母子相似形的妙用

1、母子相似形的妙用直角三角形斜邊上的高分原直角三角形為兩個小直角三角形，這兩個小直角三角形都和原直角三角形相似，這種基本圖形通常形象地叫做母子相似形一母生二子，二子皆似母我們重視這種基本圖形，首先是因為由此導(dǎo)出的三個射影定理a2 =ac，b2=bc，h2=ab(圖 1)應(yīng)用廣泛，眾所周知其次，與此相關(guān)聯(lián)的幾何命題，更是異彩紛呈，俯拾皆是特別是在歷次數(shù)學(xué)競賽和各地中考中與此相關(guān)的幾何命題，也常受到青睞 再次，有些幾何命題，雖然條件中沒有給出這種基本圖形，但可以根據(jù)命題特征，構(gòu)造出母子相似形，從而發(fā)現(xiàn)解題的途徑，在解題過程中，除了充分利用母子相似形的性質(zhì)外，再注意到“相似三角形的一切對應(yīng)線段之比都等

2、于相似比”，那就可以左右逢源了下面先以第 29 屆 IMO 的第五題為例，來說明它的妙用求證： S2T 此題雖有多種證法，但有的涉及高等數(shù)學(xué)知識，有的思路比較曲折下面我們運用母子相似形給出兩種證法，可以看到，這種證法簡捷、明晰、易懂即 S2T僅當(dāng)C=45 °，即 ABC 為等腰直角三角形時，等號成立證得ALK=45 °是關(guān)鍵的一步，但這依賴于母子相似形性質(zhì)的妙用這一重要結(jié)淪，還可以用母子相似形與垂心性質(zhì)相結(jié)合而推得請看證法2證法 2：連結(jié) BM 、CN ，并延長交于 H則 H 是 ABC 的內(nèi)心，連結(jié) AH則 AH 平分A，由母子相似關(guān)系，知 BAD= C，MAD= DCH

3、 故延長 CH 交 AM 于 E，則 CEAM ，同理 BF AN 于是 H 是 AMN 的垂心，則 AH MN ，因而 AH 垂直平分 KL， AKL 為等腰直角三角形，所以 ALK=45 °，以下的證明同證法 1( 從略 )AP例 2 O 外切O'于 P，一條外公切線分別切兩圓于點交O' 于 BAM 交 BN 于 C，AD 切O于DM、NA為O上任意一點，求證： AD=AC 分析：AD 是O' 的切線由切割線定理，知 AD 2=AB ·AP 因而只要證 AC 2=AB ·AP( 圖4)連結(jié) CP ，則轉(zhuǎn)化為證 ABC 與 ACP 構(gòu)成母

4、子相似形即需證C=90 °且， CPAB 事實上，1=3，2=4又因切點三角形PMN 是直角三角形， MPN=90 °，3+4=90 °，從而1+2=90 °又P、 M、C、N 四點共圓，5=6=B，于是 Rt ABC 與 Rt ACP 是母子相似形，從而 CP AB，AC 2 =AB·AP于是命題得證兩點注意： (1) 已知條件中并無母子相似，經(jīng)分析后，構(gòu)造出母子相似，輕而易舉地證明了命題，但切點三角形的基礎(chǔ)知識不可忽視 (這是初中幾何第三冊 P.144 的例4)；(2)A 為O 上任意一點，當(dāng)然可在劣弧 PM 上，這時結(jié)論是否成立？嚴(yán)格說來

5、，本題應(yīng)用枚舉歸納法詳證，讀者可自行補上圖形變化雖大證法基本同上例 3 在 ABC 中AB=AC ，高 AD 與 BE 交于 H EFBC ，垂足為 F，延長 AD 到G使 DG=EF ， M 是 AH 的中點試證： GBM=90 °(圖 5) 分析：已知兩條高線， 因而有諸多直角三角形 故應(yīng)充分考慮母子相似形的應(yīng)用 欲證GBM=90 °已知BD GM 只要證 BD 2 =GD ·DM ；因為 BD=DE GD=EF ，所以只要證 DE 2=EF ·DM ，若將 EF 平移至 DK，并連 ME 這時只要證 DEM 與 DKE 是母子相似形，即只要證 DEM=90 °因為BE 是高線，所以只要 1=2，或3= 4這最后需要的充分條件恰與已知條件相吻合至此，思路打通，命題可證評述：用構(gòu)造出的母子相似推斷出題目要求的母子相似這正是射