2015高考數(shù)學(xué)題庫(新)-應(yīng)用題3

1、18(本題滿分16分) 如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過細繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個等分點A1，A2，A3。點C為上一點（不包含端點O、B），同時點C與點A1，A2，A3，B均用細繩相連接，且細繩CA1，CA2，CA3的長度相等。設(shè)細繩的總長為（1）設(shè)CA1O = (rad)，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你設(shè)計，當(dāng)角正弦值的大小是多少時，細繩總長y最小，并指明此時 BC應(yīng)為多長。BA1A2COA318. （）解：在COA1中， 2分=（）7分（）， 令，則 12分當(dāng)時，；時，在上是增函數(shù)當(dāng)角滿足時，y最小，最小為；此時BC

2、m 16分19由一個小區(qū)歷年市場行情調(diào)查得知，某一種蔬菜在一年12個月內(nèi)每月銷售量（單位：噸）與上市時間（單位：月）的關(guān)系大致如圖（1）所示的折線表示，銷售價格（單位：元千克）與上市時間（單位：月）的大致關(guān)系如圖（2）所示的拋物線段表示（為頂點）（1）請分別寫出,關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出在這一年內(nèi)3到6月份的銷售額最大的月份？（2）圖（1）中由四條線段所在直線圍成的平面區(qū)域為，動點在內(nèi)（包括邊界），求的最大值；（3） 由（2），將動點所滿足的條件及所求的最大值由加法運算類比到乘法運算（如類比為），試列出所滿足的條件，并求出相應(yīng)的最大值 （圖1） （圖2）19.解() （在恒成立，所以函數(shù)在上遞

3、增當(dāng)t=6時，=34.5 6月份銷售額最大為34500元 () ，z=x5y令x5y=A(x+y)+B(xy)，則，z=x5y=2(x+y)+3(xy)由,，,則(z)max=11 ()類比到乘法有已知,求的最大值由=()A·()B,，則(z)max= 18（本題滿分15分）（圖乙）（圖甲）如圖甲，一個正方體魔方由27個單位（長度為1個單位長度）小立方體組成，把魔方中間的一層轉(zhuǎn)動，如圖乙，設(shè)的對邊長為（1）試用表示；（2）求魔方增加的表面積的最大值 18命題立意：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實際問題的能力，考查運算求解能力 解：（1）由題意得， 解得，（6分） （2）魔方增加的表面積為

4、， 由（1）得，（10分） 令， 則（當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立）， 答：當(dāng)時，魔方增加的表面積最大為（15分）17（本題滿分15分）請你為某養(yǎng)路處設(shè)計一個用于儲藏食鹽的倉庫（供融化高速公路上的積雪之用）它的上部是底面圓半徑為5m的圓錐，下部是底面圓半徑為5m的圓柱，且該倉庫的總高度為5m經(jīng)過預(yù)算，制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價分別為400元/、100元/，問當(dāng)圓錐的高度為多少時，該倉庫的側(cè)面總造價（單位：元）最少？17命題立意：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實際問題的能力，考查運算求解能力解：（法一）設(shè)圓錐母線與底面所成角為，且，（2分）則該倉庫的側(cè)面總造價，（8分） 由得，即，（13分）

5、經(jīng)檢驗得，當(dāng)時，側(cè)面總造價最小，此時圓錐的高度為m（15分）（法二）設(shè)圓錐的高為m，且，（2分）則該倉庫的側(cè)面總造價 ，（8分） 由得，（13分） 經(jīng)檢驗得，當(dāng)時，側(cè)面總造價最小，此時圓錐的高度為m（15分） 3. 在一個六角形體育館的一角 MAN內(nèi)，用長為a的圍欄設(shè)置一個運動器材儲存區(qū)域（如圖所示），已知，B是墻角線AM上的一點，C是墻角線AN上的一點(1) 若BC=a=20, 求儲存區(qū)域面積的最大值；(2) 若AB=AC=10,在折線內(nèi)選一點，使，求四邊形儲存區(qū)域DBAC的最大面積. 解：(1)設(shè)由，得. 即 (2) 由，知點在以，為焦點的橢圓上，要使四邊形DBAC面積最大，只需的面積最大

6、，此時點到的距離最大, 即必為橢圓短軸頂點由，得短半軸長面積的最大值為.因此，四邊形ACDB面積的最大值為3.某直角走廊的示意圖如圖所示，其兩邊走廊的寬度均為2m(1)過點的一條直線與走廊的外側(cè)兩邊交于兩點，且與走廊的一邊的夾角為，將線段的長度表示為的函數(shù)；(2)一根長度為5m的鐵棒能否水平（鐵棒與地面平行）通過該直角走廊？請說明理由（鐵棒的粗細忽略不計）解：(1) 根據(jù)圖得(2) 鐵棒能水平通過該直角直廊，理由如下：令得，當(dāng)時，為減函數(shù)；當(dāng)時，為增函數(shù)；所以當(dāng)時，有最小值，因為，所以鐵棒能水平通過該直角走廊19（本小題滿分16分）如圖一塊長方形區(qū)域ABCD，AD2（），AB1（）在邊AD的中

7、點O處，有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角EOF始終為，設(shè)AOE，探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S（1）當(dāng)0時，寫出S關(guān)于的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)0時，求S的最大值G a F E D C B A O （第19題）（3）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”（OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC，再回到OA，稱“一個來回”，忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時所用時間），且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定，設(shè)AB邊上有一點G，且AOG，求點G在“一個來回”中，被照到的時間H G a F E D C B A O 圖19解：（1）過O作OHBC，H為垂足當(dāng)0時，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上（如圖），此時，AE，F(xiàn)H， 2分SS正方形

8、OABHSOAESOHF 4分當(dāng)時，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖），H OA B C DE F a G 圖此時，EH，F(xiàn)H， 6分EFSSOEF 綜上所述， 8分（2）當(dāng)0時，S，即S 10分0，01即1122S2當(dāng)1時，S取得最大值為2 12分（3）在“一個來回”中，OE共轉(zhuǎn)了2×其中點G被照到時，共轉(zhuǎn)了2× 14分則“一個來回”中，點G被照到的時間為（分鐘） 16分17（本小題滿分14分）第十八屆省運會將于2014年9月在徐州市舉辦為營造優(yōu)美的環(huán)境，舉辦方?jīng)Q定在某“葫蘆”形花壇中建噴泉如圖，該花壇的邊界是兩個半徑為10米的圓弧圍成，兩圓心、之間的距離為米（1）如

9、圖甲，在花壇中建矩形噴泉，四個頂點，均在圓弧上，于點設(shè)，求矩形的寬為多少時，可使噴泉的面積最大；（2）如圖乙，在花壇中間鋪設(shè)一條寬為2米的觀賞長廊以作休閑之用，則矩形噴泉變?yōu)閮蓚€全等的等腰三角形，其中，米若，求噴泉的面積的取值范圍O1O2MBACD觀 賞 長 廊N（第17題圖乙）MBACDO1（第17題圖甲）O2、17（1）在直角中，則，所以矩形的面積，4分令，則，令，得設(shè)，且，列表如下：0極大值所以當(dāng)，即時，矩形的面積最大 10分（2）由（1）易得，噴泉的面積，由知，所以函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以 13分答：（1）矩形的寬（米）時，可使噴泉的面積最大；（2）噴泉的面積的取值范圍是（單位：平方米）

10、 14分17. （本小題滿分14分）如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園，種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆（第17題）（1）若圍墻AP，AQ總長為200米，如何圍可使三角形地塊APQ的面積最大？（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最??？17解 設(shè)米，米（1）則，的面積 3分S 當(dāng)且僅當(dāng)時取“=” 6分（注：不寫“”成立條件扣1分）（2）由題意得，即 8分要使竹籬笆用料最省，只需其長度PQ最短，所以（） 11

11、分當(dāng)時，有最小值，此時 13分答：（1）當(dāng)米時，三角形地塊APQ的面積最大為平方米；（2）當(dāng)米米時，可使竹籬笆用料最省 14分18(本小題滿分14分)因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據(jù)環(huán)保部門的建議,現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑.已知每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.若多次投放,則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗,當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4個單位的藥劑,則有效治污時間可達幾天?

12、 （2）若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取1.4).18解：（1）因為,所以1分則當(dāng)時,由,解得,所以此時 3分當(dāng)時,由,解得,所以此時5分綜合,得,若一次投放4個單位的制劑,則有效治污時間可達8天 6分（2）當(dāng)時,9分=,因為,而,所以,故當(dāng)且僅當(dāng)時,y有最小值為 12分令,解得,所以的最小值為 14分17（本小題滿分14分）已知 A、B兩地相距，以AB為直徑作一個半圓，在半圓上取一點C，連接AC、BC，在三角形ABC內(nèi)種草坪（如圖），M、N分別為弧AC、弧BC的中點，在三角形AMC、三角形BNC

13、上種花，其余是空地設(shè)花壇的面積為，草坪的面積為，?。?） 用及R表示和；（2） 求的最小值17（1）因為，則，則3分設(shè)AB的中點為O，連MO、NO，則易得三角形AMC的面積為，三角形BNC的面積為， + （2），令，則的最小值為 17.（本小題滿分14分）據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為現(xiàn)已知相距18的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和設(shè)（）（1）試將表示為的函數(shù)； （2）若，且時，取得最小值，試求的值17解：（1）設(shè)點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污

14、染程度為，其中為比例系數(shù)，且 4分從而點C處受污染程度 6分（2）因為，所以， 8分，令，得， 12分又此時，解得，經(jīng)驗證符合題意所以，污染源B的污染強度的值為8 14分19.一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁和外壁都是半徑為的四分之一圓弧，分別與圓弧相切于，兩點，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是（1）若水平放置的木棒的兩個端點分別在外壁和上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點設(shè)，試用表示木棒的長度；NMABCDEFGHPQ1m1m（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值19.(1)如圖，設(shè)圓弧所在的圓的圓心為，過點作垂線，垂足為點，且交或其延長線與于，并連接，再過點作的垂線，

15、垂足為在中，因為，NMABCDEFGHPS1m1mTQW所以因為與圓弧切于點，所以，在，因為，所以，若在線段上，則在中，因此若在線段的延長線上，則在中，因此8分（2）設(shè)，則，因此因為，又，所以恒成立，因此函數(shù)在是減函數(shù)，所以，即答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為17(本小題滿分14分)某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設(shè)（1）將（O為坐標原點）的面積S表示成f的函數(shù)S(t)；（2）若，S(t)取

16、得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值17解：（），直線的斜率為，直線的方程為令得 令,得, 的面積, （）,因為,由,得, 當(dāng)時, ,當(dāng)時, . 已知在處, ,故有， 故當(dāng)時, 17（本小題滿分14分）在綜合實踐活動中，因制作一個工藝品的需要，某小組設(shè)計了如圖所示的一個門（該圖為軸對稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長為6分米的材料彎折而成，BC邊的長為分米（）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標系中，其解析式為），此時記門的最高點O到BC邊的距離為；曲線是一段拋物線，其焦點到準線的距離為，此時記門的最高點O到BC邊的距離為（

17、1）試分別求函數(shù)、的表達式（2）要使得點O到BC邊的距離最大，應(yīng)選用哪一種曲線？此時最大值是多少？解：（1）6分（2）由于恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此， 10分 而， 12分所以選用 14分17（本小題滿分15分）某農(nóng)戶準備建一個水平放置的直四棱柱形儲水窖（如圖），其中直四棱柱的高，兩底面是高為，面積為的等腰梯形，且。若儲水窖頂蓋每平方米的造價為元，側(cè)面每平方米的造價為元，底部每平方米的造價為元。（1）試將儲水窖的造價表示為的函數(shù)；（2）該農(nóng)戶如何設(shè)計儲水窖，才能使得儲水窖的造價最低，最低造價是多少元（?。?。17【解析】（1）過作，垂足為，則，令，從而，故，解得，4分所以7分（2）因為，

18、所以10分令，則，當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞增。所以當(dāng)時，。答：當(dāng)時，等價最低，最低造價為51840元。15分18.如圖，矩形ABCD是一個觀光區(qū)的平面示意圖，建立平面直角坐標系，使頂點A在坐標原點O，B，D分別在x軸，y軸上，AD3百米，ABa百米（3a4）觀光區(qū)中間葉形陰影部分MN是一個人工湖，它的左下方邊緣曲線是函數(shù)2）的圖象的一段為了便于游客觀光，擬在觀光區(qū)鋪設(shè)一條穿越該觀光區(qū)的直路（寬度不計），要求其與人工湖左下方邊緣曲線段相切（切點記為P），并把該觀光區(qū)分為兩部分，且直線左下部分建設(shè)為花圃設(shè)點P到AD的距離為t，f（t）表示花圃的面積（1）求花圃面積f（t）的表達

19、式； （2）求f（t）的最小值第18題-甲xyOABCD第18題-乙E·F18某地擬模仿圖甲建造一座大型體育館，其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓線如圖乙所示：曲線是以點為圓心的圓的一部分，其中（，單位：米）；曲線是拋物線的一部分；，且恰好等于圓的半徑. 假定擬建體育館的高米.（1）若要求米，米，求與的值；（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過米，求的取值范圍；（3）若，求的最大值.（參考公式：若，則）解：（1）因為，解得. 2分 此時圓，令，得， 所以，將點代入中，解得. 4分（2）因為圓的半徑為，所以，在中令，得，則由題意知對恒成立， 8分所以恒成立，而當(dāng)，即時，取最小值10，故，解得. 1

20、0分（3）當(dāng)時，又圓的方程為，令，得，所以，從而， 12分又因為，令，得， 14分當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，從而當(dāng) 時，取最大值為25.答：當(dāng)米時，的最大值為25米. 16分（說明：本題還可以運用三角換元，或線性規(guī)劃等方法解決，類似給分）方法二：令，則，其中是銳角，且，從而當(dāng)時，取得最大值為25米. 方法三：令，則題意相當(dāng)于：已知，求的最大值.根據(jù)線性規(guī)劃知識，當(dāng)直線與圓弧相切時，取得最大值為25米.19. 某園林公司計劃在一塊為圓心,(為常數(shù))為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地，區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方

21、米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元.(1) 設(shè),分別用,表示弓形的面積;(2) 園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤最大?(參考公式:扇形面積公式)觀賞樣板地花木地草皮地草皮地19.（1），, . 又，,.(2)設(shè)總利潤為元，草皮利潤為元，花木地利潤為，觀賞樣板地成本為，, . .設(shè) . , 12分上為減函數(shù)； 上為增函數(shù). 當(dāng)時，取到最小值,此時總利潤最大. 所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計成時，總利潤最大. 18（本小題滿分16分） 如圖，實線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一

22、塊頂點都在圓P上的多邊形活動場地 （1）如圖甲，要建的活動場地為RST，求場地的最大面積； （2）如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形ABCD，求場地的最大面積（第17題甲）DACBQPNMRSMNPQT（第17題乙） 解：（1）如右圖，過S作SHRT于H，SRST= 由題意，RST在月牙形公園里，RT與圓Q只能相切或相離； RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，則有RT4，SH2，當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立 此時，場地面積的最大值為SRST=4（km2） （2）同（1）的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，AD必須切圓Q

23、于P，再設(shè)BPA=，則有 令，則若，又時，時， 函數(shù)在處取到極大值也是最大值，故時，場地面積取得最大值為（km2） 19（本小題滿分16分）幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開設(shè)打印店，生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其它固定支出元假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量（件）與銷售價格（元/件）（）之間滿足如下關(guān)系：當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)該店月利潤為（元），月利潤=月銷售總額月總成本（1）求關(guān)于銷售價格的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該打印店月利潤的最大值及此時產(chǎn)品的銷售價格19解：（1）當(dāng)時，代入，解得 2分 即 4分（注：

24、寫到上一步，不扣分）（2）設(shè)，則令，解得（舍去），7分當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減 10分 ，的最大值為12分當(dāng)時，單調(diào)遞減，故此時的最大值為 14分綜上所述，當(dāng)時，月利潤有最大值元 15分答：該打印店店月利潤最大為元，此時產(chǎn)品的銷售價格為元/件 16分19（本小題滿分16分）如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為的正方形，周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心，G為AD的中點，點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H。設(shè)弧AD的長為，（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當(dāng)優(yōu)美系數(shù)最大時，招貼畫最優(yōu)美。證明：

25、當(dāng)角滿足：時，招貼畫最優(yōu)美18.（本小題滿分16分） 一位幼兒園老師給班上個小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為,就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個小朋友;,以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第個小朋友如果設(shè)分給第個小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為.（1） 當(dāng),時,分別求;（2） 請用表示;令,求數(shù)列的通項公式; （3）是否存在正整數(shù)和非負整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列,如果存在,請求出所有的和,如果不存在,請說明理由.20. 解：（1）當(dāng),時, ,.3分（2）

26、 由題意知： ,6分即, ,7分累加得,9分 又,.10分（3） 由，得,12分若存在正整數(shù)和非負整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列,則,14分 即,15分當(dāng)時， ，對任意正整數(shù),有成等差數(shù)列. 16分注:如果驗證不能成等差數(shù)列,不扣分【說明】本題主要考查數(shù)列的定義、通項求法；考查反證法；考查遞推思想；考查推理論證能力；考查閱讀理解能力、建模能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題能力本題還可以設(shè)計：如果班上有5名小朋友，每個小朋友都分到糖果，求的最小值.17（本題滿分16分，第1小題8分，第2小題8分）（第17題）DABClTx如圖，某機場建在一個海灣的半島上，飛機跑道AB的長為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的

27、夾角為60o(海岸線可以看作是直線)，跑道上離海岸線距離最近的點B到海岸線的距離BC4kmD為海灣一側(cè)海岸線CT上的一點，設(shè)CDx(km)，點D對跑道AB的視角為q （1）將tanq 表示為x的函數(shù)；（2）求點D的位置，使q 取得最大值17、（本題滿分14分，第1小題8分，第2小題6分）解：（1）過A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)DBCEFADBCEFA圖1圖2由題知，AB4.5，BC4，ABF90o60o30o，所以CEAF4.5×sin30o，BF4.5×cos30o，AECFBCBF因為CDx(x0)，所以tanBDC當(dāng)x時，EDx，tanADC（如圖1

28、）；當(dāng)0x時，EDx，tanADC（如圖2）4分所以tanqtanADBtan(ADCBDC)，其中x0且x 當(dāng)x時tanq，符合上式所以tanq( x0)8分（2）（方法一）tanq，x011分因為4(x4)4124139，當(dāng)且僅當(dāng)4(x4)，即x6時取等號所以當(dāng)x6時，4(x4)41取最小值39所以當(dāng)x6時，tanq 取最大值 13分由于ytanx在區(qū)間(0，）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x6時，q 取最大值答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大14分（方法二）tanq f(x)f ¢(x)，x0由f ¢(x)0得x6 11分當(dāng)x（0，6）時，f

29、 ¢(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x（6，）時，f ¢(x)0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減所以函數(shù)f(x)在x6時取得極大值，也是最大值f(6) 13分由于ytanx在區(qū)間(0，）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x6時，q 取最大值答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大14分17（本小題滿分14分）提高大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)車流密度不超過50輛/千米時，車流速度為30千米/小時研究表明：當(dāng)50x200時，車流速度v與車流密度x滿足當(dāng)橋上的車流密度

30、達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時 （1）當(dāng)0<x200時，求函數(shù)v(x)的表達式；（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)x·v(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到個位，參考數(shù)據(jù)）17解：(1) 由題意：當(dāng)0x50時，v(x)30；當(dāng)50x200時，由于，再由已知可知，當(dāng)x200時，v(0)0，代入解得k2000.故函數(shù)v(x)的表達式為 (2) 依題意并由(1)可得， 當(dāng)0x50時，f(x)30x，當(dāng)x50時取最大值1500. 當(dāng)50<x200時，取等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時，f(x)取最大值

31、綜上，當(dāng)車流密度為138 輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3056輛/小時 17（本小題滿分14分）FEbaBDCA第八屆中國花博會將于2013年9月在常州舉辦，展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD，a，b為常數(shù)且滿足.組委會決定從該矩形地塊中劃出一個直角三角形地塊建游客休息區(qū)（點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上），且該直角三角形AEF的周長為（），如圖設(shè)，的面積為（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）試確定點E的位置，使得直角三角形地塊的面積最大，并求出的最大值17解：（1）設(shè)，則，整理，得3分 ， 4分（2）當(dāng)時，在遞增，故當(dāng)時，；當(dāng)時，在上，遞增，在上，遞減，故當(dāng)時，.1

32、7. （本小題滿分15分）如圖,有一塊邊長為(百米)的正方形區(qū)域。在點處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角始終為 (其中點，分別在邊，上),設(shè). （1）用表示出的長度,并探求的周長是否為定值；ABPQDC第19題圖（2）問探照燈照射在正方形內(nèi)部區(qū)域的面積至多為多少(平方百米)？解(1)(2)(當(dāng)且僅當(dāng),即等號成立) 答:探照燈照射在正方形內(nèi)部區(qū)域的面積至多為平方百米. 17. 某生產(chǎn)旅游紀念品的工廠，擬在2010年度將進行系列促銷活動經(jīng)市場調(diào)查和測算，該紀念品的年銷售量萬件與年促銷費用萬元之間滿足與成反比例若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件已知工廠2010年生產(chǎn)紀念品的固定投資為3萬元，每

33、生產(chǎn)1萬件紀念品另外需要投資32萬元當(dāng)工廠把每件紀念品的售價定為：“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷費一半”之和時，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等(利潤=收入生產(chǎn)成本促銷費用)（1）求出與所滿足的關(guān)系式；（2）請把該工廠2010年的年利潤萬元表示成促銷費萬元的函數(shù)；（3）試問：當(dāng)2010年的促銷費投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？17. 解：（1）設(shè)比例系數(shù)為由題知，有又時，所以 ，所以與的關(guān)系是4分（2）依據(jù)題意，可知工廠生產(chǎn)萬件紀念品的生產(chǎn)成本為萬元，促銷費用為萬元，則每件紀念品的定價為：元件于是，進一步化簡，得因此，工廠2010年的年利潤萬元8分（3）由（2）知， ，當(dāng)且僅

34、當(dāng)，即時，取等號，所以，當(dāng)2010年的促銷費用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元18(本小題滿分16分)某廣告公司為2010年上海世博會設(shè)計了一種霓虹燈，樣式如圖中實線部分所示. 其上部分是以為直徑的半圓，點為圓心，下部分是以為斜邊的等腰直角三角形，是兩根支桿，其中米，. 現(xiàn)在弧、線段與線段上裝彩燈，在弧、弧、線段與線段上裝節(jié)能燈. 若每種燈的“心悅效果”均與相應(yīng)的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例系數(shù)為，節(jié)能燈的比例系數(shù)為，假定該霓虹燈整體的“心悅效果”是所有燈“心悅效果”的和.DOABEF第18題2x（1）試將表示為的函數(shù)；（2）試確定當(dāng)取何值時，該霓虹燈整體的“心悅效果”

35、最佳？18解：（1）因為,所以弧EF、AE、BF的長分別為 連接OD，則由OD=OE=OF=1，所以 6分 所以9分（2）因為由11分解得，即 13分又當(dāng)時，所以此時y在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，所以此時y在上單調(diào)遞減.故當(dāng)時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳 16分17（本小題滿分14分）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y (單位：千克)與銷售價格 (單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克（1）求a的值；（2）若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價格x的值, 使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大17. 解：

36、（1）由題設(shè)知x5時y11，則1110(56)，解得a2. （2）由（1）知該商品每日的銷售量y10(x6)，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)(x3) 10(x6)210(x3) (x6)，3x6. 6分對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f (x)10(x6)2(x3)(x6)30(x4)(x6)令f (x)0及3x6，解得x4 10分當(dāng)3x4時，f (x)0，當(dāng)4x6時，f (x)0，于是有函數(shù)f(x)在(3，4)上遞增，在(4，6)上遞減，所以當(dāng)x4時函數(shù)f(x)取得最大值f(4)42. 13分答：當(dāng)銷售價格x4時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.15.（本小題滿分14分

37、）如圖，摩天輪的半徑為50 m，點O距地面的高度為60 m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處.（1）試確定在時刻t（min）時點P距離地面的高度；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點P距離地面超過85 m?15. （1）解：設(shè)點P離地面的距離為y，則可令 yAsin(t)b. 由題設(shè)可知A50，b60. 2分又T3，所以，從而y50sin(t)60. 4分再由題設(shè)知t0時y10，代入y50sin(t)60，得sin1，從而. 因此，y6050cost (t0). 8分（2）要使點P距離地面超過85 m，則有y6050cost85，即cost. 于是由三

38、角函數(shù)基本性質(zhì)推得t，即1t2. 12分所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點P距離地面超過85 m的時間有1分鐘. 18（本小題滿分15分）輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅硬的場地上滑行的運動如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1米的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE（拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi)），D為這段拋物線的最高點現(xiàn)在運動員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標系，軸在地面上，助跑道一端點A(0，4)，另一端點C(3，1)，點B(2，0)，單位：米（）求助跑道所在的拋物線方程；（）若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點

39、C處有相同的切線，為使運動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運動員的飛行距離在4米到6米之間（包括4米和6米），試求運動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍？（注：飛行距離指點C與點E的水平距離，即這兩點橫坐標差的絕對值）18（本小題滿分15分）解：（1）設(shè)助跑道所在的拋物線方程為，依題意： 3分解得，助跑道所在的拋物線方程為 7分（2）設(shè)飛行軌跡所在拋物線為（），依題意：得解得9分，令得，11分當(dāng)時，有最大值為，則運動員的飛行距離， 13分飛行過程中距離平臺最大高度，依題意，得，即飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍為在2米到3米之間15分17(本小題滿分14分) 某公司有價值萬元的一條流水線，要

40、提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對其進行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)品的附加值改造需要投入，假設(shè)附加值（萬元）與技術(shù)改造投入（萬元）之間的關(guān)系滿足：與和的乘積成正比；當(dāng)時，；其中常數(shù)（1）設(shè)，求函數(shù)的解析式與定義域；（2）求出附加值的最大值，并求此時的技術(shù)改造投入解析：（1），由時，得，8，又0，0其定義域為0，（2），令0，則0或當(dāng)（0，）時，0，當(dāng)（，）時，0，在（0，）上單調(diào)增，在（，）上單調(diào)減， 當(dāng)，即01時，在（0，）上單調(diào)增，故當(dāng)時，取極大值當(dāng)即12時，在（0，）上單調(diào)增，在（，）上單調(diào)減故當(dāng)時，取極大值由于在給定區(qū)間上只有一個極大點，故此極大值即為所求的最大值17.（本小題滿分14分）如圖，

41、兩座建筑物的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角.(1) 求的長度；(2) 在線段上取一點點與點不重合），從點看這兩座建筑物的視角分別為問點在何處時，最??？第17題圖17作，垂足為，則，設(shè)，則2分，化簡得，解之得，或（舍）答：的長度為6分設(shè)，則，8分設(shè)，令，因為，得，當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)，所以，當(dāng)時，取得最小值，即取得最小值，12分因為恒成立，所以，所以，因為在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值答：當(dāng)為時，取得最小值 14分17(本小題滿分14分)圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進

42、行了簡化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔、與橋面垂直，通過測量得知，當(dāng)為中點時，.（1）求的長；（2）試問在線段的何處時，達到最大.圖2圖117(1)設(shè)，則，由題意得，解得.6分（2）設(shè)，則，8分，即為銳角，令，則，12分當(dāng)且僅當(dāng)即，時，最大. 14分17（本小題滿分15分）某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè)，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費用為億元，其中用于風(fēng)景區(qū)改造為億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時具備下列三個條件：每年用于風(fēng)景區(qū)改造費用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用增加而增加；每年改造生態(tài)環(huán)境總費用至少億元，至多億元；每年用于風(fēng)景區(qū)改造費用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的15%，但

43、不得每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的22%。（1）若，請你分析能否采用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；（2）若、取正整數(shù)，并用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請你求出、的取值17解：（1），函數(shù)y是增函數(shù)，滿足條件。3分設(shè)，則，令，得。當(dāng)時，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，在上是增函數(shù)，又，即，在上是增函數(shù)，當(dāng)時，有最小值0.16=16%>15%，當(dāng)時，有最大值0.1665=16.65%<22%,能采用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案。9分（2）由(1)知，依題意，當(dāng)，、時，恒成立；下面求的正整數(shù)解。令，12分由(1)知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又由（1）知，在時，且=16%15%，22

44、%，合條件，經(jīng)枚舉，15%，22%，而15%，22%，可得或或，由單調(diào)性知或或均合題意。15分17. 如圖一塊長方形區(qū)域，在邊的中點處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角始終為，設(shè)，探照燈照射在長方形內(nèi)部區(qū)域的面積為（1）當(dāng)時，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時，求的最大值；（3）若探照燈每分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”（自轉(zhuǎn)到，再回到，稱“一個來回”，忽略在及處所用的時間），且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定。設(shè)邊上有一點，且，求點在“一個來回”中被照到的時間。17. （1）當(dāng)時，在上，在上，當(dāng)時，、都在上， 5分（2）當(dāng)時，, 當(dāng)時，10分（3）在“一個來回”中，共轉(zhuǎn)動了，其中點被照到時，共轉(zhuǎn)動了點被照到的時間為分鐘14分17. （本小題滿分14分）在一個半徑為1的半球材料中截取三個高度均為h的圓柱，其軸截面如圖所示，設(shè)三個圓柱體積之和為.（1）求的表達式，并寫出的取值范圍是 ；（2）求三個圓柱體積之和V的最大值；17(1)自下而上三個圓柱的底面半徑分別為： 3分它們的高均為，所以體積和 6分因為，所以的取值范圍是； 7分 由得， 9分又，所以時，；時，11分所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以時，取最大值，的最大值為 13分