反比例函數(shù)題型的綜合提優(yōu)題

1、.第三講反比例函數(shù)典型題、?？碱}復(fù)習(xí)2學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠?qū)⒎幢壤瘮?shù)與其它知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系、綜合分析解決相關(guān)問題，能夠用反比例函數(shù)來解決實(shí)際問題重點(diǎn)難點(diǎn)：綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決反比例函數(shù)中的綜合問題，分析此類問題的切入點(diǎn)，積累解題經(jīng)驗(yàn)合作探究：典型例題講解一、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題例 1（ 2010 四川達(dá)州） 近年來，我國煤礦安全事故頻頻發(fā)生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：從零時(shí)起，井內(nèi)空氣中CO 的濃度達(dá)到4mg/L ，此后濃度呈直線型增加，在第7 小時(shí)達(dá)到最高值46 mg/L ，發(fā)生爆炸；爆炸后，空氣中的 CO 濃度成反比例下降.如圖 11，根據(jù)題中相關(guān)信息

2、回答下列問題：（ 1）求爆炸前后 空氣中 CO 濃度 y 與時(shí)間 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量取值范圍；（2）當(dāng)空氣中的CO 濃度達(dá)到34 mg/L 時(shí)，井下 3 km 的礦工接到自動(dòng)報(bào)警信號(hào)，這時(shí)他們至少要以多少km/h 的速度撤離才能在爆炸前逃生？（ 3）礦工只有在空氣中的 CO 濃度降到 4 mg/L 及以下時(shí)，才能回到礦井開展生產(chǎn)自救，求礦工至少在爆炸后多少小時(shí)才能下井?圖 11;.【答案】 .解：（ 1）因?yàn)楸ㄇ皾舛瘸手本€型增加，所以可設(shè)y 與 x的函數(shù)關(guān)系式為 yk1 xb由圖象知 yk1xb 過點(diǎn)（ 0， 4）與（ 7， 46）b4.解得k16b,7k1 b464 y6

3、 x4 ,此時(shí)自變量 x的取值范圍是 0x 7.(不取 x =0 不扣分， x =7 可放在第二段函數(shù)中)因?yàn)楸ê鬂舛瘸煞幢壤陆?，所以可設(shè) y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 yk2 .x由圖象知 yk2 過點(diǎn)（ 7,46）， k2x46 . k2322 ,7322 y，此時(shí)自變量x 的取值范圍是 x 7.x（2）當(dāng) y =34 時(shí)，由 y6x4 得 ,6 x+4=34 ， x=5 .撤離的最長時(shí)間為 7-5=2( 小時(shí) ).撤離的最小速度為 32=1.5(km/h).(3)當(dāng) y =4 時(shí)，由 y322 得 , x =80.5， 80.5-7=73.5( 小時(shí) ).x礦工至少在爆炸后73.5 小

4、時(shí)能才下井 .例 2、（反比例函數(shù)新穎題） 某小學(xué)為每個(gè)班級配備了一種可以加熱的飲水機(jī)，該飲水機(jī)的工作程序是： 放滿水后， 接通電源， 則自動(dòng)開始加熱， 每分鐘水溫上升 10oC，待加熱到 100oC，飲水機(jī)自動(dòng)停止加熱，水溫開始下降，水溫y(0C)和通電時(shí)間 x (min) 成反比例關(guān)系，直至水溫降至室溫，飲水機(jī)再次自動(dòng)加熱，重復(fù)上述過程設(shè)某天水溫和室溫為20oC，接通電源后，水溫和時(shí)間的關(guān)系如下圖所示，回答下列問題：（ 1）分別求出當(dāng) 0 x8 和 8 xa 時(shí)， y 和 x 之間的關(guān)系式；（ 2）求出圖中 a 的值；（ 3）下表是該小學(xué)的作息時(shí)間，若同學(xué)們希望在上午第一節(jié)下課8：20 時(shí)

5、能喝到不超過40oC 的開水，已知第一節(jié)下課前無人接水，請直接寫出生活委員應(yīng)該在什么時(shí)間或;.時(shí)間段接通飲水機(jī)電源（不可以用上課時(shí)間接通飲水機(jī)電源）時(shí)間節(jié)次上7:20到校7:458:20第一節(jié)午8:309:05第二節(jié)二、反比例函數(shù)與翻折結(jié)合問題例 1如圖，四邊形OABC 是面積為 4 的正方形，函數(shù)y k （x 0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)Bx（ 1）求 k 的值；（ 2）將正方形 OABC 分別沿直線 AB 、BC 翻折， 得到正方形 MABC 、NA BC設(shè)線段 MC 、k（ x 0）的圖象交于點(diǎn) E、 F ，NA 分別與函數(shù) yx求線段 EF 所在直線的解析式;.例 2如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，

6、四邊形AOBC 是矩形，點(diǎn)C 的坐標(biāo)為（ 4， 3），反比例函數(shù) y k （ k0）的圖象與矩形AOBC 的邊 AC、BC 分別相交于點(diǎn)E、F，將 CEF 沿xEF 對折后， C 點(diǎn)恰好落在OB 上（ 1）求證： AOE 與 BOF 的面積相等；（ 2）求反比例函數(shù)的解析式；（ 3）如圖2， P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 3），在反比例函數(shù)y k 的圖象上是否存在點(diǎn)M、 N（ Mx在 N 的左側(cè)），使得以 O、P、 M、N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M、 N 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由;.三、反比例函數(shù)中的探究性問題例 1（ 2010 山東省德州） 探究(1) 在圖 1 中，已知線段

7、 AB，CD，其中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)若 A (-1， 0)， B (3， 0)，則 E 點(diǎn)坐標(biāo)為 _ ；y若 C (-2， 2)， D (-2 ，-1)，則F 點(diǎn)坐標(biāo)為 _；(2) 在圖 2 中，已知線段 AB 的端點(diǎn)坐標(biāo)為 A(a， b) ， B(c， d)，C求出圖中 AB 中點(diǎn) D 的坐標(biāo)（用含 a， b， c， d 的AB代數(shù)式表示） ，并給出求解過程OxD歸納無論線段 AB 處于直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置，第 1y題圖 1當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為 A(a， b)， B(c， d)， AB 中點(diǎn)為 D(x， y) 時(shí)，Bx=_ ， y=_（不必證明）ADy x 2 與反比例函數(shù)運(yùn)用在圖 2 中，一次函數(shù)

8、Ox3的圖象交點(diǎn)為A，B第1題圖2yxy=3求出交點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)；yx若以 A， O， B，P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，BOx請利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P 的坐標(biāo)A(1)(1，0)； (-2， 1y=x-2【答案】 解： 探究)；第1題圖32(2) 過點(diǎn) A ， D， B 三點(diǎn)分別作 x 軸的垂線，垂足分別為A，D ，B，則 AA BBCC y D 為 AB 中點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理得BAD=D BDAcaa cO A D Bx O D = a22即 D 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ac32yy=同理可得 D 點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 b d x2B AB 中點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( a c ， bd )Ox

9、22AP歸納： a c ， b d y=x-222;.y x2 ，運(yùn)用由題意得3.yxx3 ，x1 ，解得或yy1 .3 .即交點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-1， -3)， B(3， 1) 以 AB 為對角線時(shí)，由上面的結(jié)論知AB 中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1， -1) 平行四邊形對角線互相平分， OM=OP，即 M 為 OP 的中點(diǎn) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2，-2) 同理可得分別以 OA ， OB 為對角線時(shí)，點(diǎn) P 坐標(biāo)分別為 (4，4) ， (-4， -4) 滿足條件的點(diǎn)P 有三個(gè)，坐標(biāo)分別是(2， -2) ， (4， 4) ， (-4， -4) 例 2（ 1）探究新知：如圖1，已知 ABC 與 ABD 的面積

10、相等，試判斷AB 與 CD 的位置關(guān)系，并說明理由（ 2）結(jié)論應(yīng)用：如圖 2，點(diǎn) M ， N 在反比例函數(shù)y= k （ k 0）的圖象上，過點(diǎn)M 作 ME y 軸，過點(diǎn)Nx作 NF x 軸，垂足分別為E，F(xiàn)，試證明： MN EF；若中的其他條件不變，只改變點(diǎn)M ，N 的位置如圖3 所示，請判斷 MN 與 EF 是否平行;.【答案】（1）證明：分別過點(diǎn) C， D，作 CG AB， DH AB，垂足為 G， H，則 CGA DHB90 CGDH ABC與 ABD的面積相等，CG DH 四邊形 CGHD為平行四邊形 AB CD（ 2）證明：連結(jié)MF， NE設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為（ x1， y1），點(diǎn) N的

11、坐標(biāo)為（ x2， y2） 點(diǎn) M， N 在反比例函數(shù)yk （ k 0）的圖象上，xx1y1k ， x2 y2k MEy 軸， NF x 軸， OEy1， OF x2 S EFM 1 x1y11 k ，22S 1x2y21k EFN2 2 S EFM SEF N由（ 1）中的結(jié)論可知：MN EF MNEF課堂練習(xí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、若一次函數(shù) y 2x 1 和反比例函數(shù)y k的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1， 1）（ 1）求反比例函數(shù)的解析式；2x（ 2）已知點(diǎn) A 在第三象限，且同時(shí)在兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A 的坐標(biāo)；（ 3）利用（ 2）的結(jié)果，若點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（ 2，0），且以點(diǎn) A、 O、 B、P 為頂點(diǎn)的四邊

12、形是;.平行四邊形，請你直接寫出點(diǎn)P 的坐標(biāo)2、已知：如圖，正比例函數(shù)y=ax 的圖象與反比例函數(shù) y= k 的圖象交于點(diǎn) A(3,2)x（ 1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（ 2）根據(jù)圖象信息回答問題：在第一象限內(nèi)，當(dāng)x 取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于該正比例函數(shù)的值？（ 3） M(m,n) 是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0 m 3過點(diǎn) M作直線 MN x 軸，交 y 軸于點(diǎn) B；過點(diǎn) A 作直線 AC y 軸交 x 軸于點(diǎn) C，交直線 MB于點(diǎn) D當(dāng)四邊形 OADM的面積為 6 時(shí)，求過點(diǎn) M、A 的一次函數(shù)解析式和求出線段 MA 的長能力提升1、（育才二模）“三等分角”是數(shù)

13、學(xué)史上一個(gè)著名問題，但數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，僅用尺規(guī);.不可能“三等分任意角”規(guī)進(jìn)行三等分的 . 如圖向 AOB 內(nèi)部作等邊. 但對于特定度數(shù)的已知角，如90角、 45角等，是可以用尺a， AOB90，我們在邊 OB 上取一點(diǎn) C，用尺規(guī)以 OC 為一邊 OCD ，作射線 OD，再用尺規(guī)作出 DOB 的角平分線 OE，則射線OD 、OE 將 AOB 三等分 . 仔細(xì)體會(huì)一下其中的道理，然后用尺規(guī)把圖b 中的 MON 三等分（已知 MON 45） . （不需寫作法，但需保留作圖痕跡，允許適當(dāng)添加文字的說明）MADEOCBON圖 a圖 b數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法（如圖c）：將給

14、定的銳角 AOB 置于直角坐標(biāo)系中，邊1的圖象交于點(diǎn) P，以 P 為OB 在 x 軸上、邊 OA 與函數(shù) yx圓心、 2OP 長為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R. 分別過點(diǎn) P 和 R 作 x 軸和 y 軸的平行線， 兩直線相交于點(diǎn) M，連接 OM 得到 MOB ，則 MOB 1 AOB . 要明白帕普斯的方法，請研究以3下問題：設(shè) P(a, 1) 、 R(b, 1) ，求直線 OM 對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（用含a、 b 的代數(shù)式表示） .ab分別過點(diǎn)P 和 R 作 y 軸和 x 軸的平行線， 兩直線相交于點(diǎn)Q. 請說明 Q 點(diǎn)在直線OM上，并據(jù)此證明MOB 1 AOB .3圖 c2. （ 2011 江蘇鎮(zhèn)江

15、常州） 在平面直角坐標(biāo)系 XOY 中，直線 l1 過點(diǎn) A（ 1，0）且與 y 軸平行，直線 l2 過點(diǎn) B（ 0，2）且與 x 軸平行，直線 l1 與直線 l 2 相交于點(diǎn) P點(diǎn) E 為直線 l2 上一點(diǎn)，反比例函數(shù) 錯(cuò)誤！未找到引用源。 y k （ k 0）的圖象過點(diǎn) E 與直線 l1 相交于點(diǎn) F x;.（ 1）若點(diǎn) E 與點(diǎn) P 重合，求 k 的值；（ 2）連接 OE OF EF 若 k 2，且 OEF 的面積為 PEF 的面積的 2 倍，求 E 點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 3）是否存在點(diǎn) E 及 y 軸上的點(diǎn) M，使得以點(diǎn) M EF 為頂點(diǎn)的三角形與 PEF 全等？若存在，求 E 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在

16、，請說明理由考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；反比例函數(shù)綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理專題： 分類討論分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy 進(jìn)行解答即可；（ 2）當(dāng) k2 時(shí)，點(diǎn) E F 分別在 P 點(diǎn)的右側(cè)和上方，過E 作 x 軸的垂線EC，垂足為C，過 F 作 y 軸的垂線FD ，垂足為D， EC 和 FD 相交于點(diǎn)G，則四邊形OCGD 為矩形，再求出 SFPE=錯(cuò)誤！未找到引用源。 k2 k+1，根據(jù) S OEF=S 矩形 OCGD S DOF S EGD S OCE 即可求出 k 的值，進(jìn)而求出E 點(diǎn)坐標(biāo)；（ 3）當(dāng) k 2 時(shí)，只可能是 MEF PEF ，作 FH y 軸于 H，由 FHM MBE 可求出 BM 的值，再在 RtMBE 中，由勾股定理得， EM2=EB2+MB 2，求出 k 的值，進(jìn)而可得出E 點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng) k2 時(shí)，只可能是MFE PEF ，作 FQ y 軸于 Q， FQM MBE 得， BM FQEM ，可求出BM 的值，再在Rt MBE 中，由勾股定理得，EM2= EB