北師大版中考復(fù)習(xí)整式與因式分解

1、中考復(fù)習(xí)：整式與因式分解 【考綱要求】 1 .整式部分主要考查哥的性質(zhì)、整式的有關(guān)計(jì)算、乘法公式的運(yùn)用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)； 2 .因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡(jiǎn)中進(jìn)行考查. 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】 考點(diǎn)一、整式 1 .單項(xiàng)式 數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.單項(xiàng)式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點(diǎn)是對(duì)字母來(lái) 說(shuō)只含有乘法的運(yùn)算，不含有加減運(yùn)算.在含有除法運(yùn)算時(shí)，除數(shù)（分母）只能是一個(gè)具體的數(shù)，可以看 成分?jǐn)?shù)因數(shù).單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式. 品的運(yùn)竟 1 同底數(shù)福的乘法同） 界的乘方|。小 積的乘力（汕丁與之）

2、同底數(shù)據(jù)的除法&+龍產(chǎn),k工，陽(yáng)下片。 零指數(shù)導(dǎo)和負(fù)整數(shù)指數(shù)鼻二 5=5（0 止整數(shù)界比較大小的方法 整式的乘除 平力北公式Q-+b）g切一以。 乘法公式一 L完全平方公式,一（Q &）=土？+9） N單項(xiàng)式乘以中而r 范式乘千斗-一單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式（白+金）金5+至） 多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式一（，.+乂+.）=麗+加+b湘+方M） 其他分伸方法 句個(gè)因式不能繼續(xù)分 要點(diǎn)詮釋: (1)單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù). (2)單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和. 2 .多項(xiàng)式 幾個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和叫做多項(xiàng)式.也就是說(shuō)，多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式相加或相減組成的. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?(1)在多項(xiàng)式中，不含字母的

3、項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng). (2)多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù). (3)多項(xiàng)式的次數(shù)是n次，有m個(gè)單項(xiàng)式，我們就把這個(gè)多項(xiàng)式稱(chēng)為n次m項(xiàng)式. (4)把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降哥排列.另外，把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升哥排列. 3 .整式 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式. 4 .同類(lèi)項(xiàng) 所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，叫做同類(lèi)項(xiàng). 5 .整式的加減 整式的加減其實(shí)是去括號(hào)法則與合并同類(lèi)項(xiàng)法則的綜合運(yùn)用. 把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng).合并同類(lèi)項(xiàng)后，所得項(xiàng)的

4、系數(shù)是合并前各同類(lèi) 項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母部分不變. 如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反 整式加減的運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng) 6 .整式的乘除 哥的運(yùn)算性質(zhì)： 渣聯(lián)扇6是正整數(shù))； (二摩般(陽(yáng)、扇日是正整數(shù))； (準(zhǔn)是正整數(shù)， 4超一/=口f#0,外諸B是正整數(shù)，且股與 1。=1(a0 =(d0；p是正整數(shù))一 單項(xiàng)式相乘：兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

5、：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相 梆 9+小+二)=枷c+即必+加匚 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：一般地，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多 項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.用式子表達(dá)：1-1一 平方差公式：，,一口一 完全平方公式： (4+bf=十2岫十從(a-b)2=a2-2ab+b2. 在運(yùn)用乘法公式計(jì)算時(shí)，有時(shí)要在式子中添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里 的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào) 單項(xiàng)式相除：兩個(gè)單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)哥分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含 有的字母，則連同它的指

6、數(shù)作為商的一個(gè)因式. 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?(1)同底數(shù)哥是指底數(shù)相同的哥，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式 (2)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)哥相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)， 即amanap=am而*(m,n,p都是正整數(shù)). (3)逆用公式：把一個(gè)哥分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)哥的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來(lái)的哥的指數(shù)。即am而=aman(m,n都是正整數(shù)). (4)公式(am)n=2,的推廣：(am)n)p=amnp(a#0,m,n,p均為正整數(shù)) (5)逆用公式：amn=(am：

7、=(an根據(jù)題目的需要常常逆用哥的乘方運(yùn)算能將某些哥變形， 從而解決問(wèn)題. (6)公式(ab)n=anbn的推廣：(abc)n=anbncn(n為正整數(shù)). (7)逆用公式：anbn=(abn逆用算式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí), 1黃1T 計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：.-llM210=1,父2；=1.加.用式子表達(dá): (8)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù) 之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類(lèi)項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘， 2 xaxb=xabxab. 考點(diǎn)二、因式分解 1 .因式分解 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式

8、，這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解. 2 .因式分解常用的方法 (1)提取公因式法：mambmc=m(abc) (2)運(yùn)用公式法： 平方差公式：a2b2=(a+b)(ab)；完全平方公式：a2 2ab+b2=(a士b)2 (3)十字相乘法：x2(ab)xab=(xa)(xb) (4)分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解 (5)添、拆項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形 (6)運(yùn)用求根公式法：若ax2+bx+c=0(a=0)的兩個(gè)根是xx2,則有：

9、 ax2bxc=a(x-x1)(x-x2) . 3 .因式分解的一般步驟 (1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式； (2)提出公因式或無(wú)公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法； (3)對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； (4)最后考慮用分組分解法及添、拆項(xiàng)法. 要點(diǎn)詮釋:(1)因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； (2)最終把多項(xiàng)式化成乘積形式； (3)結(jié)果要徹底，即分解到每個(gè)因式都不能再分解為止. (4)十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項(xiàng)系數(shù)a一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則 提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上 (5)分

10、組分解法分解因式常用的思路有： 方法 分類(lèi) 分組方法 特點(diǎn) 分組分解法 四項(xiàng) 二項(xiàng)、二項(xiàng) 按字母分組按系數(shù)分組 符合公式的兩項(xiàng)分組 三項(xiàng)、一項(xiàng) 先完全平方公式后平方差公式 五項(xiàng) 三項(xiàng)、二項(xiàng) 各組之間有公因式 六項(xiàng) 三項(xiàng)、三項(xiàng) 二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng) 各組之間用公因式 三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng) 可化為二次三項(xiàng)式 【典型例題】 類(lèi)型一、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.若多項(xiàng)式x2+ax+8和多項(xiàng)式x2-3x+b相乘的積中不含x2、X3項(xiàng)，求(a-b)3-(a3-b3)的值. 【思路點(diǎn)撥】 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相 加.結(jié)果中不含二次項(xiàng)和三次項(xiàng)，則說(shuō)明這兩項(xiàng)的系

11、數(shù)為0,建立關(guān)于a、b等式，求出a、b后再求代 數(shù)式值. 解：-.1(x+ax+8)(x-3x+b)=x+(a-3)x+(b-3a+8)x+(ab-24)x+8b, 又.不含x2、x3項(xiàng), a-3=0,b-3a+8=0, 解得a=3,b=1, (a-b)-(a-b)=(3-1)-(3-1)=8-26=-18. 【總結(jié)升華】解此類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)思路是：將兩個(gè)多項(xiàng)式依據(jù)乘法法則展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)，根據(jù)不含某一項(xiàng)就是這一項(xiàng)的系數(shù)等于0再通過(guò)解方程(組)求解. 22.設(shè)m-2=0,求n3+3n2+2012的值. 【思路點(diǎn)撥】可以把m+3n2+2012及n2+mr2=0變形. 【答案與解析】 ,22_2一 由

12、m+m-2=0,得m=2簿m+m=2, 22 原式=m3m+2012 2 =(2m3m+2012 22. =2m-m+3m+2012 =2(m+m+2012 =2X2+2012 =2016 【總結(jié)升華】要多探索方法，尋求新穎簡(jiǎn)捷的方法. 3.已知x2m=5,求-x6m一5的值. 5 2m16m12m、313 x=5,，-x5=(x)5=父55=20. 555 【點(diǎn)評(píng)】(1)逆用哥的乘方法則：amn=(am)n=(an)m. (2)本題培養(yǎng)了學(xué)生的整體思想和逆向思維能力. 舉一反三： 【變式】已知xa=2,xb=3.求x3b的值. 3a2b3a2b,a、3b、2_3/ 【答案】x=xxx=(x)

13、(x)=2父3=8父9=72. 類(lèi)型二、因式分解 4 .多項(xiàng)式x2-2xy+2y2+2y+5的最小值是 【答案】4； 22 解析x2xy+2y+2y+5=(xy)+(y+1)+4,所以最小值為4. 【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)因式分解化為完全平方式，分析得出多項(xiàng)式的最小值 5 .把3ax+4by+4ay+3bx分解因式. 【答案與解析】 解法一：3ax4by4ay3bx=(3ax4ay)(4bx4by) =a(3x+4y)+b(3x+4y)=(3x+4y)(a+b). 解法二：3ax4by4ay3bc=(3ax3bx)(4ay4by)=3x(a+b)+4y(a+b)=(a+b)(3x+4y). 【點(diǎn)評(píng)】此題多

14、項(xiàng)式的四項(xiàng)中沒(méi)有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中兩項(xiàng)合為一組， 如把第一、三兩項(xiàng)和第二、四兩項(xiàng)分為兩組，可以分別提取公因式a和b,并且另一個(gè)因式都是 (3x+4y),因此可繼續(xù)分解.把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后能運(yùn)用提取公因式法進(jìn)行分解，并且各 組在分解后它們的另一個(gè)因式正好相同，還能用提取公因式法繼續(xù)分解，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組法來(lái)分解因式. 舉一反三： 【變式1】分解因式：a2+4b2-4ab-c2 22222 【答案】原式=(a-4ab4b)-c=a-2b-c=a-2bca-2b-c. 【整式與因式分解關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)：例3(3)-(4)】 【變式2】(1)16x2(x2+4)

15、2;(2)-x2+4. 4 【答案】 (1)原式=(4x)2(x2+4)2 =4x+(x2+4)4x-(x2+4) ,22, =(x+4x+4)(x4x+4) =(x+2)2(x-2)2. 一，、1c (2)原式=(x16) 4 1，、，、 =(x4)(x-4). 4 類(lèi)型三、因式分解與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用 CL.若a、b、c為三角形的三邊邊長(zhǎng)，試判斷(a2+b2c2)24a2b2的正負(fù)狀況. 【思路點(diǎn)撥】 將原式用公式法分解因式，再由三角形三邊的關(guān)系確定每個(gè)因式的符號(hào)，最后就能得出結(jié)果的符號(hào). 【答案與解析】 (a2b2-c2)2-4a2b2-(a2b2-c22ab)(a2b2-c2-2ab)

16、 =(ab)2-c2(a-b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c). 依三角形兩邊之和大于第三邊，知a+b-c0,ab+c0,a-b-c0, 2,22.22,2 故(a+b-c)-4ab0. 【點(diǎn)評(píng)】將原式分解因式，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊來(lái)判斷每個(gè)因式的正負(fù). 舉一反三： 【變式1】若ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且滿(mǎn)足a2-16b2-c2+6ab+10bc=0, 求證：a,c=2b. 【答案】 2_22_ a-16b-c6ab10bc =a26ab9b2-25b2-10bcc2 22 =a3b-5b-c 22 所以a3b-5b-c

17、=0 2 2 a3b=5b-c 所以a3b=(5b-c) 所以a,c=2b或8b=c-a 因?yàn)锳BC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,c-ab, 所以8b=c-ab,矛盾，舍去 所以ac=2b. 【整式與因式分解 關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)：例4】 【變式2】已知x+=21）,沿虛線(xiàn)又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），則該矩形的面積是（） 二、填空題 999-119一 7 .已知P=Q99,Q=辱0，那么巳Q的大小關(guān)系是.99 3一6c3m一 8 .已知a3m=2,b2m=3,則(a2m)+(bm)-(a2b)bm= 9 .若n是正整數(shù)，且a2n=10,則(a3n)2-8(-a2)2n=. 22 10 .(1)如果

18、ab=1,那(an-bn)-(an+bn)=. 11 (2)已知25x=2000,80y=2000,則1+=. xy 11 .對(duì)于任意的正整數(shù)n,能整除代數(shù)式(3n+1)(3n1)(3n；(3十n)的最小正整數(shù)是 12 .如果(2a+2b+1J(2a+2b1)=63,那么a+b的值為. 、解答題剩余部分 A. .2acm2 C.4acm2 D. (a2-1)cm2 2cm 3 13 .(1)若x.x=x，求n的值.(2)若(abb)=ab，求m、 14 .將下列各式分解因式： /.、211251 (1) x十x;a一一a； 36124 (3)x2y27xy+10；(4)(a+b24(a+b)+

19、3. 15 .若二次三項(xiàng)式kx2+32x-35(k#0)能被2x+7整除，試求k的值. 2 16 .已知：ab=6,ab+(ca)+9=0，求a+b+c的值. 【答案與解析】 1 .【答案】B; 【解析】248-1=2241224-1=22412121212-1 =：2241212126126-1 二224121216563 2 .【答案】D; .9,91-411-9 .22.3292.102n的值. ,1,1,1,1.1.1.11 =1-1-1-1-11-1-1-1- 2233991010 314253108119 =_XXXXXXxxx父 223344991010 1 1111 =x= 2

20、 1020 3 .【答案】A;-3 【解析】(2ab)=8ab=8ab,3m=9,3n=15,解得m=3,n=5. 4 .【答案】C； 解析1993十9319的個(gè)位數(shù)字等于993十319的個(gè)位數(shù)字,993=(92)46，9=81469； 319=(34)433=(81)427.993+319的個(gè)位數(shù)字等于9+7的個(gè)位數(shù)字. 則1993+9319的個(gè)位數(shù)字是6. 5 .【答案】B; 2 【解析】x26x+c=(x3)+(c9),由題意得，c-90,所以c9. 6 .【答案】C; 【解析】 矩形的面積是(a+1)2-(a-1) =a2+2a+1-(a2-2a+1), 2、=4a(cm), 故選C. 二、填空題 7 .【答案】P=Q 上999119 郵析 iLQ=7/ (9父11：父990 999訐 99ii9990 -1 -99,-9 911 P=Q. 8 .【答案】5; 2322 【解析】原式=a3mb2m-a3mb2m =3原式=22+33-2232=-5. 9 .【答案】200; 【解析】(a3n)2-8(a2)2n=(a2n38(a2n)=1000-800=200. 10 .【答案】(1)