shù)概念以及反正弦函數(shù)符號的本質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn)：反正弦函數(shù)的產(chǎn)生和從本質(zhì)上處理正弦函數(shù)的反函數(shù)問題.四、教學(xué)用具準(zhǔn)備直尺、多媒體設(shè)備五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 反正弦函數(shù)的定義 （ 師生討論、探究、提煉概念）反正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的關(guān)系正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用舉例(求特殊值的反正弦函數(shù)值、用反正弦函數(shù)值表示角、運(yùn)用反正弦恒等式化簡或求值)鞏固、反饋、總結(jié)、反思、作業(yè)六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、 情景引入 1復(fù)習(xí) 我們學(xué)習(xí)過反函數(shù)，知道，對于函數(shù)y=f（x），xD，如果對它的值域中的任意一個(gè)值y，在定義域D中都有唯一確定的值x與它對應(yīng)，使y=f（x），這樣得到

4、的x關(guān)于y的函數(shù)叫做y=f（x）的反函數(shù).我們也明確不是任何一個(gè)函數(shù)都存在反函數(shù).函數(shù)要存在反函數(shù)必須要求其自變量與因變量是一一對應(yīng)的. 2思考 那么正弦函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？ 說明 因?yàn)閷τ谌我徽抑刀加袩o數(shù)個(gè)角值與之對應(yīng).正弦函數(shù)的自變量與因變量是多對一的.故而不存在反函數(shù). 3討論 正弦函數(shù)不存在反函數(shù).但只要選取某一區(qū)間使得在該區(qū)間上存在反函數(shù).因變量可以確定自變量，正弦值可以表示相應(yīng)的角值，并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的正弦值表示就可以了.學(xué)生討論應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間，使得存在反函數(shù)呢？這個(gè)區(qū)間的選擇依據(jù)兩個(gè)原則：（1）在所取區(qū)間上存在反函數(shù)；（2）能取到的一切函數(shù)值.可以選取閉區(qū)間，使

5、得在該區(qū)間上存在反函數(shù)，而這個(gè)反函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的反正弦函數(shù).二、學(xué)習(xí)新課 1概念辨析（1）反正弦函數(shù)的定義： 函數(shù)y=sinx， x-，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，x-1，1.（2）反正弦函數(shù)的性質(zhì)： 圖像 定義域-1，1 值域-， 奇偶性：奇函數(shù)，即arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1 單調(diào)性：增函數(shù)說明互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)y=sinx，x-，與函數(shù)y=arcsinx，x-1，1的圖像關(guān)于直線對稱. 2例題分析例1求下列反正弦函數(shù)的值：（1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）解：（1）因?yàn)閟in=，且-，所

6、以arcsin=. （2）因?yàn)閟in0=0，且0-，所以arcsin0=0. （3）因?yàn)閟in（-）=-，且-，所以arcsin（-）=-.例2用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式的x：（1）sinx=，x-，；（2）sinx=-，x-，；（3）sinx=- ，x-，0.解：（1）因?yàn)閤-，由定義，可知x=arcsin； （2）因?yàn)閤-，由定義，可知x=arcsin（-）=- arcsin； （3）在區(qū)間-，0 上，由定義，可知x=arcsin（-）=- arcsin； 在區(qū)間-，-上，由誘導(dǎo)公式，可知x=-+arcsin，滿足 sinx=-.因此x= arcsin或x=-+arcsin.例3化簡

7、下列各式：（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；*（3）arcsin（sin20070）解：（1）因?yàn)?，設(shè)sin=，所以arcsin=，即arcsin（sin）=.（2）因?yàn)?#207;-，而-，且sin=sin，設(shè)sin=sin=，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）=arcsin=.（3）因?yàn)閟in20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270所以arcsin（sin20070）= arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4求函數(shù)f（x）=2a

8、rcsin2x的反函數(shù)f-1（x），并指出反函數(shù)的定義域和值域.解：設(shè)y=2arcsin2x，則= arcsin2x，因?yàn)?x-1，1，arcsin2x-，所以x-，y-，根據(jù)反正弦函數(shù)的定義，得2x=sin，x= sin，將x，y互換，得反函數(shù)f-1（x）= sin，定義域是-，值域是-，. 3問題拓展例1證明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1證明：x-1，1， -x-1，1sinarcsin（-x）= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x又因?yàn)閍rcsin（-x）-，-arcsinx-，且正弦函數(shù)在-，上單調(diào)遞增，所以arcsin（-x）

9、=-arcsinx，x-1，1.說明這是證明角相等的問題，兩個(gè)角僅有同名三角比相等，不能證明這兩個(gè)角相等，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生知道這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，并舉例說明.例2設(shè)x，sinx=，用反正弦函數(shù)值表示x.解：因?yàn)閤，所以（-x）-，又sin（-x）=sinx，得sin（-x）=，于是-x=arcsin，x=- arcsin.說明 對于用反正弦函數(shù)值表示區(qū)間-，外的角，教材不作要求，但考慮到在解實(shí)際問題中常要表示鈍角，因此可補(bǔ)充用反正弦函數(shù)值表示鈍角的練習(xí).以上兩例教師應(yīng)根據(jù)各自學(xué)校學(xué)生的實(shí)際情形進(jìn)行教學(xué).三、鞏固練習(xí)判斷下列各式是否成立?簡述理由.（1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arc

10、sin1=2k+，kZ；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=.解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函數(shù)的定義域?yàn)?1，1；（3）式僅當(dāng)k=0時(shí)成立，k取其他整數(shù)時(shí)，不成立，理由是反正弦函數(shù)的值域?yàn)?，；（6）式不成立，因?yàn)榕c反正弦函數(shù)的定義不符.四、課堂小結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)： （1）反正弦函數(shù)的定義；（2）反正弦函數(shù)的性質(zhì).五、作業(yè)布置（1）書上練習(xí)6.4(1)中的1、2、3、4 （2）思考題：求函數(shù)f（x）=2-arcsin2x的反函數(shù)f-1（x），并指出反函數(shù)的定義域和值域.七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1關(guān)于教學(xué)內(nèi)容 反正弦函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，對后繼課程的學(xué)習(xí)有著重要的作用，特別是在反三角函數(shù)中，反正弦函數(shù)有著模本的作用.而反正弦函數(shù)是反三角函數(shù)單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本節(jié)課與反函數(shù)的基本概念、性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系，通過對這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握反正弦函數(shù)的概念，又可使學(xué)生加深對反函數(shù)概念的理解，而且為學(xué)習(xí)其它反三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，起到承上啟下的