必修二直線與方程復(fù)習(xí)講義

1、第八章 平面解析幾何第一節(jié) 直線與方程【考綱知識(shí)梳理】一、直線的傾斜角與斜率1、直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn)：.與x軸相交;.x軸正向;.直線向上方向.直線與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為.傾斜角的范圍.（2）直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為的直線斜率不存在。經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式是每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率。2、兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率分別為，則有。特別地，當(dāng)直線的斜率都不存在時(shí)，的關(guān)系為平行。（2）兩條直線垂直如果兩條直線斜率存在，設(shè)為，則注：兩條直線垂直的充要條件

2、是斜率之積為-1，這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直，反過(guò)來(lái)，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，互相垂直。二、直線的方程1、直線方程的幾種形式名稱方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式為直線上一定點(diǎn)，k為斜率不包括垂直于x軸的直線斜截式k為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式且是直線上兩定點(diǎn)不包括垂直于x軸和y軸的直線截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或過(guò)原點(diǎn)的直線一般式A，B，C為系數(shù)無(wú)限制，可表示任何位置的直線注：過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y

3、2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1y2，直線垂直于x軸，方程為；（2）若，直線垂直于y軸，方程為；（3）若，直線方程可用兩點(diǎn)式表示）2、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且線段的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），則此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1.兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解，若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；反之，亦成立。2.幾種距離（1）兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)間的距離公式特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x,y）的距

4、離（2）點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離；（3）兩條平行線間的距離兩條平行線間的距離注：（1）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式；（2）求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計(jì)算。四、兩條直線的位置關(guān)系【要點(diǎn)名師透析】一、直線的傾斜角與斜率（一）直線的傾斜角相關(guān)鏈接2已知斜率k的范圍，求傾斜角的范圍時(shí)，若k為正數(shù)，則的范圍為的子集，且k=tan為增函數(shù)；若k為負(fù)數(shù)，則的范圍為的子集，且k=tan為增函數(shù)。若k的范圍有正有負(fù)，則可所范圍按大于等于0或小于0分為兩部分，針對(duì)每一部分再根據(jù)斜率的增減性求傾斜角范圍。例題解析例已知直線的斜率k=-cos(R).

5、求直線的傾斜角的取值范圍。（二）直線的斜率及應(yīng)用相關(guān)鏈接1、斜率公式：與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，即兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)在公式中前后次序相同；2、求斜率的一般方法：（1）已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)斜率公式 求斜率；（2）已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)根據(jù)來(lái)求斜率；3、利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：已知若，則有A、B、C三點(diǎn)共線。注：斜率變化分成兩段，是分界線，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論。例題解析例設(shè)是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，如果在同一直線上，求證：（三）兩條直線的平行與垂直例已知點(diǎn)M（2，2），N（5，-2），點(diǎn)P在x軸上，分別求滿足下列條件的P點(diǎn)坐標(biāo)。（1）MOP=OPN（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）MPN是直角。二、直

6、線的方程（一）直線方程的求法例題解析例求過(guò)點(diǎn)P（2，-1），在x軸和y軸上的截距分別為a、b,且滿足a=3b的直線方程。（二）用一般式方程判定直線的位置關(guān)系相關(guān)鏈接兩條直線位置關(guān)系的判定已知直線，則（1）（2）（3）（4）例題解析例已知直線和直線，（1）試判斷與是否平行；（2）時(shí)，求的值。（三）直線方程的應(yīng)用相關(guān)鏈接利用直線方程解決問(wèn)題，可靈活選用直線方程的形式，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算。一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式；已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式。另外，從所求的結(jié)論來(lái)看，若求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積或周長(zhǎng)，常選用截距式或點(diǎn)斜式。注：（1）點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常見(jiàn)的直線

7、方程形式，要注意在這兩種形式中所要求直線的斜率存在。（2）“截距”并非“距離”，可以是正的，也可以是負(fù)的，還可以是0。例題解析例如圖，過(guò)點(diǎn)P（2，1）作直線，分別為交x、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)。（1）當(dāng)AOB的面積最小時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)PA·PB取最小值時(shí)，求直線的方程。三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（一）有關(guān)距離問(wèn)題相關(guān)鏈接1、點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式是常用的公式，應(yīng)熟練掌握。2、點(diǎn)到幾種特殊直線的距離（1）點(diǎn)到x軸的距離。（2）點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.（3）點(diǎn)到與x軸平行的直線y=a的距離。（4）點(diǎn)到與y軸平行的直線x=b的距離.注：點(diǎn)到直線的距離公式當(dāng)A=0或B=

8、0時(shí)，公式仍成立，但也可不用公式而直接用數(shù)形結(jié)合法來(lái)求距離。例題解析例已知點(diǎn)P（2，-1）。（1）求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線的方程；（2）求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程，最大距離是多少？（3）是否存在過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（二）有關(guān)對(duì)稱問(wèn)題常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題：（1）中心對(duì)稱若點(diǎn)及關(guān)于對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程。（2）軸對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)關(guān)于直線：Ax+By+C

9、=0對(duì)稱，則線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，而且連接的直線垂直于對(duì)稱軸上，由方程組可得到點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（其中）直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行。例題解析例求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程。（三）解析法（坐標(biāo)法）應(yīng)用例（12）如圖，已知P是等腰三角形ABC的底邊BC上一點(diǎn)，PMAB于M，PNAC于N，用解析法證明|PM|+|PN|為定值?！靖形蚋呖颊骖}】1（2011·北京高考文科·T8）已知點(diǎn)，.若點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）12

10、（2011·安徽高考理科·15）在平面直角坐標(biāo)系中，如果與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）.存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)如果與都是無(wú)理數(shù)，則直線不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù)存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線3（2011·安徽高考理科·17）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，都是正三角形。（）證明直線；（）求棱錐的體積.4（2011·安徽高考文科·17）設(shè)直線（I）證明與相交；（II）證明與的交

11、點(diǎn)在橢圓直線與方程復(fù)習(xí)大全一、 直線與方程：1. 直線的傾斜角 x軸正方向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí), 我們規(guī)定它的傾斜角為0°. 因此，直線傾斜角的取值范圍是0°,180°).2. 直線的斜率 定義：傾斜角不是90°的直線，的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率通常用k表示. 即. 當(dāng)0°時(shí)，k0；當(dāng)(0°, 90°)時(shí)，k0；當(dāng)(90°, 180°)時(shí)，k0；當(dāng)90°時(shí)，k不存在.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直線的斜率公式：（

12、1）.若直線過(guò)點(diǎn)（，），（，），則此直線的傾斜角是（）°°°°（2）直線的傾斜角和斜率分別是（ ）A B C ，不存在 D ，不存在（3）. 如圖1，直線，的斜率分別為k1、k2、k3，則必有（ ） A. k1<k3<k2 B. k3<k1<k2C. k1<k2<k3 D. k3<k2<k13、 直線的方程a. 點(diǎn)斜式：直線斜率為k，且過(guò)點(diǎn)(x1, y1).注意：當(dāng)直線的傾斜角為0°時(shí)直線的斜率k0，直線的方程是yy1；當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，直線的斜率不存在，直線的方程是xx1；b.

13、 斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b（bR）c. 兩點(diǎn)式：（）直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1, y1), P2(x2, y2) d. 截矩式： 直線l過(guò)點(diǎn)和點(diǎn), 即l在x軸、y軸上的截距分別為（a0且b0） 注意：直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，斜率為1或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； 直線l在坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)時(shí)，斜率為1或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；e. 一般式：AxByC0（A , B不全為0）注意： 平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）, 直線的斜率為0； 平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）, 直線的斜率不存在； 直線在坐標(biāo)軸上的截距可以為一切實(shí)數(shù) 1把直線l的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是 .2直線l:

14、在x軸上的截距是 .3過(guò)點(diǎn)（，）且在軸，軸上截距相等的直線方程是 .4線過(guò)原點(diǎn)且傾角的正弦值是，則直線方程為 .5直線x+6y+2=0在x軸和y軸上的截距分別是（ ） A. B. C. D.2，36.mxny1（mn0）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 .7已知，則直線通過(guò)（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D(zhuǎn)第二、三、四象限8 設(shè)直線的傾斜角為，且，則滿足（ ）A B C D 9已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），則ABC的邊AB上的中線所在的直線方程為（ ） （A）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=010已知直線過(guò)點(diǎn)，

15、（1）若的傾斜角是直線傾斜角的，求直線的方程；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（3）若與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成單位面積的三角形，求直線的方程。11 過(guò)點(diǎn)作一直線，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為 12 經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條？請(qǐng)求出這些直線的方程13一條光線從點(diǎn)P（6,4）射出，與x軸相交于點(diǎn)Q（2,0），經(jīng)x軸反射，求入射光線和反射光線的方程。14.已知A（2，3），B（-3，2），直線l過(guò)P（1,1）且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（） （A）k3/4或k-4 (B)-4k3/4 (C) 3/4k4 (D)以上都不對(duì)4、 兩條

16、直線的平行與垂直設(shè)直線l1：，直線l2：. 則 ； 注意：利用斜率判斷直線的平行或垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否.1. 如果直線ax+2y+2=0與直線3x-y-2=0平行，則系數(shù)a= （） A、 -3 B、-6 C、 D、2. 直線的位置關(guān)系是 （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能確定3直線l: 2xyC=0與直線m: 4x2yC=0的位置關(guān)系是 .4直線x+m2y+6=0與直線（m-2）x+3my+2m=0 沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值.5直線和直線垂直，求的值.6若，又三點(diǎn)A(，0)，B（0，），C（1，3）共線，求的值.7. 已知點(diǎn)A（1,2），B（3,4），C（5,6），

17、D（7,8），則直線AB與CD直線的位置關(guān)系是（）（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）重合8. 已知點(diǎn)A（7,4），B（5,6），求線段AB的垂直平分線的方程。9原點(diǎn)在直線l上的射影為點(diǎn)（，），則直線l的方程為 .10已知直線與直線3x+47=0平行，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，則直線的方程為_(kāi) 11. 點(diǎn)（，m）關(guān)于點(diǎn)（n, 3）的對(duì)稱點(diǎn)為（，），則（）m，nm，n m，nm，n12點(diǎn)（-1，2）關(guān)于直線y = x -1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（A）（3，2）（B）（-3，-2）（C）（-3，2）（D）（3，-2）13與直線l：3x4y50關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程為（A）3

18、x4y50（B）3x4y50（C）3x4y50（D）3x4y5014與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱的直線是（ ）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=05 兩條直線的交點(diǎn)1. 若直線l1：A1xB1yC10 ，與直線l2：A2xB2yC20相交則交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組的一組解. 方程組無(wú)解 ；方程組有無(wú)數(shù)解l1與l2重合6. 過(guò)定點(diǎn)的直線系斜率為k且過(guò)定點(diǎn)(x0 , y0)的直線系方程為yy0k (xx0)；過(guò)兩條直線l1：A1xB1yC10 ，l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為(A1xB1yC1)( A2xB2y

19、C2)0（為參數(shù)），其中直線l2不在直線系中.1. 直線mx-y+2m+1=0經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是 （）A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）2直線當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn)（ ）（A）（0，0） （B）（0，1） （C）（3，1） （D）（2，1）3若，則直線必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)是（ ）. A B C D 7平面上兩點(diǎn)間的距離設(shè)A(x1 , y1) , B(x2 , y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，則若線段AB的中點(diǎn)為M(x0 ,y0) , 則1.過(guò)點(diǎn)（,）的直線與軸，軸分別交于,兩點(diǎn)，且,則的方程是（）x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0

20、 D x+2y-4=0 2.已知點(diǎn)和則過(guò)點(diǎn)且與A,B的距離相等的直線方程為 .3已知直線和點(diǎn)A（-1，2）、B（0，3），試在上找一點(diǎn)P，使得的值最小，并求出這個(gè)最小值。4. 已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。5. 求函數(shù)的最小值。8 點(diǎn)到直線的距離1. 點(diǎn)到直線距離公式：點(diǎn)P(x0 , y0)到直線l：AxByC0的距離2. 兩條平行直線 l1：AxByC10 ，l2：AxByC20間的距離1.點(diǎn)P（-1，2）到直線8x-6y+15=0的距離為（ ）A 2 B C 1 D 2直線5x+12y+3=0與直線10x+24y+5=0的距離是 .3 與直線平行，并且距離等于的直線方程是_

21、4已知直線l方程為y=kx+k+1，則當(dāng)點(diǎn)P（2，1）與直線l的距離最遠(yuǎn)時(shí)，直線l的斜率為 .5若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離相等，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）A B C D6. 求平行于直線3x+4y-12=0,且與它的距離是7的直線的方程; 求垂直于直線x+3y-5=0, 且與點(diǎn)P(-1,0)的距離是的直線的方程.7已知直線被兩平行直線所截得的線段長(zhǎng)為3，且直線過(guò)點(diǎn)（1，0），求直線的方程.【考點(diǎn)模擬演練】一、選擇題1傾斜角為45°，在軸上的截距為的直線方程是（ ）A BC D2傾斜角為45°，在軸上的截距為的直線方程是（ ）A B C D3過(guò)原點(diǎn)和在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線的傾斜角為（

22、   ）   A                         B                     C    

23、                 D4已知過(guò)點(diǎn)和的直線與直線平行，則的值為（ ）A. B. C. D. 5在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1，2)、點(diǎn)B(3，1)到直線l的距離分別為1和2，則符合條件的直線條數(shù)為 (   )   A3          B2      

24、60;    C4         D16設(shè)分別是中所對(duì)邊的邊長(zhǎng),則直線與的位置關(guān)系是(   )A平行         B垂直        C重合        D相交但不垂直7點(diǎn)P(2,3)到直線：ax+(a1)y+3=0的距離d為最大

25、時(shí)，d與a的值依次為          （    ）A3,-3          B5,1             C5,2            D7,18已知，則直線通過(guò)（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D(zhuǎn). 第二、三、四象限9若方程表示一條直線，則實(shí)數(shù)滿足（ ）A. B. C. D. ，10若點(diǎn)到直線的距離為4，且點(diǎn)在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）     A.7