確定二次函數(shù)關(guān)系式的常見題型及解法

1、確定二次函數(shù)關(guān)系式的常見題型及解法深圳市福田區(qū)新洲中學(xué) 溫德君確定二次函數(shù)的關(guān)系式，既是數(shù)學(xué)教學(xué)重點，也是教學(xué)的難點，學(xué)生學(xué)習(xí) 不易掌握.在全國各地的中考考試中是必考內(nèi)容，它可出現(xiàn)在選擇題、填空題 中，而且基本上都會出現(xiàn)在最后的壓軸題中。解題的基本思想方法是待定系數(shù) 法和數(shù)形結(jié)合方法，根據(jù)題目給出的具體條件或結(jié)合圖形，設(shè)出不同形式的解 析式，找出滿足解析式的點，求出相應(yīng)的系數(shù).下面就確定二次函數(shù)關(guān)系式的 常見題型及解法如下。一、定義型：此類題目是根據(jù)二次函數(shù)的定義來解題， 必須滿足二個條件：1、a WQ 2、 x的最高次數(shù)為2次.2例1、若y (m2 m)xm1是二次函數(shù)，則m = .解：由

2、m2+ mw(X#:m wQ 且 m 4 1由 m2 -2m 1 = 2 得 m = 1 或 m =3 m = 3 ._2 c練習(xí)1.若y (a 2)xa 2 5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a= .二、開放型此類題目只給出一個條件，只需寫出滿足此條件的解析式，所以他的答案 并不唯一.例2、寫出一個開口向下的二次函數(shù)的表達(dá)式 .分析：根據(jù)給出的條件，所以這道題只需滿足y a 2 b c中的a (0, -2).解答 ： 根據(jù)點的坐標(biāo)是平面直角坐標(biāo)系中的平移規(guī)律： “左加右減， 上加下減 . ”故選D2. (2013?雅安)將拋物線y= (x-1) 2+3向左平移1個單位，再向下平移 3 個單位后所得拋物

3、線的解析式為( )A. y= (x-2) 2 B. y= (x-2) 2+6 C. y=x2+6D. y=x2分析： 根據(jù) “左加右減、上加下減” 的原則進(jìn)行解答即可解答：解：將拋物線y= (x-1) 2+3向左平移1個單位所得直線解析式為：y= (x 1+1) 2+3,即 y=x2+3;再向下平移3個單位為：y=x2+3-3,即y=x2.故選 D 點評： 本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換， 熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵四、用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)關(guān)系式- 4 -例5.拋物線y=a (x-1) 2+4經(jīng)過點A ( - 1, 0),求該拋物線的解析式分析：將A坐標(biāo)代入拋物線解析式，

4、求出a的值，即可確定出解析式；解答：解：(1)將 A (1, 0)代入 y=a(x1) 2+4 中，得：0=4a+4,解得：a= 1,則拋物線解析式為y=- (x-1) 2+4；例6.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c過點A (1, 0), C (0, -3),求此二次函 數(shù)的解析式。分析：利用待定系數(shù)法把A (1, 0), C (0, -3)代入)二次函數(shù)y=x2+bx+c 中，即可算出b、c的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式是 y=x2+2x-3;解答：解：二.二次函數(shù) y=x2+bx+c 過點 A (1, 0), C (0, -3),.(l+b+c=O,二-3，解得產(chǎn)2 ,I鏟-3二次函數(shù)的解析式為y

5、=x2+2x - 3;(一)頂點式若已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸、極值，則設(shè)為頂點式 y a x h 2 k .這 頂點坐標(biāo)為(h, k ),對稱軸方程x = h,極值為當(dāng)x = h時，y極值=k來求 出相應(yīng)的系數(shù)；例7.拋物線與x軸交于A,與y軸交C點，點A的坐標(biāo)為(2, 0),點C 的坐標(biāo)為(0, 3)它的對稱軸是直線x= ,求拋物線的解析式。2分析：根據(jù)拋物線的對稱軸得到拋物線的頂點式， 然后代入已知的兩點再由待 定系數(shù)法求解即可；解答：解：設(shè)拋物線的解析式 卜a工十2地ya+k=O 1a+k = 5把A (2, 0) C (0, 3)代入得練習(xí)：1.二次函數(shù)的圖象過點(3,0), (2,-

6、3)兩點，對稱軸為x=1,求這個二次函 數(shù)解析式.解 設(shè)這個二次函數(shù)解析式為y=a(x-1) (2011江蘇無錫，9, 3分)下列二次函數(shù)中，圖象以直線 x = 2為對稱+n,由已知，得4a n 0a 1,a n軸，且經(jīng)過點(0, 1)的是 ()A. y = ( x - 2) 2 + 1BC. y = ( x - 2) 2 - 3D【答案】C解之，得n 4.所求的二次函數(shù)解析式為y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.注 當(dāng)已知二次函數(shù)的圖象的對稱軸為x=x。時，可設(shè)它的解析式為 y=a(x-x0)2+n,這樣只需求兩個特定系數(shù) a, n.3 .已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ c的圖象頂點

7、坐標(biāo)為(一2, 3),且過點(1, 0), 求此二次函數(shù)的解析式.4 .拋物線v= ax2+bx+ c的頂點坐標(biāo)為(2, 4),且過原點，求拋物線的解析 式.(二)兩根式已知圖像與x軸交于不同的兩點 X1,0 , x2,0 ,設(shè)二次函數(shù)的解析式為y ax xi x x2 ,根據(jù)題目條件求出a的值.例8已知二次函數(shù)的圖象y= - x2+bx+c經(jīng)過點A (3, 0) , B (T, 0). 求這個二次函數(shù)解析式.分析：根據(jù)拋物線y= -x2+bx+c經(jīng)過點A (3, 0), B ( - 1, 0),直接得 出拋物線的解析式為；y=- (x-3) (x+1),再整理即可，解答：解：:拋物線y=-x

8、2+bx+c經(jīng)過點A (3, 0), B (T, 0).拋物線的解析式為；y=- (x-3) (x+1),即 y= - x2+2x+3 ,例9已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于(一2, 0) , (4, 0)兩點，且過(1,-9),求這個二次函數(shù)解析式2分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖像與x軸交于(一2, 0), (4, 0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為；y=a (x+2) (x-4),再代入(1, 9)求出a值即可。2解、 圖像與x軸交于(一2, 0) , (4, 0)兩點，設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a (x+2) (x-4).又圖象經(jīng)過點(1, 9)2. . 9= a( 1 +2)( 1 - 4)2，I1解得a=

9、-2.二次函數(shù)解析式 y = ( x +1) ( x -4)=1 2 3x 2.222練習(xí)：1.拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交C點，點A的坐標(biāo)為(2,0),點C的坐標(biāo)為(0, 3)它的對稱軸是直線x= ,求拋物線的解析式。2分析：根據(jù)拋物線的對稱軸得到拋物線的頂點式， 然后代入已知的兩點再由待 定系數(shù)法求解即可;解答：解：設(shè)拋物線的解析式 卜社5+2)2+k(25a+k=O把 A (2, 0) C (0, 3)代入得：-a+k=3L時即尸一J 工+3(三)一般式當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個點時，設(shè)為一般式y(tǒng) a 2 b c,轉(zhuǎn)化成一個三元一次方程組，以求得 a, b, c的值；例 10 已

10、知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過點 A (0, 3), B (3, 0), C (4, 3), 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式。.- 16 -分析：把點A、B、C代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c利用待定系數(shù)法求解 解法：解：(1)二.拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過點 A (0, 3), B (3, 0), C (4, 3), 3- 9a+3bR=0 ,、16a+4b+c=3a=l解得4 b= - 4 ,lc=3所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2 - 4x+3;練習(xí)：1.拋物線 y=ax2+bx+c (a加)經(jīng)過點 A ( - 3, 0)、B (1, 0)、C ( -2,1),求拋物線的表達(dá)式分析

11、：把點A、B、C的坐標(biāo)分別代入已知拋物線的解析式列出關(guān)于系數(shù)的三9a - 3b+cT。元一次方程組，a+b+c=O ,通過解該方程組即可求得系數(shù)的值或設(shè)交點式(兩4a - 2b+cG L點式)解答均可.解答：解：由題意可知a9a 3b c 0a b c 0.解得b4a 2b c 113231拋物線的表達(dá)式為y=1x2 2x 1. 332.已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(1, 4),(1, 0) , ( 2, 5),求拋物線的函數(shù)表達(dá)式解答：解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：a 2 b c,依題意得：4 a b ca 10 a b c 解得：b 25 4a 2b cc 32 y x 2x 3小結(jié)：用

12、待定系法確定二次函數(shù)關(guān)系式時，要靈活運(yùn)用頂點式、交點式和 般式。一般步驟是：:知道頂點設(shè)頂點式，知道文軸的兩交點設(shè)交點式，都不知就設(shè)一般式.；II諛二次函欷關(guān)系圖莪或已知點解方程或方程蛆把求出的系數(shù)代回關(guān)系式五、數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合式的二次函數(shù)的解析式的求法，此種情況是融代數(shù)與幾何為一體， 把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，充分運(yùn)用三角函數(shù)、解直角三角形等來解決問題， 只要充分運(yùn)用有關(guān)幾何知識求出解析式中的待定系數(shù)，以達(dá)到目的.例 11.已知在 RtAOAB 中，/OAB=90, /BOA=30, OA=|23,若以 O 為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點 B在 第一象限內(nèi)

13、，將RtOAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處.求經(jīng)過點O, C, A三點的拋物線的解析式.分析： 在RtAAOB中，根據(jù)AO的長和/ BOA的 度數(shù)，可求得OB的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到 OA=OC,且/ BOC=/BOA=30 ,過 C 作 CD，x 軸 于D,即可根據(jù)/ COD的度數(shù)和OC的長求得CD、 OD的值，從而求出點C、A的坐標(biāo)，將A、C、O 的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可 求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式.解答：解：過點C作CH，x軸，垂足為H;.在 RtzXOAB 中，/OAB=90 , /BOA=30 , OA= 273, . .OB=g

14、：； =4, AB=2；由折疊的性質(zhì)知：/ COB=30, OC=AO=2” ./COH=60, OH=CH=3;C點坐標(biāo)為(必,3).O點坐標(biāo)為:(0, 0),，拋物線解析式為y=ax2+bx (a0),.圖象經(jīng)過 C (V5, 3)、A (273, 0)兩點，,f3=3a.+V3bio=12a-F2V3b，此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y= x2+2/Sx.例12.如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形 AOB , O為坐標(biāo)原點，OA=1 ,tan/ BAO=3 ,將此三角形繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90, 得到 DOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C.求 拋物線的解析式；分析：利用三角函數(shù)和圖

15、形的旋轉(zhuǎn)知識，先求 出A、B、C的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法就可以直接 求出二次函數(shù)的解析式；解答： 解：在 RtAAOB 中，OA=1, tan/BAO=3, OA . OB=3OA=3 .DOC是由AAOB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90而得到的，.-.DOCAAOB, .OC=OB=3, OD=OA=1 ,A、B、C 的坐標(biāo)分別為(1, 0), (0, 3) (-3, 0).代入解析式為Z:-1解得：，b= - 2 .I c-3拋物線的解析式為y= - x2 - 2x+3;練習(xí) 1. (2013?寧波)已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A (1, 0), B (3,0),且過點 C (0, -

16、3).(1)求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；(2)請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y=-x上，并寫出平移后拋物線的解析式考點 ： 二次函數(shù)圖象與幾何變換；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式分析：(1)利用交點式得出y=a (x-1) (x-3),進(jìn)而得出a求出的值，再利用配方法求出頂點坐標(biāo)即可；(2)根據(jù)左加右減得出拋物線的解析式為 y=-x2,進(jìn)而得出答案.解答：解：(1)二.拋物線與x軸交于點A (1, 0), B (3, 0),可設(shè)拋物線解析式為y=a (x-1) (x-3),把 C (0, - 3)代入得：3a=- 3,解得：a= - 1,故拋物線解析式為y= - (x-1)

17、(x-3),即 y= - x2+4x - 3,y=- x2+4x - 3= - (x-2) 2+1,頂點坐標(biāo)(2, 1);( 2)先向左平移2 個單位，再向下平移 1 個單位，得到的拋物線的解析式為y=-x2,平移后拋物線的頂點為(0, 0)落在直線y=-x上.點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的平移以及配方法求二次函數(shù)解析式頂點坐標(biāo)以及交點式求二次函數(shù)解析式， 根據(jù)平移性質(zhì)得出平移后解析式是解題關(guān)鍵練習(xí) 2 ( 2013?眉山壓軸題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 A 、 B 在 x 軸上，點 C、D 在 y 軸上，且 OB=OC=3, OA=OD=1 ,拋物線 y=ax2+bx+c (a經(jīng)過 A

18、、 B、 C 三點，直線AD 與拋物線交于另一點 M ( 1)求這條拋物線的解析式；(2) P為拋物線上一動點，E為直線AD上一動點，是否存在點P,使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在， 請求出所有點P的坐標(biāo)；若 不存在，請說明理由.(3)請直接寫出將該拋物線沿射線 AD方向平移血個單位后得到的拋物線的 解析式.考點：二次函數(shù)綜合題分析：(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2) ZXAPE為等腰直角三角形，有三種可能的情形，需要分類討論：以點A為直角頂點.過點A作直線AD的垂線，與拋物線的交點即為所求點P.首先求出直線PA的解析式，然后聯(lián)立拋物線與直線 PA的解析式，求

19、出點 P的坐標(biāo)；以點P為直角頂點.此時點P只能與點B重合；以點E為直角頂點.此時點P亦只能與點B重合.(3)拋物線沿射線AD方向平移6個單位，相當(dāng)于向左平移1個單位，并向 上平移一個單位.據(jù)此，按照 左加右減”的原則，確定平移后拋物線的解析式.解答：解：(1)根據(jù)題意得，A (1, 0), D (0, 1), B (-3, 0), C (0, 3).拋物線經(jīng)過點A (1, 0), B (-3, 0), C (0, -3),則有:a+b+c=O 9a- 3b+c=0 ,c二- 3Ia=L解得，b=Z , c- - 3.拋物線的解析式為：y=x2+2x - 3.(2)存在.APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形：以點A為直角頂點.如解答圖，過點A作直線AD的垂線，與拋物線交于點P,與y軸交于點F. ，OA=OD=1 ,則AOD為等腰直角三角形， .PAXAD ,則