重慶高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)數(shù)學(xué)試題卷(理工農(nóng)醫(yī)類)數(shù)學(xué)試題卷(理工農(nóng)醫(yī)類)共5頁。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘。注意事項(xiàng)：1 .答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。2 .答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。3 .答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。4 .所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。5 .考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回。參考公式：如果事件A、B互斥，那么 P(A+B尸P(A)+P(B)如果事件A、B相互獨(dú)立，

2、那么 P(A B)=P(A) P(B)如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率Pn(K)= kmPk(1-P)n-k 4.以R為半徑的球的體積 V=兀R3 3一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個備選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.2(1)復(fù)數(shù) 1+3 =i(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3(2)設(shè)m,n是整數(shù)，則“ m,n均為偶數(shù)”是“ m+n是偶數(shù)”的(A)充分而不必要條彳(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件(3)圓 O1：x2+y2-2x=0 和圓 O2：x2+y2-4y=0 的

3、位置關(guān)系是(A)相離(B)相交(C)外切(D)內(nèi)切(4)已知函數(shù)y= J1 x jx_3的最大值為 M,最小值為m,則口的值為M(A)4,23(5)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3,a2),則P( <3 =1(C)3(6)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意 x1,x2 R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法一定正確的是(A) f(x)為奇函數(shù)(C) f(x)+1為奇函數(shù)(B) f(x)為偶函數(shù)(D) f(x)+1為偶函數(shù)uuuu(7)若過兩點(diǎn)Pi(-1,2),P2(5,6)的直線與x軸相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P分有向線段Pp2所成的比的值為1 (A)-3(B)1(C) 5

4、1(D) 3(8)已知雙曲線2 y_ b2(a>0,b>0)的一條漸近線為 y=kx(k>0),離心率e= J5k ,則雙曲線方程為2(A)當(dāng) a4a2=12 x (B) a2工1 5a22 x (C)24b2上1 b22 x (D)-J 5b2二1 b2(9)如解(9)圖,體積為面有且只有一個交點(diǎn)，4V的大球內(nèi)有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球 個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點(diǎn).V1為小球相交部分(圖中陰影部分)的體積, 的體積，則下列關(guān)系中正確的是(A) Vi= 2(C) Vi> V2V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分V(B) V2=-(

5、D) Vi< V2sin x 1(10)函數(shù) f(x) = /.3 2cos x 2sin x(0x 2 )的值域是(A)亭(B)-1,0(C)-后,0 (D) -73,0二、填空題：本大題共 6小題，每小題4分，共24分，把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上(11)設(shè)集合 U=1,2,3,4,5, A=2,4,B=3,4,5,C=3,4,則(A B) (e C)=2 -(12)已知函數(shù)f(x) =(當(dāng)x 。時)，點(diǎn)在x=0處連續(xù)，則lim -2x an n貝U log 2 a3-4(13)已知 a2 (a>0),9(14)設(shè)Sn=是等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，ai2=-8,S9=-9，則S

6、i6=.(15)直線l與圓x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于兩點(diǎn) A , B,弦AB的中點(diǎn)為(0, 1),則直 線l的方程為.(16)某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在如題(16)圖所示的6個點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同 色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有 種(用 數(shù)字作答).三、解答題：本大題共 6小題，共76分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明郎司過程或演算步驟.(17)(本小題滿分13分，(I)小問6分，(II)小問7分)設(shè)VABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a,b,c,且A=60o, c=3b.求：

7、(I ) a的值；c(n ) cotB+cot C 的值.(18)(本小題滿分13分，(I)小問5分，(n)小問8分.)甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到1其中一人連勝兩局或打滿 6局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為1,且各局勝負(fù)相2互獨(dú)立.求：(I ) 打滿3局比賽還未停止的概率；(n)比賽停止時已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望 E .(19)本本小題滿分13分，(I)小問6分，(n)小問7分.)15如題(19)圖，在VABC中，B= 90 ,AC=一,D、E兩點(diǎn)分別在A

8、B、AC上使2AD DB (I)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).2 cosMPN(n)若 PM PN =150分.B (4) C D(6) CD(10) B24分.(13) 3(14) -72(15) x-y+1=0(16) 216AE角角，求: 2,DE=3.現(xiàn)將VABC沿DE折成直EC異面直線 AD與BC的距離；(II)二面角 A-EC-B的大小(用反三角函數(shù)表示)(20)(本小題滿分13分.(I)小問5分.(II)小問8分.)設(shè)函數(shù) f(x) ax2 bx c(a 0),曲線 y=f(x)通過點(diǎn)(0, 2a+3),且在點(diǎn)(-1, f (-1)處的切線垂直于y軸.(I )用a分別表示b和c;(n)當(dāng)bc取

9、得最小值時，求函數(shù)g(x)=-f(x)e-x的單調(diào)區(qū)間.(21)(本小題滿分12分，(I)小問5分，(n)小問7分.)如圖(21)圖，M (-2, 0)N (2, 0)是平面上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：PM PN 6.(I )求點(diǎn)P的軌跡方程;(22)(本小題滿分12分，(I)小問5分，(II)小問7分.)3N*)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1 2,anaLaazg1(I)右a2 ,求a3, a4,并猜想a2cos的值(不需證明)； 4(n)記bn a3a2gggpn(n N*),若bn 2J2對n>2恒成立，求a2的值及數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)數(shù)

10、學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)答案一、選擇題：每小題 5分，滿分(I) A(2) A(3) A(8) C(9)二、填空題：每小題 4分，滿分-1(II) 2,5(12)3三、解答題：滿分 76分.(17)(本小題13分)解：（I）由余弦定理得222_a b c 2bcosA122 o 11=(3c) c293 cgc用,a故一c(n)解法一：cotB cotC_ cosBsinC cosCsinB sin BsinC _ sin(B C) sin A sin Bsin C sin BsinC' 由正弦定理和(i)的結(jié)論得7 2_sin A 1a22 9c 1414.3 J = J -= sin

11、BsinC sin A bc . 3 1 cc 3,393故 cot B cot C14 .39解法二：由余弦定理及（I）的結(jié)論有cosB2ac22. 2a c b同理可得cosC2. 22a b c2absinC 1 cos2C3、3 2<7.cosB 從而 cot B cot C sin BcosC 5、3 1n 14 sin C 3、9 ,9（18）（本小題13分）解：令A(yù)k，Bk，Ck分別表示甲、乙、丙在第 k局中獲勝.(I)由獨(dú)立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知, 賽還未停止的概率為打滿3局比(n)P(ACzB3)P(BC2A3)123123的所有可能值為2,

12、3,4, 5,6,P(2)P(AA2) RB1B2)122P(3)P(AC2c3)P(B1C2c3)1了123P(4)P(AC2B3B4) P(BC2A3A4)12 1 2312P(5)P(ACzB3A4A5) P(BC2A3B4B5)P(6)P(AC2B3AA) P(BC2A3B4c5)1412412512518 1 251 2116,116,從而E11616 一1647/局)（19）（本小題 解法一:13分)（I ）在答（19）圖1中，因ADDBAE.，故CEBE/BC.又因B=90° ,從而故有分布列23456p111112481616AD IDE.在第（19）圖2中，因wm

13、1A-DE-B是直二面角,人口，口£,故人口，底面DBCE,從ADAB而AD，DB .而DB ± BC，故DB為異面直線 AD與BC的公垂線. AD AEDE下求DB之長.在答(19)圖1中，由把AE 2,得上ECB BCBC39又已知DE=3,從而BC DE -. 22ab Jac2 bc2 J15296.2DB 1因也1,故DB=2.AB 3（n）在第（19）圖2中，過D作DFCE,交CE的延長線于F,連接AF.由（1）知,ADL底面DBCE,由三垂線定理知 AFXFC,故/ AFD為二面角 A-BC-B的平面 角.在底面 DBCE 中，/ DEF=/BCE,1 15

14、5 DB 2,EC 3g2 2, 因此 sinBCE DB 4.EC 5從而在 RtA DFE中，DE=3,DF DEsinDEF DE sin BCE 3g4 12.在 Rt AFD中,AD 4,tanAFD 延 5.DF 3因此所求二面角 A-EC-B的大小為5 arctan.3解法uuir uuur uuuDB、DE、DA的方向?yàn)閤、0, 0), A (0, 0, 4),（I）同解法（n）如答（19）圖3.由（I）知，以 D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 D （0,9C 2,-,0 ， E (0, 3, 0)2uuur3 uuurAD= -2, Q ,AD= (0,

15、 0, - 4).過 D 作 DF，CE,交 CE 的延長線 2于F,連接AF.uur設(shè) F(Xo, y0,0),從而 DF (Xo,yo,0), uurEF (Xo,yo 3,0).由DF CE，有uur uur3DFgCE 0,即 2xo y0 0.2uuu uuuix y 3又由 CEgEFx .232聯(lián)立、，解得x036, y0史即F2525urn uuu36483因?yàn)锳F gCEg(2)g2525236 48 /曰 uuu-36 48一,一,0 ,得 AF,一，4 .25 2525 250 ,故AF CE ,又因DF CE ,所以DFA為所求的二面角uuUTA-EC-B的平面角.因D

16、F3648c 人 , ,0 ,有25 25uuLT DF223648252512 uulT一，AD 4,所以 tanAFD 5ulutAD 5utur -DF 3因此所求二面角A-EC-B的大小為arctan.3(20)(本小題13分)解：(I)因?yàn)閒 (x)ax2 bx c,所以 f (x) 2ax b.又因?yàn)榍€y f(x)通過點(diǎn)(0, 2a+3)故 f(0) 2a 3,而 f(0) c,從而 c 2a 3.又曲線yf (x)在(-1，“-1)處的切線垂直于 y軸，故f ( 1) 0,即-2 a+b=0,因此 b=2a.一3 2 9( 陰由(I)得 bc 2a(2a 3) 4(a -)2

17、-,故當(dāng)a此時有b'時，bc取得最小值-94433,c .22-3 2從而f(x)-x4g(x) f(x)c x33 rx , f (x)2 23 2 33-x - x 所以 g (x) (f(x)(x)ex京x2 4)令g (x) 0,解得Xi2、 2.(,2)時,g(x)0,故 g(x)在 x (2）上為減函數(shù);(2,2)時，g(x)0,故 g(x)在 x (2,）上為減函數(shù).(2,)時，g (x)0,故g(x)在x (2,）上為減函數(shù).由此可見，函數(shù) g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8-2 ）和（2, +8）；單調(diào)遞增區(qū)間為（-2,2）.（21）（本小題12分）解：（I）由橢圓的定義

18、，點(diǎn) P的軌跡是以M N為焦點(diǎn), 因此半焦距c=2,長半軸a=3,從而短半軸b= .a2 c25所以橢圓的方程為2匕1.5長軸長2a=6的橢圓.Wpu it( n )由 PM gPN，得1 cosMPNPM gPN cosMPN | PM gPN 2.因?yàn)閏osMPN 1,P不為橢圓長軸頂點(diǎn)，故P、M N構(gòu)成三角形.在 PMN422中，MN| 4,由余弦定理有|MN|2由（I）知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足y- 1,所以95 PM|2 PN2 2 PM gPN cosMPN.將代入，得42 PM 2 |PN2 2( PM gPN 2).2故點(diǎn)P在以M N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為 2J3的雙曲線 y2 1上.3_ 2_2_5x2 9V 45由方程組yx2 3y2 3.即P點(diǎn)坐標(biāo)為x解得y3,32在.2,31!9、，31色 / 3_1m、（2,2）、（ 2，- 2）、（ - 2 ' 2）（22）（本小題12分）解：（I ）因 a1 2,a2 2 2,故3 35、，一 )22a3a1a224,a,2 8.0由此有a12( 2) ,a22232( 2) ,a32( 2) 2( 2),故猜想a的通項(xiàng)為an2( 2)n1(n*N ).(n)令 Xn log2an, Sn表示 Xn的前 n項(xiàng)和，貝|J bn 2Sn.由題設(shè)知Xi = 1且3*、Xn- Xn