拋物線——簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一、要點(diǎn)精講拋物線的的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖 形性 質(zhì)范圍， ， 焦半徑對(duì)稱軸軸軸頂點(diǎn)離心率通徑過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦，二、課前熱身1拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（ ）(A)2.5 (B)5 (C)7.5 (D) 102拋物線上一點(diǎn)為，且點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離為10，則F到準(zhǔn)線的距離為(A)4 (B)8 (C) 12 (D)163.（15陜西）若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則p= 4、(2016新課標(biāo)) 設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，曲線y=（k>0）與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k=（A） （B）1 （C） （D）25通過直線與圓的交點(diǎn)，且對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的拋物

2、線方程是 .6已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，通徑為線段AB，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線方程三、典例精析類型一：求拋物線的方程1、求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，且通徑的長(zhǎng)為8的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程2. 如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為() Ay29x By26x Cy23x Dy2x解：如圖，分別過A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由拋物線的定義知，|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB1

3、30°，AFx60°.連接A1F，則AA1F為等邊三角形，過F作FF1AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于K，則|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，拋物線方程為y23x，故選C.3、已知圓，與頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上的拋物線交于A,B兩點(diǎn)，OAB的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程4、已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓相交的公共弦長(zhǎng)等于，求這個(gè)拋物線的方程5、直線和相交于M，點(diǎn)N ，以A,B為端點(diǎn)的曲線段C上任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若AMN為銳角三角形，且，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求曲線段C的方程6、已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸正

4、半軸上，設(shè)A,B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（AB不垂直于x軸），且，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過點(diǎn)Q(6,0)求此拋物線的方程類型二：拋物線的幾何性質(zhì)7如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是() A. B. C. D.解析由題可知拋物線的準(zhǔn)線方程為x1.如圖所示，過A作AA2y軸于點(diǎn)A2，過B作BB2y軸于點(diǎn)B2，則.8設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是() A(0,2) B0,2 C(2，) D2

5、，)解析設(shè)圓的半徑為r，因?yàn)镕(0,2)是圓心，拋物線C的準(zhǔn)線方程為y2，由圓與準(zhǔn)線相交知4<r，因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點(diǎn)，所以r|FM|y02>4，所以y0>2.故選C.9. 過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3，則AOB的面積為() A. B. C. D2解析焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)A，B分別在第一、四象限，則點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x1的距離為3，得A的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2，AB的方程為y2(x1)，與拋物線方程聯(lián)立可得2x25x20，所以B的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，SAOB×1×(2).10平面直角

6、坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p>0)交于點(diǎn)O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為_解析由題意，雙曲線的漸近線方程為y±x，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F.不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由，解得或，故A.所以kAF.由已知F為OAB的垂心，所以直線AF與另一條漸近線垂直，故kAF·1，即×1，整理得b2a2，所以c2a2b2a2，故ca，即e.11已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線C上的點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，若AMF與AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為31，則點(diǎn)A的坐

7、標(biāo)為 () A(2,2) B(2，2) C(2，±) D(2，±2)解析如圖所示，由題意，可得|OF|1，由拋物線的定義，得|AF|AM|，AMF與AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為31，|AF|AM|3，設(shè)A，13，解得y0±2. 2，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，±2)類型二：與拋物線有關(guān)的最值問題12. 已知點(diǎn)M(3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則|MQ|QF|的最小值是() A. B3 C. D2解:拋物線準(zhǔn)線方程為x，當(dāng)MQx軸時(shí)，|MQ|QF|取得最小值，此時(shí)|QM|QF|3，選C.13已知P為拋物線

8、y24x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2(y4)21上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是_解析由題意知，圓x2(y4)21的圓心為C(0,4)，半徑為1，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和即點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和，因此|PQ|PF|PC|PF|1|CF|11.14、若點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，則的最小值為 （ ） (A) (B) ( C) (D) 點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離的最小值可用點(diǎn)P到圓心距離的最小值減去圓的半徑來(lái)求15已知圓C：x2y26x8y210，拋物線y28x的準(zhǔn)線為l，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P到直線

9、l的距離為m，則m|PC|的最小值為_解析由題意得圓C的方程為(x3)2(y4)24，圓心C坐標(biāo)為(3，4)由拋物線定義知，當(dāng)m|PC|最小時(shí)，為圓心與拋物線焦點(diǎn)間的距離，即(m|PC|)min.16、在拋物線y24x上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最小.該命題可轉(zhuǎn)化為求一條平行于y=x+3的直線y=x+b與拋物線y2=4x相切，求出切點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最短，聯(lián)立方程得x2+（2b-4）x+b2=0，令=0，即（2b-4）2-4b2=0，b=1，故x=1，y=2，P為（1，2）拋物線y2=4x上一點(diǎn)P（1，2），使得點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最短17、AB為拋物線上的動(dòng)

10、弦，且(為常數(shù)且)，求弦AB的中點(diǎn)M離x軸的最近距離18、已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是（ ）(A) (B) 4 ( C) (D) 19. 已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy40，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1d2的最小值為() A.2 B.1 C.2 D.1解析因?yàn)閽佄锞€的方程為y24x，所以焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，因?yàn)辄c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，所以到準(zhǔn)線的距離為d11，又d11|PF|，所以d1d2d11d21|PF|d21，焦點(diǎn)F到直線l的距離d，而|PF|d2d，所以d1d2|PF|d211，

11、選D.20.已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是A.2 B.3 C. D. 解：如下圖，由題意可知21、（2016四川） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為（A） （B） （C） （D）1法一：設(shè)（不妨設(shè)），則由已知得，故選C.法二：，則，后面同法一考點(diǎn)四：定點(diǎn)問題22. 設(shè)拋物線過定點(diǎn)A(2,0)，且以直線x-2為準(zhǔn)線 (1) 求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程； (2) 已知點(diǎn)B(0, -5)，軌跡C上是否存在滿足的M, N兩點(diǎn)？證明你的結(jié)論分析： 先判斷直線與橢圓相交時(shí)的斜率的取值范圍23、如圖，A

12、、B是拋物線y22px(p0)上的兩點(diǎn)，且OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))（1）求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；（2）求證：直線AB過定點(diǎn)（3）求弦中點(diǎn)的軌跡方程；解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)P(x0，y0)(1)kOA，kOB. 因?yàn)镺AOB，所以kOA·kOB1，所以x1x2y1y20.因?yàn)閥2px1，y2px2，所以·y1y20.因?yàn)閥10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)證明：因?yàn)閥y(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，又x1x2，所以.所以直線AB的方程為yy1(xx1)(x)，所以yxy1xx(x2p)所以直線AB過定

13、點(diǎn)(2p,0) （3）設(shè)P(x，y)，則，。由y2px1，y2px2，得 以，即24、已知知是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知點(diǎn)在曲線上，過點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，且的斜率滿足，求證：直線過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)。 由知 四、能力提升1. 拋物線y= 25x2的通徑長(zhǎng)是 （ ）(A) 25 (B) (C) (D) 2拋物線與直線ax+y-4=0的一個(gè)交點(diǎn)是(1,2)，則拋物線的焦點(diǎn)到該直線的距離是（ ） (A) (B) (C) (D) 3邊長(zhǎng)為1的等邊三角形AOB，O為原點(diǎn)，ABx軸，以O(shè)為頂點(diǎn)，且過AB的拋物線方程是（ ）(A) (B) (C) (D) 4已知點(diǎn)A(0,-3),B

14、(2,3)，點(diǎn)P在x2 =y上，當(dāng)PAB的面積最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）(A) (1,1) (B) (C) (D) (2,4)5. 一個(gè)動(dòng)圓的圓心在拋物線y2= 8x上，且動(dòng)圓恒與直線x+2=0相切，則此動(dòng)圓必經(jīng)過的定點(diǎn)是（ ） (A) (0,2) (B) (0,-2) (C) (4,0) (D) (2,0)由題意可知直線x+2=0是拋物線y2= 8x的準(zhǔn)線，而動(dòng)圈圓心又在拋物線y2= 8x上，根據(jù)拋物線定義可知?jiǎng)訄A圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，從而動(dòng)圓必過拋物線焦點(diǎn)(2,0).6設(shè)A,B是拋物線x2 =4y上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，OAOB，A點(diǎn)橫坐標(biāo)是-1，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）(A) 1 (B)4 (C) 8 (D) 167探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點(diǎn)上，已知鏡口直徑是60 cm，鏡深40 cm，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離是（ ）(A) 11. 25 cm (B) 5. 625 cm(C) 20 cm (D) 10 cm8. 設(shè)F為拋物線y2=ax(a>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，且其到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)F的距離之比為12，則|PF|等于（ ）(A) (B) (C) (D) 9以拋物線x2 =-4y的焦點(diǎn)為圓心，通徑長(zhǎng)為直徑的圓的方程為 .解: 拋物線x2= -4y的焦點(diǎn)(0,-1)，通徑長(zhǎng)為2p=4，所以滿足條件的圈的方程為x2+(y+l)2=