雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題.

1、一、雙曲線的定義1、第一定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1 與F2 的距離之差的絕對(duì)值等于定長（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（ PF1 PF2 2aF1 F2 （ a 為常數(shù)）。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)。要注意兩點(diǎn)：（ 1）距離之差的絕對(duì)值。 （2） 2a |F 1F 2|。當(dāng)|MF 1| |MF 2|=2a 時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F 2 所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|MF 1| |MF 2|= 2a 時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1 所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng) 2a=|F 1F 2|時(shí)，軌跡是一直線上以F 1、 F 2 為端點(diǎn)向外的兩條射線；用第二定義證明比較簡單或兩邊之差小于第三邊當(dāng) 2a |F1F 2 |時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。2、第二定義：

2、動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn) F 的距離與它到一條定直線l（準(zhǔn)線 a2 ）的距離之比是常數(shù) e(e1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)c點(diǎn)的軌跡是雙曲線。這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l 叫做雙曲線的準(zhǔn)線。二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（b 2c2a2，其中 | F1 F2 |=2c）焦點(diǎn)在 x 軸上： x2y 21 （ a 0， b0）a 2b 2焦點(diǎn)在 y 軸上： y2x21 （a 0， b 0）a2b 2（1）如果 x 2 項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x 軸上；如果 y 2 項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在 y 軸上。 a 不一定大于b。判定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，不像橢圓似的比較 x2、y2 的分母的大小，而是 x2、y2 的系數(shù)的符號(hào)，焦點(diǎn)在系數(shù)

3、正的那條軸上（ 2）與雙曲線 x2y21共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是x2ky 21a2b2a2b2k（ 3）雙曲線方程也可設(shè)為：x2y21(mn 0)mn三、雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在x 軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在y 軸）雙曲線x 2y 21(a0, b 0)y 2x 21(a0, b 0)a 2b 2a 2b 2第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 ， F2 的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于F1 F2 ）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。定義范圍對(duì)稱軸對(duì)稱中心焦點(diǎn)坐標(biāo)M MF1 MF22a 2a F1F2yyy yPF2x xF1F2xxPF1第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F 和

4、一條定直線 l 的距離的比是常數(shù)e ，當(dāng) e1 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)F 叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e （ e1 ）叫做雙曲線的離心率。Pyy yyPPF2xxF1F2x xPF1x a ， y Ry a ， x Rx 軸 ，y軸；實(shí)軸長為2a ,2b虛軸長為原點(diǎn) O(0,0)F1( c,0)F2 (c,0)F1 (0,c)F2 (0, c)焦點(diǎn)在實(shí)軸上， ca2b2 ；焦距： F1F22c頂點(diǎn)坐標(biāo)（a ,0） ( a ,0)(0,a ,) (0， a )離心率ec ( e1) ， c2a2b2， e 越大則雙曲線開口的開闊度越大aa2ya 2xc準(zhǔn)線方程c2a 2準(zhǔn)

5、線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：c頂點(diǎn) A1 （ A2 ）到準(zhǔn)線 l 1 （ l 2）的距離為 aa 2c頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離頂點(diǎn) A1 （ A2 ）到準(zhǔn)線 l 2 （ l1 ）的距離為 a2ac焦點(diǎn)F（F）到準(zhǔn)線 l1（ l2）的距離為ca2b212cc焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn) F1 （ F2 ）到準(zhǔn)線 l2 （ l1 ）的距離為 a 2cc漸近線方程共漸近線的雙曲線系方程直線和雙曲線的位置b2b2xb( 虛 )yb x ( 虛 )， c,yc,aa實(shí)a實(shí)a 和將右邊的常數(shù)設(shè)為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解x 2y 2k （ k0 ）y 2x 20 ）a 2b2a 2k （

6、kb2雙曲線 x2y21 與直線 ykx b 的位置關(guān)系：a2b2x2y21轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。利用a2b2ykxb二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦 AB 的弦長 AB1k 2 (x1 x2 )24x1x2通徑： ABy2 y12b2與橢圓一樣a過雙曲線上一點(diǎn)的切x0 xy0 y1y0 yx0 x1 或利用導(dǎo)數(shù)或利用導(dǎo)數(shù)a2b2線a2b2四、雙曲線的參數(shù)方程：xa sec橢圓為xa co syb tanyb si n五、弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于A （x1,y1 ） B（ x2 ,y2）兩點(diǎn)，則AB = 1+k 2x1 x221+k 2x

7、124x1 x2x21+ 1y12k 為直線斜率y2k 21y1y221+24 y1 y2k提醒 解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題時(shí)常利用數(shù)形結(jié)合法、根與系數(shù)的關(guān)系、整體代入、設(shè)而不求的思想方法。2、通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A 、 B 兩點(diǎn)，則弦長| AB |2b2 。a3、特別地，焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解六、焦半徑公式雙曲線 x2y 21（ a 0，b 0）上有一動(dòng)點(diǎn) M (x0 , y0 )a2b2左焦半徑： r= ex+a右焦半徑： r= ex-ayyM'MF1MxxF2F1當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在左支上

8、時(shí) | MF1 |ex0a , | MF2 |ex0aM'F2當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在右支上時(shí) | MF1 |ex0a , | MF 2 |ex0a左支上絕對(duì)值加-號(hào)，右支上不用變化雙曲線焦點(diǎn)半徑公式也可用“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，MF1ex0aMF 22a而雙曲線不帶符號(hào)）ex0構(gòu)成滿足 MF 1MF 2a注：焦半徑公式是關(guān)于x0 的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當(dāng)M ( x0 , y0 ) 在左支端點(diǎn)時(shí) | MF1 | ca ，| MF2 | c a ，當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在左支端點(diǎn)時(shí) | MF1 |c a ， | MF2 | c

9、a七、等軸雙曲線x2y2a2b21 （ a 0， b 0）當(dāng) ab 時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線1。ab ；2。離心率 e2 ；3。兩漸近線互相垂直，分別為y= x ；4。等軸雙曲線的方程 x 2y 2，0 ；八、共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線。22222y2xy與 xy互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：x0 .a 2b 2a2b 2a 2b2九、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系1、點(diǎn)與雙曲線x2y21(a0, b0) 的內(nèi)部x02y021 代值驗(yàn)證，如 x2y21點(diǎn) P( x0 , y0 ) 在雙曲線2b2a

10、2b2ax2y21(a0, b0) 的外部x02y021點(diǎn) P( x0 , y0 ) 在雙曲線2b2a2b2a點(diǎn) P( x0 , y0 ) 在雙曲線 x2y21(a0, b0) 上x02- y02 =1a2b2a2b22、直線與雙曲線代數(shù)法：設(shè)直線 l : y kxm ，雙曲線 x2y 21(a0, b0) 聯(lián)立解得a 2b 2(b 2a 2 k 2 ) x22a2 mkxa 2 m2a 2 b20（ 1） m0時(shí)，bkb，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；aab， kbk，或 k 不存在時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；aa（ 2） m0 時(shí)，k 存在時(shí)，若 b2a 2 k 20 ， k

11、b ，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；相a交若 b2a2k 20 ，( 2a2mk )24(b2a2 k2 )(a2 m2a2b2 ) 4a2b2 (m2b2a2k 2 )0 時(shí)， m2b2a2 k20 ，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；0 時(shí)， m2b2a2 k20 ，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)；0 時(shí) m2b2a2 k20 ，k 2m2b2直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切a2k 不存在，ama 時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；ma或 ma直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；十、雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若雙曲線方程為2、若雙曲線方程為3、若漸近線方程為x24、若雙曲線與 a2x2y21(a0,b0)x2y

12、20a2b2漸近線方程：b2a2M'MF22Myx0FFM' （a0，b0）漸近線方程：Fa2b2yxy0x 2y 2,b xb雙曲線可設(shè)為b2aaa 2y21有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為x2y2b 2a2b 2by xay a x b0 。（ 0 ，焦點(diǎn)在 x 軸上，0 ，焦點(diǎn)在 y 軸上）十一、雙曲線與切線方程x2y21(a0,b0)x0 xy0 y1。1、雙曲線b2上一點(diǎn) P( x0 , y0 ) 處的切線方程是b2a2a2x2y21(a0,b0) 外一點(diǎn) P(x0 , y0 ) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是x0 x y0 y1。2、過雙曲線b2a2b2a2x2y21

13、(a0,b0)2a22b2c23、雙曲線b2與直線 Ax By C 0 相切的條件是 AB。a2橢圓與雙曲線共同點(diǎn)歸納十二、頂點(diǎn)連線斜率雙曲線一點(diǎn)與兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為K 時(shí)得到不同的曲線。橢圓參照選修 2-1P41，雙曲線參照選修 2-1P55。1、A 、B 兩點(diǎn)在 X 軸上時(shí)2、A 、B 兩點(diǎn)在 Y 軸上時(shí)十三、面積公式雙曲線上一點(diǎn)P 與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱之為雙曲線焦點(diǎn)三角形，S PF F b2 cot122面積公式推導(dǎo)：解：在PF1 F2 中，設(shè)F1PF2， PF1r1 ， PF2 r2，由余弦定理得2PF22r12r22(2c)2cosPF12F1F22 PF1PF22r

14、1r2yPF 1OF2x(rr )22r r4c2(2a)22r r24c2121 212r1r22r1r2r1 r22(c2a2 )r1r22b2r1r2r1 r2 r1r2 cosr1 r22b2即 r1r22b2，1cos S PF1F21 r1r2 sin112b2sinb2sin= b2 cot 22cos1cos2橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) F1,F2 構(gòu)成的三角形 PF1F2稱之為橢圓焦點(diǎn)三角形 S PF1F2b2 tan2面積公式推導(dǎo)解：在PF1 F2 中，設(shè) F1PF2， PF1r1 ， PF2r2 ，由余弦定理得222r12r22(2c)2cosPF1PF2F1F22 PF

15、1PF22r1r2yP(r1r2 )22r1r2 4c2(2a) 22r1 r24c22r1r22r1r2F 1OF2x4(a2c2 ) 2r1r22b2r1r22r1r2r1 r2圖 1 r1r2 cos2b2r1r2即 r1r22b21，cos S PF1F21 r1r2 sin12b2sinb2sin= b2 tan221 cos1cos2十四、 ( 雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式 ) ：設(shè) M ( x0, y0 ) 為雙曲線 x2y21弦 AB （ AB 不平行 y 軸）的中點(diǎn)，則有 kAB kOMb2a2b2a2x12y12y1y2a2b21證明： 設(shè) A( x1 , y1 ) ， B( x

16、2 , y2 ) ，則有kAB，兩式相減得：x1x2x2y2221a2b2x12x22y12y22y2y2b2( y y )( y y)b20整理得：122 ，即1212，因?yàn)?M ( x0, y0 ) 是弦 ABa2b222a( x1 x2 )( x1 x2 ) a2x1x2的中點(diǎn)，所以y02 y0y1y2，所以kABkOMb2kOM2x0x1x2a2x0橢圓中線弦斜率公式 kABkOMb2a2雙曲線基礎(chǔ)題1 雙曲線 2x2 y2 8 的實(shí)軸長是 ()A2 B2 2 C4 D4 222設(shè)集合 Px， y x y2 1，Q( x，y)|x2y 1 0 ，記 A P Q，則集合 A 中元素的4個(gè)

17、數(shù)是 ()A 3 B1 C2 D4223x y 1 的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()雙曲線 169A 2 B3 C4 D5y2x2 1 的共軛雙曲線的離心率是_4雙曲線 79能力提升5中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4， 2)，則它的離心率為 ()65A. 6B.5C. 2D. 222x2y 1(a>0) 的漸近線方程為3x±2y 0，則 a 的值為 ()6 設(shè)雙曲線 a 9A 4 B3 C2 D17 從x2y21( 其中 m，n 1,2,3) 所表示的圓錐曲線 (橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個(gè)，mnx 軸上的雙曲線方程的概率為 ()則此方程是焦點(diǎn)在14

18、23A. 2B. 7C.3D.48雙曲線y2x2 1的漸近線與圓 (x 3)2 y2 r2(r >0) 相切，則 r ()63A.6B3C4D6圖 K51 19，以 A、如圖 K51 1，在等腰梯形 ABCD 中， AB CD 且 AB 2AD ，設(shè) DAB ， 0， 2B 為焦點(diǎn)且過點(diǎn) D 的雙曲線的離心率為e1，以 C、D 為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A 的橢圓的離心率為e2，則 e1·e2_.x2y2101(a>0 ， b>0) 的右焦點(diǎn)為F ，若過點(diǎn) F 且傾斜角為 60°的直線與雙曲線的已知雙曲線 2 2ab右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是_1

19、1x2y21(a>0 ， b>0) 的一條漸近線方程為y3x，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F(6,0)，則雙已知雙曲線 2 2ab曲線的方程為 _22x y 1 有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(15， 4)12 (13 分 )雙曲線 C 與橢圓 27 36(1) 求雙曲線 C 的方程；(2) 若 F1， F 2 是雙曲線C 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在雙曲線C 上，且 F 1PF2 120°，求 F 1PF 2 的面積難點(diǎn)突破13 (1)(6 分 )x2y2x2y2a，已知雙曲線 a b 1 和橢圓 m b 1(a>0 ，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以2222b，m 為邊長的三角

20、形是()A 銳角三角形B 直角三角形C 鈍角三角形D 銳角三角形或鈍角三角形(2)(6 分 ) 已知 F 1、F 2 為雙曲線 C：x2 y21 的左、右焦點(diǎn)， 點(diǎn) P 在雙曲線 C 上，且 F1PF 2 60°，則 |PF1| ·|PF2| ()A 2B4C6D8雙曲線綜合訓(xùn)練一、選擇題（本大題共7 小題，每小題5 分，滿分35 分）1動(dòng)點(diǎn) P 到點(diǎn) M (1,0)及點(diǎn) N (3,0)的距離之差為2，則點(diǎn) P 的軌跡是（）A 雙曲線B 雙曲線的一支C兩條射線D一條射線2設(shè)雙曲線的半焦距為c ，兩條準(zhǔn)線間的距離為d ，且 cd ，那么雙曲線的離心率e 等于（）A 2B 3C

21、 2D 33過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦 PQ ， F1 是另一焦點(diǎn)，若PF1Q，則雙曲線的離心率 e等于（2）A 2 1B 2C2 1D2 24 雙曲線 mx2y 21 的虛軸長是 實(shí)軸長的 2 倍，則 m（）A1B 4C414D4x2y21(a,b0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 為該雙曲線在第一象限的點(diǎn)， PF1 F25雙曲線b 2a 2面積為 1，且 tanPF1 F21 , tanPF2 F12, 則該雙曲線的方程為（）2A 12x 23y 21B 5x23y 21512C 3x212 y 21D x 25y 2153126若 F1 、 F2 為雙曲線x2y21

22、的左、右焦點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線的左支上，點(diǎn)M 在雙a2b2曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足 F1OPM ,OP( OF1OM)(0) ，則該雙曲線的離心率為（）OF 1OMA 2B 3C 2D 37如果方程x2y21表示曲線 ,則下列橢圓中與該雙曲線共焦點(diǎn)的是（）pqA x2y21B x2y22qpq2qp1pCx2y 21Dx2y22 pqq2 pq1q二、填空題： （本大題共3 小題， 每小題5 分，滿分15 分）8雙曲線的漸近線方程為x2 y0 ，焦距為 10，這雙曲線的方程為 _。x2y21 表示雙曲線，則k 的取值范圍是。9若曲線1k4 k10若雙曲線 x 2y 21 的漸近

23、線方程為y3 x ，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_4m2三、解答題： （本 大題共 2 小題，滿分 30 分）11. （本小題滿分10 分）雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn) F1 (0,5), F2 (0,5) ，點(diǎn) P(3,4)是雙曲線的漸近線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求漸近線與橢圓的方程。12（本小題滿分20 分）已知三點(diǎn)P（ 5，2）、 F1 （ 6， 0）、 F 2 （ 6， 0）。（ 1）求以 F1 、 F2 為焦點(diǎn)且過點(diǎn) P 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）設(shè)點(diǎn) P、 F1 、 F 2 關(guān)于直線 y x 的對(duì)稱 點(diǎn)分別為 P 、 F1' 、 F 2' ，求以 F1' 、 F2'

24、為焦點(diǎn)且過點(diǎn) P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【基礎(chǔ)熱身】x2 y2 1，所以 a24，得 a 2，所以 2a 4.故實(shí)軸長為 4.1 C 解析 雙曲線方程可化為482x212B解析 由于直線 x 2y 1 0與雙曲線 y 1 的漸近線y x 平行，所以直線與雙曲線只42有一個(gè)交點(diǎn)，所以集合A 中只有一個(gè)元素故選B.x2y23B解析 雙曲線 169 1的一個(gè)焦點(diǎn)是(5,0)，一條漸近線是3x 4y 0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得 d |3× 5 0| 3.故選 B.522224解析 雙曲線 y x 1 的共軛雙曲線是xy1，所以 a3， b 7，所以 c 4，所以離心4.37997率 e4.3【

25、能力提升】225D解析 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2bab 1(a>0，b>0) ，所以其漸近線方程為y± x，因?yàn)辄c(diǎn) (4，c2 a2 1a 2)在漸近線上，所以b1222，可得255，故選 D.a.根據(jù) c a ba2，解得 e ，所以 e22x2y24346 C解析 根據(jù)雙曲線a2 1 的漸近線方程得： y ± x，即 ay±3x 0.又已知雙曲線的漸近線9a方程為 3x±2y0 且 a>0，所以有 a 2，故選 C.7B解析 若方程表示圓錐曲線，則數(shù)組 (m，n)只有 7種：(2， 1)，(3， 1)，(1， 1)，(2,2)

26、，4(3,3)， (2,3)， (3,2)，其中后4 種對(duì)應(yīng)的方程表示焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線，所以概率為P7.故選 B.8 A 解析 雙曲線的漸近線為y ± 2x，圓心為 (3,0)，所以半徑 r | ±2× 3 0| 6.故選 A.39 1 解析 作 DM AB 于 M，連接 BD，設(shè) AB 2，則 DM sin，在 Rt BMD 中，由勾股定理得 BD 5 4cos，所以e1|AB|2，|BD | |AD |5 4cos1e2|CD |22cos，所以 e1·e2 1.|AC| |AD|5 4cos 1102， )解析 依題意，雙曲線的漸近線中， 傾

27、斜角的范圍是60 °，90°)，所以 btan60 °3，a即 b2 3a2，c24a2，所以 e2.11.x2 y2 1解析 b3，即 b3a，而 c 6，所以 b2 3a2 3(36 b2 )，得 b2 27， a2 9，92722a所以雙曲線的方程為x y 1.92712 解答 (1) 橢圓的焦點(diǎn)為F1(0， 3)， F2(0,3)設(shè)雙曲線的方程為y2x22222 2 1，則 a b3 9.ab16 15又雙曲線經(jīng)過點(diǎn) ( 15， 4)，所以 2 b2 1，a解得a2 4， b2 5 或 a2 36， b2 27(舍去 )，22所以所求雙曲線C 的方程為 y

28、4 x5 1.(2) 由雙曲線 C 的方程，知 a 2，b 5， c 3.設(shè) |PF 1| m， |PF 2| n，則 |m n| 2a4，平方得 m2 2mn n2 16.在 F 1PF2 中，由余弦定理得 (2c)2m2 n2 2mncos120° m2 n2 mn 36.由得mn203，所以 F1PF2 的面積為153S mnsin120°3.2【難點(diǎn)突破】13 (1)B (2)B 解析 (1) 依題意有a2 b2m2 b2a2 b2m2，故選 B.a· 1，化簡整理得m(2) 在 F 1PF 2 中，由余弦定理得，222cos60 °|PF1| |PF2 | |F1F2 |，2|PF 1| |PF·2| |PF 1| |PF2| 2 |F 1F 2|2 2|PF 1