多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)

1、多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)1.2 1.2 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念第一節(jié)第一節(jié) 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì) 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì) 定義定義1(1(多元數(shù)量值函數(shù)積分多元數(shù)量值函數(shù)積分) )記作上的積分在為函數(shù)也簡稱在不致混淆的情況下上的在元函數(shù)且稱此常數(shù)為多上在稱函數(shù)那末同一常數(shù)時上述和式都趨于的直徑的最大值當(dāng)所有中怎樣選取在點(diǎn)怎樣劃分如果不論作和式作乘積任取點(diǎn)的度量示表用個小部分任意地劃分為將上的數(shù)量值函數(shù)是定義在函數(shù)可求體積即可求長或可求面積或它是可度量的界的幾何形體表示一個有設(shè). .) )( (, ,積積分分. .)

2、 )( (可可積積. .fffdMMfnkMfMnknfkkknkkkkkkkkkk)(,0)(,)(,)(., 2 , 1,),(.)(, 2 , 1),()(,)(),(,)(1多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì) .或d,)(limd10積積分分微微元元積積式式被被被被積積函函數(shù)數(shù)積積分分域域稱為稱為稱為其中ffMfMfknkkd .d,)( ,)(d,limd,)(),()() 1 (10微微元元面面積積二二重重積積分分稱為是二重積分的積分域的直角坐標(biāo)是點(diǎn)其中上的在區(qū)域稱為于是就是子區(qū)域的面積上的二元函數(shù)定義在就是那么平面上的區(qū)域是如果kkkknkkkdkkMfyxffMffxOy多元數(shù)量值

3、函數(shù)積分的概念和性質(zhì) .d,)( ,)(,limd,)(),()()2(10積微元積微元體體三重積分三重積分稱為是三重積分的積分域的直角坐標(biāo)為點(diǎn)其中上的在區(qū)域稱為于是就是子區(qū)域的體積上的三元函數(shù)定義在就是那么是三維空間的閉區(qū)域如果VVMVfVfVzyxfVVfVkkkknkkkkkdVkk于是就是子弧段的弧長函數(shù)或三元上的二元就是定義在弧段那么的曲線弧段或空間是一條平面如果,)()(),()()()3(kCfC多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì) .)(,)(,limd,limd,1010積積分分路路徑徑一一型型曲曲線線積積分分第第對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分稱為其中也稱為上在曲線段稱為或CCf

4、sfszyxfsfsyxfCnkkkkkdCnkkkkd .,)(,limd,)(),()()4(1,0曲曲面面積積分分第第一一型型對對面面積積的的曲曲面面積積分分也稱為上在曲面稱為于是就是子曲面的面積上的三元函數(shù)就是定義在那么為一片曲面如果SfSfSzyxfSSfSSnkkkkkdkk多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)1.1.線性性質(zhì)線性性質(zhì) ddd)2(,dd) 1 (MgMfMgMfkMfkMkf為一常數(shù)2.2.對積分域的可加性對積分域的可加性 21ddd,)()(),()()(2121MfMfMf則除邊界點(diǎn)外無公共部分與且設(shè)1.3 1.3 積分存在的條件和性質(zhì)積分存在的條件和性質(zhì)多元數(shù)量值

5、函數(shù)積分的概念和性質(zhì) dd)2(fMf LMflMLMfld,)3(則若4.4.中值定理中值定理 PfMfPCfd,)(,使點(diǎn)上至少存在一則在設(shè) dd,) 1 (MgMfMMgMf則若3.3.積分不等式積分不等式多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)這這種種立立體體稱稱為為曲曲頂頂柱柱體體上上連連續(xù)續(xù)且且在在面面頂頂部部是是曲曲軸軸的的柱柱面面線線平平行行于于的的邊邊界界曲曲線線為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線而而母母是是以以側(cè)側(cè)面面面面上上的的有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域它它的的底底部部是是設(shè)設(shè)有有一一立立體體 ), 0 ) ,( ( ) ,( , , , DyxfyxfzzDDyxo 2.1 2.1 二重積分的幾何意義二重積

6、分的幾何意義1.1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 xzo),(yxfz yD定義定義多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)體積體積 = =平頂柱體的體積計(jì)算平頂柱體的體積計(jì)算底面積底面積高高類似曲邊梯形面積的求法類似曲邊梯形面積的求法曲頂柱體的體積計(jì)算曲頂柱體的體積計(jì)算多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)iiiifV ) , (xzyoDiD ),(ii 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)（3 3）求求和和 將將 n 個個小小平平頂頂柱柱體體的的體體積積相相加加，得得到到原原曲曲頂頂柱柱體體 體體積積的的近近似似值值，即即 .) ,(11

7、iniiiniifVV （4 4）取取極極限限 設(shè)設(shè)max1的的直直徑徑iniD ，則則曲曲頂頂柱柱體體 的的體體積積 iniiifV 10) ,(lim. . 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)2.2.平面薄板的質(zhì)量平面薄板的質(zhì)量 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄板板在在oxy平平面面上上占占有有區(qū)區(qū)域域 D，其其面面密密度度 為為 D 上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)) ,(yx ，求求該該平平面面薄薄板板的的質(zhì)質(zhì)量量 m. . xyoD如何求非均勻薄板的質(zhì)量呢如何求非均勻薄板的質(zhì)量呢? ? 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)（2 2）近近似似 ) , (iiiD ) , 2, , 1(ni ， 第第i塊塊小小薄

8、薄板板的的質(zhì)質(zhì)量量 im) , (ii i . . xyoD) , (ii iD （1 1）分分割割 將將區(qū)區(qū)域域 D ( (即即薄薄板板) )任任意意分分成成 n 個個子子域域：nDDD , , ,21， 并并以以i 表表示示iD ) , 2, , 1(ni 的的面面積積. . 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)9.1.2 9.1.2 二重積分的概念二重積分的概念 ) ,(limd),( 10iniiiDfyxf 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)積分和積分和被積表達(dá)式被積表達(dá)式.),( lim d ),( 10iniiiDfyxf 積積分分區(qū)區(qū)域域被積函數(shù)被積函數(shù)積分

9、變量積分變量面積元素面積元素多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義.,的的體體積積二二重重積積分分表表示示曲曲頂頂柱柱體體當(dāng)當(dāng)被被積積函函數(shù)數(shù)大大于于零零時時., 的的負(fù)負(fù)值值的的體體積積二二重重積積分分表表示示曲曲頂頂柱柱體體當(dāng)當(dāng)被被積積函函數(shù)數(shù)小小于于零零時時多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì) .dd),(d),( DDyxyxfyxf ,dddyx xyo. D區(qū)域區(qū)域分分于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃在直角坐標(biāo)系下用平行在直角坐標(biāo)系下用平行則面積元素為則面積元素為故故二二重重積積分分可可寫寫為為多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性

10、質(zhì)xyzO32223421 d ayxaD .323a , 222表表示示上上半半球球面面被被積積函函數(shù)數(shù)yxaz .),(,d222222ayxyxDyxaD : . 1 求求積積分分的的值值根根據(jù)據(jù)定定積積分分的的幾幾何何意意義義例例由由定定積積分分的的幾幾何何意意義義知知多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)9 9. .1 1. .2 2 二二重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì) .重重積積分分都都存存在在假假設(shè)設(shè)以以下下所所涉涉及及到到的的二二多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 7 7 （二重積分中值定理二重積分中值定理） .),(d),( ), ,( , , ) ,( fyxfDDDyxfD 使使得得上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在的的面面積積為為記記上上連連續(xù)續(xù)在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)解解：區(qū)區(qū)域