考研數(shù)學(xué)140分必背公式大全

1、全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一入學(xué)考試數(shù)學(xué)公式大全導(dǎo)數(shù)公式:(tgx)sec2 x(ctgx)csc2 x(secx) secx tgx(cscx)cscx ctgx(ax) axlna(logax)1xlna(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)基本積分表：tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Cdx2- cos xdx一 2 sin x2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx CcscxdxIn cscxctgxsecx tgxdx secx Cdx2 xdx2 a一 arctg 一

2、Ca1 In 2acscx ctgxdx cscx Cxx a axdx CIn ashxdx chx Cdx22a xdx22a xLn 2a. x arcsin aIn2sinn xdxo.x2 a2dx22 ,x a dx、a2 x2dxcos0n xdxx x2 a2chxdx shx Cln(x 2 a2) C x a2 a / 一 ln(x22 a 一 In x22 a . x arcsin C三角函數(shù)的有理式積分:,xu tg-,22dudx 21 u22u1 u2sin x 2, cosx 2,1 u21 u2一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:雙曲正弦:shx雙曲余弦:chx雙曲正切

3、:thx2x xe e2shx exchx exarshxarchxln(x x2 1)ln(xx21)arthx1ln12 1三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：sinx /lim 1x 0 xlim(1 l)x e 2.718281828459045、啰數(shù) 角A、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a2

4、70 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差角公式:sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctg和差化積公式:sinsin2sincos22sinsin2 cos2sin2coscos2cos-2cos-2coscos2 sin2sin2倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos22cosctg212ctg2tg1 tg221 1 2sin22 cos2 sins

5、in3cos33sin4cos334sin3cos半角公式:sin 一2tg21 cos21 cos,1 coscos2tg33tg tg31 cos23tg2正弦定理：一sin A反三角函數(shù)性質(zhì):1 cossinsin1 cosctg-1 cos1 cos1 cossinsin1 cosbsin B2R 余弦定理：c2 sin C2abcosCarcsin x高階導(dǎo)數(shù)公式一一萊布尼茲(2Leibnizarccosxarctgx一 arcctgx 2公式:n(n)八 k (n k) (k)(uv) Cnu vk 0(n)(n 1)u v nu vSV 2)v2!n(n 1) (n kk!1)

6、(n k) (k)u V(n) uv中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f(b)f(b)f(a)f ( )(b a) )F(b) F(a)當(dāng)F(x) x時(shí), 曲率：柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理?；∥⒎止?ds v1 y 2dx,其中 y tg平均曲率：K:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s： MM弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率:-I s| Idsy I(1 y2)3直線：K 0;半徑為a的圓:定積分的近似計(jì)算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b拋物線法：f(x)ab a,(V。yinb a 1干2(y。yn)b a 、(y。yn) 3nyn 1 )yiyn 1 2(y2

7、VaVn 2) 4(yi V3yn 1 )定積分應(yīng)用相關(guān)公式: 功：W F s水壓力：F p A引力：Fkm要,k為引力系數(shù) r函數(shù)的平均值：y1 b, f(x)dxb a a a均方根：1 bb-2f (t)dt aa空間2點(diǎn)的距離：d M 1M 2向量在軸上的投影：Pr ju AB空間解析幾何和向量代數(shù):,、2,、2,、2.(X2 X1) (V2 V1) (Z2 Z1)aB cos ,是AB與u軸的夾角。Prju(a a2) Prja Prja2a b a b cosaxbx avbv azbz,是一個(gè)數(shù)量xx y y z z，兩向量之間的夾角： cosaxbx22axayaybyazbz

8、az2,bx2,22bybzijkcaba b sin .例：線速度:axayaz, cbxbybz向量的混合積：abc (a b) cax ay az bx by bza b c cos ,為銳角時(shí),cxcycz代表平行六面體的體積平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(x x0) B(y y0) C(zzo) 0,其中 n A, B,C, Mo(xo,yo,zo)2、般方程：Ax ByCz D 03、截距世方程：-y a b平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離:AX0 By0 CZ0 DA2 B2 C2Xo空間直線的方程:x x。myy。nZoPt,其中s m,n,p;參數(shù)方程:y。ZomtntPt二次曲面:

9、1、橢球面:2、拋物面:2 x2 a2 x2p2yb22y2qz,(p,q 同號(hào))3、雙曲面:單葉雙曲面:雙葉雙曲面:2 xa2 xab22 zc2 zc1(馬鞍面)多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz dx x全微分的近似計(jì)算：dy yz dz, u . u , u .du dx dy dzx fx(x,y) xy z fy(x,y) y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：z fu(t)，v(t)第z fu(x,y),v(x,y)uz v tv tz u z當(dāng)u u(x,y), v , u . u .du dx dyxv(x, y)時(shí)，dv隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:隱函數(shù)F(x,y) 0,dydxdxxdyy隱函數(shù)

10、F(x,y,z) 0,三Fy-Fx Fzd2y dx2Fx(x)+ 一(x Fy yFx岸ydydxFyFz隱函數(shù)方程組：F(X，y，U，V)°G(x,y,u,v) °J (F，G)/ F (u,v)G Gu vFuGuFvGvu1(F,G)v1(F,G)xj(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)x空間曲線yz(t)(t)在點(diǎn)M (x°, y°, z° )處的切線方程:(t)X x°-(Uy y° (t°)z z°在點(diǎn)M處的法平面方程:(t°)(x X&

11、#176;)(t°)(y y°)(t°)(z z°)°微分法在幾何上的應(yīng)用:若空間曲線方程為：""為°則切向量T FyFz,FzFx,FxFyG(x,y,z)°GyGzGzGx GxGy曲面 F(x,y,z) °上一點(diǎn) M (x°,y°,z°),則: 1、過此點(diǎn)的法向量:n Fx(x°, y°,z°), Fy(x°,y°, z°), Fz(x°, y°,z°)z°)2

12、、過此點(diǎn)的切平面方程:Fx(x°,y°,z°)(x x°) Fy(x°,y°,z°)(y y°) Fz(x°, y° ,z°)(z3、過此點(diǎn)的法線方程:x x°y y°z z°Fx(x°,y°,z°)Fy(x°,y°,z°) Fz(x°, y°,z°)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)z f (x, y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向l的方向?qū)?shù)為： cos sin l x y其中為

13、x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z f (x, y)在一點(diǎn) p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i j x y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：、 grad f (x, y) e,其中e cos i sin j,為l方向上的單位向量-f是gradf (x, y)在l上的投影。多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(x°, y°)fy(x°,y°) °,令：fxx(x°,y°) A, fxy(x°,y°) B,fyy(x°,y°) C2AC B2則：AC B22AC B2A°時(shí)，A°時(shí)

14、,°,(x°,y°)為極大值°,(x°,y°)為極小值 無極值 不確定重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrdDD曲面z f(x, y)的面積AD2dxdy平面薄片的重心：x M-xMx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于x軸I x2y (x, y)d ,Dy (x,y)dD(x, y)dD對(duì)于y軸I y平面薄片(位于xoy平面)對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M (0,0, a),(a0)的引力:2x (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x,y)xd(x, y)ydFxfT，F(xiàn)yf3

15、D/222 X2D/222、5(x y a )(x y a )柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：Fz(x, y)xdfa 3D / 222.2(x y a )x r cos 柱面坐標(biāo)：y r sinf (x, y, z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz,其中：F (r, ,z) f (r cos , r sin , z)x r sin cos球面坐標(biāo)： y r sin sin , dv rd r sind dr r2sin drd dz r cosf (x, y,z)dxdydz F(r,、2)r sin drd d2r(,)2d d F(r, , )r sin dr000重心：x x dv,M

16、1_1y dv, z z dv,其中 M xMMdv轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I x (y2 z2) dv,22(x z ) dv,22Iz (x y ) dv曲線積分：第一類曲線積分(對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分)：設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：x ，(t )，則：y (t)x tf(x, y)ds f (t), (t)v 2(t)2(t)dt () 特殊情況：ly 第二類曲線積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)：設(shè)L的參數(shù)方程為xyP(x, y)dx Q(x,y)dyL兩類曲線積分之間的關(guān)P (t),(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLQdy(P cos Q cosL)ds,其中和分別為L(zhǎng)上積分起止點(diǎn)處

17、切向量的方向角。Q P格林公式：( 一)dxdy二Pdxd x yl當(dāng) Py,Q x,即：-Q -P 2時(shí)，x y平面上曲線積分與路徑 無關(guān)的條件:1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；Qdy格林公式：(-QD x得到D的面積：AP)dxdy ydxdy1一D2l:Pdx QdyLxdy ydx2、P(x, y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且-Q = -P。注意奇點(diǎn)，如(0,0),應(yīng) x y曲面積分：對(duì)面積的曲面積分:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分:R(x, y,z)dxdyP(x, y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxRx,y,z(x,y)dxdy,DxyPx( y,z), y,zdydz,D yzQ

18、x, y(z, x),zdzdx,取曲面的上側(cè)時(shí)取正取曲面的前側(cè)時(shí)取正取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào);號(hào);號(hào)。減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分， 注意方向相反! 二元函數(shù)的全微分求積：,Q P-,在=一時(shí)，Pdx Qdy才是一兀函數(shù)u(x, y)的全微分，其中: x y(x,y)u(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常設(shè) x0 y0 00(xo.Yo)2,-2tf(x,y,z)ds fx,y,z(x,y) 1 Zx(x,y) zy(x,y)dxdyDxyP(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy,其中：zx兩類曲面積分之間的關(guān) 系：Pdydz Qdzdx

19、Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQR八八( )dvPdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos Qcos Rcos )dsxyz高斯公式的物理意義通量與散度：散度：div 上 上，即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若 div0,則為消失x y z通量： A ndsAn ds(Pcos Qcos Rcos )ds,因此，高斯公式又可寫 成： div Adv oAnds斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系：一)dxdy ： Pdx Qdy Rdz ycoscoscosxyzPQRQPRQPzzxxyRQPRQ( )dydz ( )dzdx ( yzzxxdydz

20、 dzdx dxdy上式左端又可寫成：xyzPQR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：- yijk旋度：rotA xyzPQR向量場(chǎng)A沿有向閉曲線的環(huán)流量：Pdx Qdy Rdz A tdsn 11 qqi q(n 1)n n 21是發(fā)散的 n常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：1 q q2等差數(shù)列：1 2 3調(diào)和級(jí)數(shù):1 - 12 3級(jí)數(shù)審斂法:1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 根植審斂法(柯西判 別法)：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)： l|mn；U-，則1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散01時(shí)，不確定2、比值審斂法：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)： lim小二，則 1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散n UUn1時(shí)，不確定3、定義法：sn u1 u2un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)

21、散n交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1u2u3u4(或u1 u2u3,un0)的審斂法萊布尼茲定理:如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足un un 1limun 0'n那么級(jí)數(shù)收斂且其和su1,其余項(xiàng)rn的絕又t值rnun 1。絕對(duì)收斂與條件收斂：(1)u1 u2un，其中un為任意實(shí)數(shù)；(2)u1| 陽(yáng)岡 M如果(2)收斂，則 肯定收斂，且稱為絕對(duì) 收斂級(jí)數(shù)；如果(2)發(fā)散，而收斂，則稱為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)：1發(fā)散，而(-收斂；nn1級(jí)數(shù)：收斂；n勿Mr1/P 1時(shí)發(fā)散P級(jí)數(shù)：Inpp 1時(shí)收斂哥級(jí)數(shù)：23 n /|X 1時(shí)，收斂于71-1 X X X X1 Xx 1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0 a1x a2x數(shù)軸上都收斂

22、，則必存 在R,nXnaXXX,如果它不是僅在原點(diǎn) 收斂，也不是在全R時(shí)收斂R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。R時(shí)不定0時(shí)，R求收斂半徑的方法：設(shè)limnan 1an,其中an，an 1是(3)的系數(shù)，則0時(shí),R時(shí)，R 0函數(shù)展開成哥級(jí)數(shù):函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：f(x) f(X0)(x X0)匚曳(x X0)余弦級(jí)數(shù)：bn 0, an f (x)cosnxdxf()(Xo)(x X0)n2!n!余項(xiàng)：RnUI )(x (n 1)!xo)n 1, f(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：lim Rn0nx0 0時(shí)即為麥克勞林公式:一些函數(shù)展開成哥級(jí)數(shù)：f(x) f(0) f(0)x ”f(n)(0)

23、n xn!m d m(m 1) 2(1 x) 1 mx - x2!m(msinx x5x5!(1)n2n 11 x(2n 1)!1) (m n 1) n xn!( x(1x1)歐拉公式:ix ixe ecosx ix2e cosx isin x 或ix ixe esin x 2三角級(jí)數(shù):f(t) A。其中，a0An sin( n t n 1aAo，ann)a0An sin n，bn(an cosnx bn sin nx)n 1An COs n,t x。在正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2x sin nx,cosnx 任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積 上的積分=0。傅立葉級(jí)數(shù):f (x

24、) a0(an cosnx bn sin nx), 周期 22 n 11an f (x)cosnxdx (n 0,1,2 )其中1,bnf (x)sinnxdx (n 1,2,3 )1121111 1 32 52822 32 42工工工 二八1工2122 42622422 32 422正弦級(jí)數(shù)：an 0, bn f (x)sin nxdx02(相力口)62(相減)12n 1,2,3 f (x)bnsinn混奇函數(shù)n 0,1,2 f (x) -a0ancosn如偶函數(shù)21f(x) a0-(an cos-nx bn sin-nx；), 周期2 n 111周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):an其中b

25、n一 f(x)cos dx1 11 1n x .一 f (x)sindx1 11(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相關(guān)概念: 一階微分方程：y f(x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy f(x)dx的形式，解法:(x,y),即寫成y的函數(shù)，解法：x分離變量，積分后將2代替u,(u) uxg(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成6 f(x,y) dxydydudu,、dx以u(píng),貝U ux ,u(u),xdxdxdxx即得齊次方程通解。一階線性微分方

26、程：1、一階線性微分方程：dy P(x)y Q(x) dx/'當(dāng)Q(x) 0Bt,為齊次方程，y Ce "xP(x)dxC)e、當(dāng)Q(x)訓(xùn)，為非齊次方程，y ( Q(x)e P(x)dxdx2 貝努力方程：dy P(x) y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即:u 、udu(x, y) P(x, y)dx Q(x,y)dy 0,其中:一 P(x,y),一 Q(x,y) xyu(x,y) C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：d2y dx2P(x)dxQ(x)yf(x”f(x)f(

27、x)0M為齊次0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p, q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y , y , y的系數(shù);2、求出()式的兩個(gè)根r1,r23、根據(jù)r1,r2的不同情況，按下表寫 出(*)式的通解:r1, r2的形式(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p2 4q 0)rix2xy CieC2e兩個(gè)相等實(shí)根(p2 4q 0)y (ci C2x)erix一對(duì)共軻復(fù)根(p2 4q 0)rii ,2ipJ,4q p22'2y e x (Ci cos x C2 sin x)二階常

28、系數(shù)非齊次線性微分方程y py qy f(x), p,q為常數(shù)f(x) exPm(x)型，為常數(shù)；f (x) exP(x)cos x Pn(x) sin x型線性代數(shù)部分1 . n行列式共有n2個(gè)元素，展開后有n!項(xiàng)，可分解為2n行列式；2 .代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和aj的大小無關(guān)；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0;、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為A| ;3 .代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij ( 1)i jAjAj ( 1)i jMj4 . 設(shè)n行列式D :n( n 1)(1)n(n 1)D ;將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1，則D1 (

29、1)"d ；將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90o,所得行列式為 D2,則D2將D主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置)，所得行列式為D3 ,則D3將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為5.行列式的重要公式:D、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積;副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積上、下三角行列式(11 |)n (n 1)(1尸；主對(duì)角元素的乘積;1和1 I：副對(duì)角元素的乘積n( n 1)1尸;拉普拉斯展開式:a|b、(1)m5 A B范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積;特征值；6.對(duì)于n階行列式|A，恒有：| E A1)kSk nSk為k階主子式;7.證明A 0的方法:、|A |A ；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組 Ax

30、 0 ,證明其有非零解;、利用秩，證明r(A) n；、證明0是其特征值；2、矩陣1. A是n階可逆矩陣:A 0 （是非奇異矩陣）；r（A） n （是滿秩矩陣）A的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組Ax 0有非零解；b Rn , Ax b總有唯一解；A與E等價(jià)；A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；A的特征值全不為0;AT A是正定矩陣；A的行（列）向量組是 Rn的一組基;A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2.對(duì)于n階矩陣A :AAA E無條件恒成立;3.1 *1(A ) (A )(A 1)T(AT) 1* TT *(A ) (A )(AB)T BT AT*(AB)111(AB) 1 B 1A 14.5.

31、矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論,A其中均B可逆:1.一個(gè)A2OAsA1IIA2 l |As| ；A11n矩陣CB1AB 1CA3、（主對(duì)角分塊）（副對(duì)角分塊）1;（拉普拉斯）1 BO ；（拉普拉斯）矩陣的初等變換與線性方程組A ,總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的:Er OO O m n等價(jià)類：所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣;2.3.4.對(duì)于同型矩陣A、B ,若r(A) r(B) A: B ;行最簡(jiǎn)形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個(gè)非。元素必須為1;、每行首個(gè)非。元素所在

32、列的其他元素必須為 0;初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)r、若(A,E) : (E,X),則 A可逆，且 X A 1 ;c、對(duì)矩陣(A,B)做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)镋時(shí)，B就變成A 1B ,即：(A,B) (E, A 1B);r、求解線形方程組：對(duì)于n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax b,如果(A,b): (E,x),則A可逆，且x A%;初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；，左乘矩陣A,i乘A的各行元素；右乘， 乘A的各列元素;n、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)111E(i,j),且 E(i, j) 1 E(i, j

33、),例如：1111、倍乘某行或某列，符號(hào)1E(i(k),且 E(i(k)E(i(1),例如:k11k111X (k 0)；1、倍加某行或某列，符號(hào)E(ij(kD,且 E(ij(k) 1 E(ij( k),如:11 k111 k1 (k 0)；15.、型如0 10 0b的矩陣：利用二項(xiàng)展開式;1二項(xiàng)展開式:n _ 0 n(a b)CnaC：amCn a-n 1 1L Cn a bCnbn m m n mCn a b ;m 0注：I、 （ab）n展開后有n1項(xiàng);7.8.9.10.11.n、Cm n(n 1)L L (n m 1)ig2gsg_ gm出、組合的性質(zhì)： Cnm c；1m、利用特征值和相

34、似對(duì)角化:伴隨矩陣:、伴隨矩陣的秩:*r(A )、伴隨矩陣的特征值:m!(n m)!(AXCmnCmnr(A)r(A)r(A)X,ACn0CmnCnA A1Cnr 2n 0rCnC； 1 ；A A 1、關(guān)于A矩陣秩的描述:、r(A)、r(A)、r(A)線性方程組:D、A中有A中有A中有An1n階子式不為0, n1階子式全部為0;（兩句話）n階子式全部為0;n階子式不為0;Ax b ,其中A為m nm與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組矩陣，則：Ax b有m個(gè)方程;n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax b為n元方程;線性方程組Ax b的求解：、對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、

35、特解：自由變量賦初值后求得；由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成a11x1a12 x2La1n xnba21x1a22x2La2n xnb2.LL L L LL LL L LL ，am1x1 am 2 x2La x nm人。bna11a12La1nx1b1a21a22 La2nx2b2MM OMMMam 1am 2LamnxmbmD、只能使用初等行變換）；n元線性方程:Ax b （向量方程，A為m n矩陣,m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)）x1、a1 a2 Lanx2 （全部按列分塊，其中b2 ）；12nMMxnbn、a1x1 a2x2 L anxn （線性表出）、有解的充要條件：r（A） r（A, ） n

36、（ n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、 向量組的線性相關(guān)性1 . m個(gè)n維列向量所組成的向量組A ：1, 2,L , m構(gòu)成n m矩陣A （1, 2,L, m）;T 1Tm個(gè)n維行向量所組成的向量組B： J, ；,L ,：構(gòu)成m n矩陣B 2 ;MT m含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；Ax 0 有、無非零解；（齊次線性方程組）Axb 是否有解；（線性方程組）AX B 是否有解；（矩陣方程）2 .、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)、向量的線性表出、向量組的相互線性表示3 .矩陣Am n與Bl n行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組 Ax 0和Bx 0同解；（P101例14）4 .r(ATA) r(

37、A) ； ( P101 例 15)5 . n 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、 線性相關(guān)0 ；、,線性相關(guān), 坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、, , 線性相關(guān), , 共面；6 . 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若1,2,L ,s線性相關(guān)，則1, 2,L , s, s 1必線性相關(guān)；若1,2,L ,s線性無關(guān)，則1, 2,L , s1必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若 r 維向量組 A 的每個(gè)向量上添上n r 個(gè)分量，構(gòu)成n 維向量組 B ：若 A 線性無關(guān)，則 B 也線性無關(guān)；反之若B 線性相關(guān)，則 A 也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡(jiǎn)言之：無關(guān)組延長(zhǎng)后仍無關(guān)，反之，不確定；7 .向量

38、組A （個(gè)數(shù)為r ）能由向量組B （個(gè)數(shù)為s）線性表示，且A線性無關(guān)，則r s （二版P74定理7）;向量組A 能由向量組B 線性表示，則r（A） r（B） ；（ P86 定理3）向量組A 能由向量組B 線性表示AX B 有解；r（A） r（A, B） （ P85 定理 2）向量組A能由向量組B等價(jià) r（A） r（B） r（A,B） （ B5定理2推論）8 .方陣A可逆存在有限個(gè)初等矩陣 P,P2,L ,Pl ,使A PP2L P ;r、矩陣行等價(jià)：ABPAB(左乘，P可逆)Ax0與Bx0同解c、矩陣列等價(jià)：ABAQB(右乘，Q可逆)；、矩陣等價(jià)：A BPAQB(P、Q可逆)；9 .對(duì)于矢I陣

39、Am n與Bl n ：、若A與B行等價(jià)，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價(jià)，則Ax 0與Bx 0同解，且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān) 性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10 . 若 Am sBsn Cm n ，則：、C 的列向量組能由A 的列向量組線性表示，B 為系數(shù)矩陣；、C 的行向量組能由B 的行向量組線性表示，AT 為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11 . 齊次方程組 Bx 0 的解一定是ABx 0 的解， 考試中可以直接作為定理使用，而無需證明 ；、ABx 0 只有零解Bx 0只有零解；、Bx 0 有非零解ABx 0一定存在非零解；12 .設(shè)向量組Bnr

40、 :bl, b2,L,br可由向量組Ans ： A色人自線性表示為：(Pl10題19結(jié)論)(b1, b2,L ,br) (a1,a2,L ,as)K ( B AK )其中K為s r ,且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)r(K) r ; ( B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性 )(必要性： Q r r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r ；充分性：反證法)注：當(dāng) r s 時(shí)， K 為方陣，可當(dāng)作定理使用；13 .、對(duì)矩陣Amn，存在Qnm，AQ Em r(A) m、Q的列向量線性無關(guān)；(4)、對(duì)矩陣Am n ,存在Pn m , PA En (A) n、P的行向量線性無關(guān)；14 .

41、1, 2 ,L , s 線性相關(guān)存在一組不全為 0 的數(shù)k1,k2,L ,ks ，使得 k1 1 k2 2 L ks s 0成立；(定義)x1( 1, 2,L , s) xM20有非零解，即 Ax 0有非零解；xsr( 1 , 2,L , s) s ，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15 .設(shè)m n的矩陣A的秩為r ,則n元齊次線性方程組 Ax 0的解集S的秩為：r(S) n r；* - . . - . .一 .-一 * . . . 一16 .若 為Ax b的一個(gè)解，1, 2,L , n r為Ax 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則 ，1, 2,L , n r線性無關(guān)；(Pm題 33 結(jié)論 )5、 相似矩陣和

42、二次型1. 正交矩陣AT A E 或 A 1AT (定義)，性質(zhì)：、 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aiTaj1 i j (i, j 1,2, L n) ；0 ij、若A為正交矩陣，則A 1 AT也為正交陣，且 A 1 ;、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化 和單位化；2. 施密特正交化：（ai,2,L，&）bi A ；b2a2ba 1 回hL L Lhbi,aJM，a,L,bri,aj 人.bracbigb2L* i ；bi，bb2,b2b i，a i3 .對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣，不同特征值對(duì)

43、應(yīng)的特征向量正交；4 .、A與B等價(jià)A經(jīng)過初等變換得到 B ；PAQ B , P、Q 可逆； r（A） r（B） , A、B 同型； 、A與B合同 CT AC B,其中可逆；xT Ax與xT Bx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)；、A與B相似 P iAP B ;5 .相似一定合同、合同未必相似；若C為正交矩陣，則 CTAC B A: B,（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴(yán)格）；6 .A為對(duì)稱陣，則 A為二次型矩陣；7 .n元二次型xT Ax為正定：A的正慣性指數(shù)為n ;A與E合同，即存在可逆矩陣 C ,使CTAC E ;A的所有特征值均為正數(shù)；A的各階順序主子式均大于0;aH 0, A| 0 ;（必

44、要條件）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分1 .隨機(jī)事件及其概率AA A吸收律：A A AA (AB) A A (A B) AA B AB A (AB)反演律："AB A B AB A Bnn nn A A A A i 1i 1 i 1i 12 .概率的定義及其計(jì)算P(A) 1 P(A)若A B P(B A) P(B) P(A)對(duì)任意兩個(gè)事件 A, B,有P(B A) P(B) P(AB)加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B,有P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B) P(A) P(B)nP( A)i 1nP(A)P(AAj)i 11 i j nP(AAjA)1 i j k n(1)n

45、 1P(AA2An) 3 .條件概率c c AP(AB)P B A_-P(A)乘法公式P(AB) P(A)P B A (P(A) 0)P(A1A2An) P(A)P A2 A P An AA2An 1全概率公式(P(A1A2 An1)0)nP(A)P(ABi)i 1P(Bi) P(A Bi)Bayes公式P(Bk A)P(ABk)P(A)P(Bk)P(ABk)P(B)P(ABi) i 14 .隨機(jī)變量及其分布 分布函數(shù)計(jì)算P(a X b) P(X b) P(X a) F(b) F(a)5 .離散型隨機(jī)變量(1) 0 -1分布 k1 kP(X k) p (1 p) , k 0,1(2)二項(xiàng)分布 B(n, p)若 P (