概率論__練習(xí)題

1、2.給出多維隨機(jī)變量相互獨(dú)立和兩兩獨(dú)立的概念事件組的獨(dú)立性？,為什么說多維隨機(jī)變量的獨(dú)立性本質(zhì)上是隨機(jī)一、簡答題（每題8分，共計(jì)40分）1.事件的獨(dú)立性是否存在傳遞性？即事件A與事件B相互獨(dú)立，事件B與事件C相互獨(dú)立，能否推知事件 A與事件C相互獨(dú)立？試舉例說明.解答事件的獨(dú)立性不存在傳遞性.（3分）反例獨(dú)立地拋擲出一枚硬幣和一個(gè)骰子，令三個(gè)事件如下A =出現(xiàn)正面, B=擲出第6點(diǎn), C=出現(xiàn)反面（6分）則事件A與事件B相互獨(dú)立，事件B與事件C相互獨(dú)立，但事件A與事件C不相互獨(dú)立.（8分）解答 設(shè)n維隨機(jī)變量（X1,X2，Xn）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（X1,X2，Xn）,若對所有實(shí)數(shù)組（x1, x

2、2 , xn ） 均有F（Xi,X2,Xn） =Fi（Xi）F2（X2）Fn（Xn）成立，稱Xi,X2，Xn相互獨(dú)立.（3分）若對一切 1 ii i2 n 及（Xi1 ,Xi2）都有 F（X1,Xi2）=Fj1 （X1）Fi2（Xi2）成立則n 維隨 機(jī)變量（Xi,X2，Xn）兩兩獨(dú)立.（5分）根據(jù)分布函數(shù)的定義，n維隨機(jī)變量（X1,X2，Xn）相互獨(dú)立即對任意實(shí)數(shù)向量（Xi,X2,-Xn）,n個(gè)隨機(jī)事件Ak=Xk Xk, k=1,2,n一都相互獨(dú)立.（8分）工3.設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且同分布：PX=1=PY=1= 2 ,PX=1=PY=1=22,試計(jì)算概率PX=Y和PX+Y=0.解答

3、 根據(jù)X與Y的邊緣分布律得下表（3分）X / Y-11X-112112Y工2121根據(jù)隨機(jī)變量 X與Y的相互獨(dú)立性，可知上表中四個(gè)空格處概率均為4 ,（6分有下表(X , Y)(-1, -1)(-1, 1)(1, -1)(1, 1)r 1111P4444可得 PX=Y= 4 + =1,PX+Y=0= 14 +4 =1(8 分)注用其他表達(dá)形式得到結(jié)果，類比給分.2x E4yW4x的概率.解答 任意選取兩個(gè)數(shù)”意味x和y在0, 2上等可能被選取，即二維隨機(jī)點(diǎn)(X, Y)在邊長為2的正方形上服從均勻分布(3分)所求概率為i 2i 2(x x )dx4 04_ 1一3(8分)5.假設(shè)隨機(jī)變量X服從指

4、數(shù)分布，試求Y=minX,2的分布函數(shù)，并討論隨機(jī)變量Y是否為連續(xù)型隨機(jī)變量，為什么？0,y :0;解 Fx (x) = Pmin( X,2) E V =(PXEy, 0 y 2;1,y。(3分)0,y ：二 0;-e;y,0 y 2;1,y 至2.(6分)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)處處連續(xù),Fx (x)在y=2處不連續(xù)，故Y非連續(xù)型隨機(jī)變量(8分)二、證明題(12分)已知隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，且XU(0,1), YB(1, Y2相互獨(dú)立.P).證明X2與4.在區(qū)間0, 2上任意取兩個(gè)數(shù)x, V,試求兩數(shù)滿足不等式證明 需證 對任意的yWR&k = 0,1 ,隨機(jī)事件X2 Ey與Y2=k相互

5、獨(dú)立.(3分)因Y與Y2同分布，且X與Y相互獨(dú)立，當(dāng)y之0, k =0,1(5分)PX2 yY2 =k=P-QWX M J7Y =k = P-J； MX Mj_y = PX2 y (9 分) 當(dāng) y 0, k =0,1PX2 EyY2 = k =0 =PX2 y故X2與Y2相互獨(dú)立.或證明 任意實(shí)數(shù)對（x, y）, （X2, Y2）聯(lián)合分布函數(shù) G（x, y）滿足(12 分)電壓種狀態(tài)下G（x, y） =FX2（x）Fy2（y）（14分） 設(shè)電源電壓XN（22Q 252）（單位： 不超過200V; （b）電壓在200V240 V之間；,某電子元件損壞的概率分別0.1, 0.001及0.2,2）

6、在電子元件損壞的情況下，分析電壓最可能處于什么狀態(tài)V）,通常有三種狀態(tài)：（a）（c）電壓超過240 V.在上述三試求1）該電子元件損壞的概率?（附：（0.8） =0.7881,6（1.2） =0.8849）解 記 A =電壓處于狀態(tài) a, A2 =電壓處于狀態(tài)b, A =電壓處于狀態(tài)c,B=該元件損壞,則A, A2, A3構(gòu)成的一個(gè)劃分，且P(BA)=0.1, P(B 4) =0.001, P(BA3)=0.2(3 分)200 - 220、P(A) =PX () =1 - ：，(0.8) =0.211925P(A2) =1 - P(A1) - P(A3) =0.57623由全概率公式P(B)P

7、(Ai)P(B Ai) =0.0642i 1(10 分)（2）由貝葉斯公式P(AB) =3PB=02坨9=0.3301,P(B)0.0642P(A)P(B A)P(A2B)=-2- = 0.0090P(B)P（A3 B） =0.6601, 在電子元件損壞的情況下(12 分),分析電壓最可能處于狀態(tài)（c）.(14 分)四、（14分）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為p的0-1分布，已知矩陣X1 X2 I t11X11為正定矩陣的概率為 -.試求1）參數(shù)p的值；2）隨機(jī)變量Y =1X2 X38X2X2X3的概率 PY -0.解1）因矩陣正定的充分必要條件是其所有順序主子式都大于0,故

8、有（3分）1 PX1 0,X1X3-X2 0 =PX1 =1,X2 =0,X3 =1 = p2（1-p） 81解得p = 一 .（7分）222）隨機(jī)變量Y =X*3 - X；的全部取值為1,0,1,（10分）一 一 一2 一PY =0二PX,X3 -X2 =0學(xué)習(xí)幫手= PX1 =0,X2 =0,X3 =0 PX1 =1, X2=1, X3 = 1- PX1 =0,X2 =0,X3 =1 PX1 =1,X2 =0,X3 =0= PXi =0PX2 =0PX3 =0 PX1 =1PX2 =1PX3 =1PX1 =0PX2 =0PX3 =1 PX1 =1PX2 =0PX3 = 04 1=工=工(1

9、4分)(20分)隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是1 f(x，y)=9ex* 2 y2一 21十2 二-,2e g(x)g(y) (x, y)”2其中g(shù)(x)cosx1)證明X與Y都服從正態(tài)分布 Ji;2)求隨機(jī)變量Y關(guān)于X的條件概率密度；3)討論X與Y是否相8 2互獨(dú)立？ 4)根據(jù)本題的結(jié)果，你能總結(jié)出什么結(jié)論,二 1 一e(3分)解 1) fX(x) = f (x,y)dy =30x2131-2e 2e 一2 二2 二即 X N(Q1).2二 .1 4-cosxcosydy e2 二(5分)45cfY(y) = .f (x,y)dx 二一e一2 二x2 -y212 dx e一 g(x

10、)g(y)dx = -KJY N(0,1)2)對任意xe R(9分),因 fx(x) A02f(x, y) 1-yr二efx(x)2 二2te2-(72 g)g(x)g(y), y R(14 分)3)因fx(x)fY(y) #f(x,y),故X與Y不相互獨(dú)立.或因fY x (y) = fY (x),故X與Y不相互獨(dú)立.(17 分)4)如n維正態(tài)隨機(jī)變量的每一分量均服從正態(tài)分布可由條件分布確定兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 等等，只要是總結(jié)出可用的結(jié)論均可反之不成立；(20 分)1 .設(shè)F1(x), F2(x)為兩個(gè)分布函數(shù)，問：(1) F1(x)+F2(x)是否分布函數(shù)？(2) F1(x)Fz(x)是否

11、分布函數(shù)？給出證明。2.設(shè)進(jìn)入商場的顧客人數(shù)X服從參數(shù)為九的泊松分布，進(jìn)入該商場的顧客購買商品的概率為P,假.學(xué)習(xí)幫手定顧客是否購買商品是相互獨(dú)立的求該時(shí)間段內(nèi)購買商品的顧客人數(shù)Y所服從的分布。學(xué)習(xí)幫手電子科技大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一次測驗(yàn)題(第1-2章)測驗(yàn)方式：隨堂開卷時(shí)間：45分鐘一、某車間在一個(gè)生產(chǎn)班次中加工了N件產(chǎn)品，其中有M個(gè)次品.現(xiàn)從該批產(chǎn)品中任意取出n個(gè)產(chǎn)品，試給出其中次品件數(shù) X的分布列(律).能否認(rèn)為次品件數(shù) X服從二項(xiàng)分布？需滿足什么假設(shè)條 件？參考答案：是分類抽球模型問題，X服從超幾何分布：P(Am) =CmCn/Cnn, m =1,2; min(M,n),n0.99,

12、根據(jù)X)的單調(diào)性，有之2.33（）。仃CThh - i解得 9（） 0.99, （6分）根據(jù)X）的單調(diào)性，有2.33 （8分）GCT確定出參數(shù) w和02后,可解出h之2.33仃+ N. （10分）2.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,x01 + xF （x） = , 0 三 X ：二 121, X -1請根據(jù)該分布函數(shù)的特點(diǎn)判斷：X是離散型隨機(jī)變量嗎？是連續(xù)型隨機(jī)變量嗎？說明理由.參考答案既非連續(xù)型隨機(jī)變量也非離散型隨機(jī)變量.（4分）離散型隨機(jī)變量至多僅取可列多個(gè)值，但X可取區(qū)間（0, 1）中的任意值，對任意a,bw （0,1）且2%有1b 1 a b。a Pa WX 0或者其他解答（10 分）3

13、 . n重貝努里試驗(yàn)具有什么特點(diǎn)？若八是進(jìn)行10重貝努里試驗(yàn)中關(guān)注的隨機(jī)事件，請寫出事件A首次發(fā)生時(shí)的試驗(yàn)次數(shù) Y分布律.參考答案n重貝努里試驗(yàn)具有獨(dú)立性與可重復(fù)性，僅關(guān)心兩個(gè)可能結(jié)果：A與A (4分)設(shè)P( A) = p , A表示第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生。PY =k = PAiA2AkjAk =P(Ai)P(A2)P(Akj)P(Ak) =(1 p)k,p , k = 1,2,，9 (8 分)PY =10 =PAiA2A9A0UA瓦A10 =(1-p)9p + (1-p)10=(1- p)9(10 分)4 .試說明：A1，A2，A3，A4四個(gè)事件相互獨(dú)立需要成立哪些式子？共多少個(gè)？而要說明隨機(jī)

14、變量(X1，X2，X3，X4)相互獨(dú)立，卻僅需要知道分布函數(shù)滿足如下一個(gè)式子F(X1,X2,X3,X4)=F1(X1)F2(X2)F3(X3)F4(X4)即可?參考答案：寫出公式(4分)從中任取2個(gè)事件滿足P(AiAj) = P(Ai)P(Aj)有C：種取法；從中任取3個(gè)事件有C：種取法；任取4個(gè)事件有C4種取法。因?yàn)?C0 +C； +C： + +Cn =2n ,所以 C2 +C： +C： =24 -C： -C： =24-4 -1.(6 分)而要說明隨機(jī)變量(X1，X2，X3，X4)相互獨(dú)立，因?yàn)槿粢阎植己瘮?shù)滿足F (X1, X2，X3, X4 ) = F1( X1 )F2 (X2 ) F3

15、 (X3 )F4 (X4 ),貝U：任取2個(gè)隨機(jī)變量Xi,Xj均有Xi,Xj相互獨(dú)立，即F(XiXj) = lim -F(Xi,Xj,Xk,X,)=Fi(x)Fj(Xj)Fk(二)Fr(二)=Fi (x (Xj).X( Xr同理任取3或4個(gè)隨機(jī)變量均有如上類似結(jié)果成立。故(X1，X2，X3，X4)相互獨(dú)立僅需 要知道 F(X1，X2，X3，X4) =F1(XJF2(X2)F3(X3)F4(X4) 一個(gè)式子即可。(10 分)、(共15分)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品每10件為一批。假定每批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過 2件，并具有如下表所示的概率：單批產(chǎn)品中的次品數(shù)012（件）概率0.10.30.6現(xiàn)在進(jìn)行抽檢

16、，從每批產(chǎn)品中抽取5件來檢驗(yàn)，如果發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格。求通過檢驗(yàn)的一批產(chǎn)品中，沒有次品的概率。（12分）解：設(shè)A表示通過檢驗(yàn)；Bi表示10件產(chǎn)品中有i件次品，i =0,1,2(3分)根據(jù)全概率公式有2P(A) =、, P(Bi)P(ABi) =0.1 i =0C；0C500.3C5G500.6CC1023一 0.383360(9分)當(dāng)i =0時(shí)，有P(B A)=P(BA)P(A)P(B0)P(A| B。)P(A)0.1 123 606=定 0.260923(15 分)共15分）設(shè)隨機(jī)變量X在0,2上服從均勻分布，Y服從參數(shù)九=2的指數(shù)分布，且X,Y相互獨(dú)立，（1） 求關(guān)于a的

17、方程a2+Xa+Y =0有實(shí)根的概率（答案可用符號表示）；(2)求 PX+2YE3.解：，十0.5, 0x：，0, y 0且X,Y相互獨(dú)立，故, e y, 0x0 ,即X2Y ，（9分）故方程有實(shí)根的概率為4x .PY -= f (x, y)dxdy= JJ e ydxdy = J0 dx4/x2X y丁一4一4X212_.2 0(e 2 -1)dx =1-2x20-y-(0) =1 -x22e 2 dx =1-0(*(2) -0.5) (12 分)1 ,一e2（15 分）(2)PX +2Y3=仃 f (x, y)dxdyx 2V 133-x22y1 23 -xe dy = 3 (1 -e )dx = 1四、（共15分）y 0；y 0.（5分）（8分）設(shè)隨機(jī)變量XN（0, o2）,試寫出Y=X的概率密度P y X 0;0,y 0.（12 分）(15 分)|得分|一五共15分）設(shè)電子管壽命 X的概率密度為 100f（X） =x2，0，若一架收音機(jī)上裝有三個(gè)這種管子，求（1）使用的最初x 100,x _100.150小時(shí)內(nèi)，至少有兩個(gè)電了管被燒壞的概率（2）在使用白最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù) Y的分布列；（3） Y的分布函數(shù)。Y為在使用的最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù)，YB（3, p）,其中_15