運(yùn)動學(xué)典型問題及解決方法

1、物理學(xué)科培訓(xùn)師輔導(dǎo)講義課題運(yùn)動學(xué)典型問題及解決方法教學(xué)目標(biāo)相遇、追及與避碰問題重點(diǎn)、難點(diǎn)相遇、追及與避碰問題考點(diǎn)及考試要求相遇、追及與避碰問題教學(xué)內(nèi)容1笛？運(yùn)動學(xué)典型問題及解決方法-二夕第二二二二基礎(chǔ)知識、相遇、追及與避碰問題對于追及問題的處理，要通過兩質(zhì)點(diǎn)的速度比較進(jìn)仃分析，找到隱含條件（即速度相同時(shí)，而質(zhì)點(diǎn)距離最大或最?。Ｔ俳Y(jié)合兩個(gè)運(yùn)動的時(shí)間關(guān)系、位移關(guān)系建立相應(yīng)的方程求解，必要時(shí)可借助兩質(zhì)點(diǎn)的速度圖象進(jìn)行分析。一、追擊類問題的提示1.勻加速運(yùn)動追擊勻速運(yùn)動，當(dāng)一者速度相冋時(shí)相距最遠(yuǎn).2.勻速運(yùn)動追擊勻加速運(yùn)動，當(dāng)一者速度相冋時(shí)追不上以后就永遠(yuǎn)追不上了. 此時(shí)二者相距最近.3.勻減速直線

2、運(yùn)動追勻速運(yùn)動， 當(dāng)二者速度相同時(shí)相距最近，此時(shí)假設(shè)追不上，以后就永遠(yuǎn)追不上了.4.勻速運(yùn)動追勻減速直線運(yùn)動， 當(dāng)二者速度相同時(shí)相距最遠(yuǎn).5.勻加速直線運(yùn)動追勻加速直線運(yùn)動， 應(yīng)當(dāng)以 一個(gè)運(yùn)動當(dāng)參照物，找出相對速度、相對加速度、 相對位移.規(guī)律方法|1、追及問題的分析思路(1) 根據(jù)追趕和被追趕的兩個(gè)物體的運(yùn)動性質(zhì)， 列出兩個(gè)物體的位移方程，并注意兩物體運(yùn)動時(shí) 間之間的關(guān)系.(2) 通過對運(yùn)動過程的分析，畫出簡單的圖示，找出兩物體的運(yùn)動位移間的關(guān)系式.追及的主要條件是兩個(gè)物體在追上時(shí)位置坐標(biāo)相同.(3) 尋找問題中隱含的臨界條件，例如速度小 者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時(shí)有最 大距離；

3、速度大者減速追趕速度小者， 在兩物體 速度相等時(shí)有最小距離，等等.利用這些臨界條 件常能簡化解題過程.(4) 求解此類問題的方法，除了以上所述根據(jù)追 及的主要條件和臨界條件解聯(lián)立方程外，還有利用二次函數(shù)求極值，及應(yīng)用圖象法和相對運(yùn)動知 識求解.【例1】羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)過50m能加速 到最大速度25m/s，并能維持一段較長的時(shí)間； 獵豹從靜止幵始奔跑，經(jīng)過 60 m的距離能加速 到最大速度30m/s ，以后只能維持此速度 s.設(shè)獵豹距離羚羊xm時(shí)開時(shí)攻擊，羚羊則在獵豹開始 攻擊后s才開始奔跑，假定羚羊和獵豹在加速 階段分別做勻加速運(yùn)動，且均沿同一直線奔跑， 求：獵豹要在從最大速度減速前追到

4、羚羊，x值應(yīng)在什么范圍解析：先分析羚羊和獵豹各自從靜止勻加速達(dá)到 最大速度所用的時(shí)間，再分析獵豹追上羚羊前， 兩者所發(fā)生的位移之差的最大值，即可求x的范 圍。設(shè)獵豹從靜止開始勻加速奔跑 60m達(dá)到最大速度用時(shí)間t2，則si號&，ti23Vi2 60304s羚羊從靜止開始勻加速奔跑 50m達(dá)到最大速度用時(shí)間 ti，則 S2 J?，t2 J J 4S獵豹要在從最大速度減速前追到羚羊，則獵豹減 速前的勻速運(yùn)動時(shí)間最多4s，而羚羊最多勻速3s而被追上，此x值為最大值，即x=S豹一S羊=(60 + 30X4 (50 + 25x)=55m，所以應(yīng)取 x0也就是Vo a gh/2，這就對a與g關(guān)系有了限制，

5、 而事實(shí)上不應(yīng)有這樣的限制的。點(diǎn)評：對追及類問題分析的關(guān)鍵是分析兩物體 運(yùn)動的運(yùn)動過程及轉(zhuǎn)折點(diǎn)的條件.可見，在追趕過程中，速度相等是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，要熟記這一條 件.在諸多的物理問題中存在 隱蔽條件”這類 問題往往是難題，于是，如何分析出 隱蔽條件物體位移間的關(guān)系.(3) 尋找問題中隱含的臨界條件.(4) 與追及中的解題方法相同【例4】在某鐵路與公路交叉 的道口外安裝的自動攔木裝置 如圖所示，當(dāng)高速列車到達(dá) 點(diǎn)時(shí)，道口公路上應(yīng)顯示紅燈， 警告來越過停 車線的汽車迅速制動，而且超過 停車線的汽車能在列車到達(dá)道口前安全通過道口。已知高速列車的速度Vi=l20km/h，汽車過道口的速度V2=5km/h，

6、汽車駛至停車線時(shí)立即 制動后滑行的距離是So= 5m，道口寬度s= 26m， 汽車長l=15m。若欄木關(guān)閉時(shí)間ti = 16s，為保障 安全需多加時(shí)間t2=20s。問：列車從A點(diǎn) 至y道 口的距離L應(yīng)為多少才能確保行車安全 解析：由題意知，關(guān)閉道口時(shí)間為16s，為安全保障再加20s，即關(guān)閉道口的實(shí)際時(shí)間為 to=2O+16=36s,汽車必須在關(guān)閉道口前已通過道 口，汽車從停車線到通過道口實(shí)際行程為S=26+5+15=46m,需用時(shí)t2喙0，由此亮起紅燈 的時(shí)間為T=to+t2，故A點(diǎn)離道口的距離應(yīng)為：L=VT=1f600O 36 讐=2304m【例5】火車以速度V勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方同軌道上

7、相距S處有另一火車沿同方向以速度 V2 (對地、且 V V2)做勻速運(yùn)動.司機(jī)立即以 加速度a緊急剎車要使兩車不相撞，a應(yīng)滿足 什么條件解法一：后車剎車后雖做勻減速運(yùn)動，但在其速 度減小至和V2相等之前，兩車的距離仍將逐漸 減小；當(dāng)后車速度減小至小于前車速度， 兩車距 離將逐漸增大.可見，當(dāng)兩車速度相等時(shí)，兩車 距離最近.若后車減速的加速度過小，則會出現(xiàn) 后車速度減為和前車速度相等之前即追上前車， 發(fā)生撞車事故；若后車加速度過大，則會出現(xiàn)后 車速度減為和前車速度相等時(shí)仍未過上前車，根 本不可能發(fā)生撞車事故；若后車加速度大小為某 值時(shí)，恰能使兩車在速度相等時(shí)后車追上前 車.這正是兩車恰不相撞的臨

8、界狀態(tài)， 此時(shí)對應(yīng) 的加速度即為兩車不相撞的最小加速度.綜上分 析可知，兩車恰不相撞時(shí)應(yīng)滿足下列兩方程： Vit aot2/2 = V2t + S Vi aot=V2 解之可得： ao=V22V所以當(dāng)a2；12時(shí)，兩車即不會相撞解法二：要使兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為 Vit at2/2 SV2t 即 at2/2+(V2 Vi) t + S0寸任 一時(shí)間t，不等式都成立的條件為 A= (V2 Vi)2 2as 0由此得 aR2Vi2S解法三：以前車為參照物，剎車后后車相對前車 做初速度Vo= Vi-V2,加速度為a的勻減速直線 運(yùn)動.當(dāng)后車相對前車的速度成為零時(shí)，若相對 位移Sv，因此甲、乙兩車

9、也只能相遇一 次。 當(dāng)ai a2時(shí)，ait a2t， v甲和v乙的大小 關(guān)系會隨著運(yùn)動時(shí)間的增加而發(fā)生變化。剛開始，ait和a2t相差不大且甲有初速 vo，所以v甲 v乙；隨著時(shí)間的推移，ait和a2t相差越來越 大；當(dāng)ait a2t = vo時(shí)，v甲=v乙，接下來ait a2t vo，則有v甲v v乙，若在v甲=v乙之前，甲車還 沒有超過乙車，隨后由于 v甲v v乙，甲車就沒有 機(jī)會超過乙車，即兩車不相遇；若在 v甲=v乙時(shí), 兩車剛好相遇，隨后v甲v v乙，甲車又要落后乙 車，這樣兩車只能相遇一次；若在 v甲=v乙前， 甲車已超過乙車，即已相通過一次，隨后由于v甲vv乙，甲、乙距離又縮短，

10、直到乙車后反超甲 車時(shí)，再相遇一次，則兩車能相遇兩次?！窘狻坑捎赟甲=vo t + a2t2， S乙=ait2， 相遇時(shí)有 S 甲一 S z = s，則 Vo t + a2t2 ait2 = S, （ai 一 a2）t2一 vo t + S= 0.Vo . v22 ai a2 st gssgg ia2 a2當(dāng)aiva2時(shí)，式；只有一個(gè)正解，則相遇一次。當(dāng)ai = a2 時(shí)S甲S乙=Vot + a2t22ait2=vot=S， t=S/vot只有一個(gè)解，則相遇一次。當(dāng)ai a2 時(shí)，若V。v 2(ai -a2) s，式無解，即不相遇。若vo2=2 (ai a2)s,式t只有一個(gè)解，即相 遇一次。

11、若vo22 (ai a2)s,式t有兩個(gè)正解，即 相遇兩次。解法2 :利用v 一 t圖象求解。 當(dāng)ai v a2時(shí)，甲、乙車的運(yùn)動圖線分別為如 圖，其中劃斜線部分的面積表示t時(shí)間內(nèi)甲車比 乙車多發(fā)生的位移，著此而積為 S,則t時(shí)刻甲 車追上乙車而相遇，以后在相等時(shí)間內(nèi)甲車發(fā)生 的位移都比乙車多，所以只能相遇一次。 當(dāng)ai=a2時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別如圖， 討論方法同，所以兩車也只能相遇一次。 當(dāng)aia2時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為 如圖的1和11,其中劃實(shí)斜線部分面積表示用 車比乙車多發(fā)生的位移，劃虛斜線部分的面積表 示乙車比甲車多發(fā)生的位移。若劃線部分的面積 小于S,說明甲追不上乙車

12、，則不能相遇；若劃 實(shí)斜線部分的面積等于S,說明甲車剛追上乙車 又被反超，則相遇一次；若劃實(shí)斜線部分的面積 大于S,說明ti內(nèi)劃實(shí)線部分的面積為 S,說明 t1時(shí)刻甲車追上乙車，以后在 tit時(shí)間內(nèi)， 甲車超前乙車的位移為 tl- t時(shí)間內(nèi)劃實(shí)線 部分的面積，隨后在t-t2時(shí)間內(nèi)，乙車比 甲車多發(fā)生劃應(yīng)線部分的面積，如果兩者相等， 則t2時(shí)刻乙車反超甲車，故兩車先后相遇兩次?！纠?】在空中足夠高的某處，以初速度 v豎直 上拋一小球，t s后在同一地點(diǎn)以初速度 v/豎直 下拋另一個(gè)小球，若使兩個(gè)小球在運(yùn)動中能夠相 遇，試就下述兩種情況討論 t的取值范圍：(I) 0vv/v v，(2) v/v【解

13、析】若兩小球在運(yùn)動中能夠在空中相遇， 必 須是下拋小球剛拋出時(shí)，上拋小球已進(jìn)入下降階 段，且速度大的小球在后，追趕前面速度小的球，(1) 如圖甲所示上拋小球速度方向變?yōu)橄?下，大小達(dá)v/時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為to,則 to=gv +牛當(dāng)t to時(shí)，上拋小球的即時(shí)速度Vt v/，上拋小球能夠追上下拋小球，但是， 若上拋小球已越過拋出點(diǎn)，再向下拋出另一個(gè)小 球時(shí)，兩球就不會相遇，而上拋球回到拋出點(diǎn)的 時(shí)間ti為：ti=- 即：當(dāng) 山V t v型時(shí)兩球能夠 ggg在運(yùn)動中相遇(2) 如圖乙所示，上拋小球速度方向變?yōu)橄蛳拢笮∵_(dá)V時(shí)所經(jīng)歷時(shí)間為t。/，貝t/=g當(dāng)tV to/時(shí)，上拋時(shí)即時(shí)速度 Vt 00.

14、8m/ s2S1 S2120W 1 at2 V2t 1202S2Si圖2則，t 0方程有解，即兩車能夠相碰。解法二：兩車應(yīng)該相距最遠(yuǎn)時(shí)， 即二者速度相35t3000b2 4ac 3524 30025等時(shí)，所需時(shí)間：t 口 空 17.5Sa 0.8此時(shí)，客車的位置坐標(biāo)： S V0 2Vt t17.5 227.5m貨車的位置坐標(biāo) :S2 v2t 120 6 17.5 120 225mS1 S2兩車能夠相碰。解法三：相對運(yùn)動。以貨車為參照物，在初始狀態(tài)，客車相對貨 車的初速度 V相對=20- 6=14m/s，客車相對貨車 做的是初速度為 V相對的勻減速直線運(yùn)動，最后 相對貨車靜止。相對位移：S V相

15、對122.5m/ S 120m2a 2 0.8兩車會相碰。拓展：要使兩者不會相碰，則最初的距離至少為 多少（122.5m）例題10 一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠 燈亮?xí)r汽車以3 m/s2的加速度開始行駛，恰好此 時(shí)一輛自行車以6 m/s速度駛來，從后邊超越汽 車.試求： 汽車從路口開動后，追上自行車之前經(jīng)過多 長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)最遠(yuǎn)距離是多少 經(jīng)過多長時(shí)間汽車追上自行車，此時(shí)汽車的速度是多少解一：速度關(guān)系，位移關(guān)系V汽 at V自t=2ss v 自 t 1at26 21 3 226(m)2 2解二：極值法(1) s v自t 2at2 6t |t2由二次函數(shù)的極值條件可知：t 2 (63/2

16、) 2s 時(shí)，s最大sm 6 23 226(m)2(2) 汽車追上自行車時(shí)，二車位移相等vt tat2t空4sv at 3 4 12m/s2t 3解三：用相對運(yùn)動求解選勻速運(yùn)動的自行車位參照物，則從運(yùn)動幵始到 相距最遠(yuǎn)，這段時(shí)間內(nèi)，起初相對 此參照物的各個(gè)物理量為初速：末v0v 汽初v 自06 6m/svtv汽末v自660加速度a a汽相距最遠(yuǎn)3 02 2vt vo2a3m/s20 ( 6)22 36m(負(fù)號表示汽車落后)解四：圖象求解(1) t : 6 2svt 1at226 213 22 6m2(2) t 2t 4s2v 自 12m/s例11.公共汽車從車站幵出以 4m/s的速度沿平直公路

17、行駛，2s后一輛摩托車從同一車站開出 勻加速追趕，加速度為 2m/s2。試問(1) 摩托車出發(fā)后，經(jīng)多少時(shí)間追上汽車(2) 摩托車追上汽車時(shí)，離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)(3) 摩托車追上汽車前，兩者最大距離是多少解：開始一段時(shí)間內(nèi)汽車的速度大，摩托車的速度小，汽車和摩托車的距離逐漸增大，當(dāng)摩托車的速度大于汽車的速度后，汽車和摩托車的距離 逐漸減小，直到追上，顯然，在上述過程中，摩 托車的速度等于汽車速度時(shí)，它們間的距離最大。(1)摩托車追上汽車時(shí)，兩者位移相等，即 v(t+2)= 2 at2解得摩托車追上汽車經(jīng)歷的時(shí)間為t=摩托車追上汽車時(shí)通過的位移為 s=；at2=29.9m(3)摩托車追上汽車前，兩車速

18、度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，即 v=at/t/=-=2sa最大距離為 s=v(tz+2)- at/2=12m小結(jié)：求解追及問題要注意明確三個(gè)關(guān)系： 時(shí)間 關(guān)系、位移關(guān)系、速度關(guān)系，這是我們求解列方 程的依據(jù)，涉及臨界問題時(shí)要抓住臨界條件。例12、火車以速度v1勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距s處有另一火車沿同方向以速度 v2做勻速運(yùn)動，已知v1 v2司機(jī)立即以加速度 a緊急剎車，要使兩車不相撞，加速度 a的大小 應(yīng)滿足什么條件 解法一：由分析運(yùn)動過程入手后車剎車后雖做勻減速運(yùn)動，但在速度減小到 和v2相等之前，兩車的距離將逐漸減??；當(dāng)后 車速度減小到小于前車速度，兩車距離將逐漸增 大?？梢姡?dāng)兩車速度相等時(shí)，兩車距離最近。 若后車減速的加速度過小，則會出現(xiàn)后車速度減 為和前車速度相等即追上前車，發(fā)生撞車事故； 若后車加速度過大，則會出現(xiàn)后車速度減為和前 車速度相等時(shí)仍為追上前車，若后車加速度大小 為某一值時(shí)，恰能使兩車速度相等時(shí)后車追上前 車，這是兩車不相撞的臨界條件， 其實(shí)對應(yīng)的加 速度即為兩車不相撞的臨界最小加速度。綜合以上分析可知，兩車恰不相撞時(shí)應(yīng)滿足下 列方程：vt_aot=v21 2vit-aot2= v2t+s2聯(lián)立上式可解得:2s2所以不a導(dǎo)時(shí)兩車即不會相撞解法二：要使兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為vit-