廣州高三數(shù)學(xué)一模理科數(shù)學(xué)試題

1、2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）數(shù) 學(xué)（理 科） 2009.3本試卷共4頁(yè)，21小題， 滿(mǎn)分150分。 考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)： 1答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的市、縣/區(qū)、學(xué)校，以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3. 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原

2、來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。4作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效。5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積公式, 其中是錐體的底面積, 是錐體的高.如果事件、互斥，那么.如果事件、相互獨(dú)立，那么.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1函數(shù)的最小正周期為 AB.C. D. 2已知i（1i）（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限 B第二象限C第三象限 D第

3、四象限3某商場(chǎng)在國(guó)慶黃金周的促銷(xiāo)活動(dòng)中，對(duì)10月2號(hào)9時(shí)至14時(shí)的銷(xiāo)售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖1所示已知9時(shí)至10時(shí)的銷(xiāo)售額為2.5萬(wàn)元，則11時(shí)至12時(shí)的銷(xiāo)售額為 A. 萬(wàn)元 B. 萬(wàn)元 C. 萬(wàn)元 D.萬(wàn)元4已知過(guò)、兩點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的值為A. B. C. D. 5閱讀圖2的程序框圖(框圖中的賦值符號(hào)“=”也可以寫(xiě)成“”或“:=”)，若輸出的的值等于,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)的條件是 A? B. ? C. ? D. ? 6已知：關(guān)于的不等式的解集是R，：，則是的 A充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件 D既非充分又非必要條件7在中，若，則自然數(shù)的值是A7 B

4、8 C9 D108在區(qū)間上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上有且僅一個(gè)零點(diǎn)的概率為A B C D二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分.（一）必做題（912題）9. 若，則 .10若d=1, 則實(shí)數(shù)的值是 . 11.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm）如圖3所示，則該幾何體的側(cè)面積為 cm.12已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意N都有，且（ N），則的值為 ，的值為 . （二）選做題（1315題，考生只能從中選做兩題） 13（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi) .14.（幾何證明選講選做題）已知是圓（為圓心）的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，交圓于兩點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為

5、 . 15（不等式選講選做題）已知R，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.16.（本小題滿(mǎn)分12分） 已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且.（1）若, 求的值;(2) 若的面積 求的值.17.（本小題滿(mǎn)分14分） 甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分. 若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別為和, 且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為.假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響.（1）求的值；（2）記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18. （本小題滿(mǎn)分14分）如

6、圖4, 在三棱錐中，平面，,分別是棱的中點(diǎn)，連接. (1) 求證: 平面平面;(2) 若, 當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí), 求二面角的平面角的余弦值. 圖419(本小題滿(mǎn)分12分)某車(chē)間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)型零件和1個(gè)型零件配套組成.每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)型零件或者3個(gè)型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整)，每組加工同一種型號(hào)的零件.設(shè)加工型零件的工人人數(shù)為名（N）.（1）設(shè)完成型零件加工所需時(shí)間為小時(shí)，寫(xiě)出的解析式；（2）為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取何值？20（本小題滿(mǎn)分14分）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.（1）求動(dòng)圓的圓心

7、的軌跡方程；（2）設(shè)直線(xiàn)（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，D，與雙曲線(xiàn)交于不同兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線(xiàn)，使得向量，若存在，指出這樣的直線(xiàn)有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21. (本小題滿(mǎn)分14分)已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程N(yùn)的兩根,且.(1) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2) 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和, 問(wèn)是否存在常數(shù),使得對(duì)任意N都成立,若存在, 求出的取值范圍; 若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查

8、的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 2對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分 題號(hào)12345678答案ABCDACBD二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算本大題共7小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分其中1315是選做題,考生只能選做兩題

9、. 第12題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分9 10 11 12-1；4 13141 15. 三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟16（本小題滿(mǎn)分12分） （本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力）解: (1), 且, . 由正弦定理得. . (2) . . 由余弦定理得,. 17（本小題滿(mǎn)分14分） （本小題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力）解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“甲射擊一次,未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,未擊中目標(biāo)”

10、為事件，則，. 依題意得， 解得. 故的值為. （2）的取值分別為. ， ， 的分布列為02418（本小題滿(mǎn)分14分） （本小題主要考查空間中線(xiàn)面的位置關(guān)系、空間的角、幾何體體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力） (1) 證明: 分別是棱的中點(diǎn)， 是的中位線(xiàn). . 平面平面 平面. 同理可證 平面. 平面,平面,平面/ 平面. (2) 求三棱錐的體積的最大值, 給出如下兩種解法:解法1: 由已知平面, , . 三棱錐的體積為 . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最大值,其值為, 此時(shí). 解法2：設(shè)，在Rt中，. 三棱錐的體積為 . , 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，其值為，此時(shí). 求二

11、面角的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法: 解法1:作,垂足為, 連接. 平面，平面平面, 平面. 平面, . , 平面.平面, . 是二面角的平面角. 在Rt中, .在Rt中,.二面角的平面角的余弦值為. 解法2:分別以所在直線(xiàn)為軸, 軸, 軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系, 則. . 設(shè)n為平面的法向量,即令, 則.為平面的一個(gè)法向量. 平面的一個(gè)法向量為,. 二面角的平面角的余弦值為. 19（本小題滿(mǎn)分12分）（本小題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)）解：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件450個(gè)，則完成型零件加工所

12、需時(shí)間N，且. （2）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件150個(gè)， 則完成型零件加工所需時(shí)間N，且.設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間為小時(shí)，則為與的較大者.令，即，解得. 所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故. 當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為（小時(shí)）； 當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，則在上的最小值為（小時(shí)）； ，在上的最小值為.答：為了在最短時(shí)間內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取. 20（本小題滿(mǎn)分14分）（本小題主要考查圓、橢圓、直線(xiàn)等基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)探究，考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）解：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.，點(diǎn)在圓內(nèi). 設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，即.

13、 圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以?xún)牲c(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,設(shè)其方程為, 則.所求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為. (2)由 消去化簡(jiǎn)整理得：.設(shè)，則. 由 消去化簡(jiǎn)整理得：.設(shè)，則,. ，即，.或.解得或. 當(dāng)時(shí),由、得 ，Z,的值為 ，;當(dāng)，由、得 ，Z,.滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有9條 21（本小題滿(mǎn)分14分）（本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力）解: (1) 是關(guān)于的方程N(yùn)的兩根, 求數(shù)列的通項(xiàng)公式, 給出如下四種解法: 解法1: 由,得, 故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列., 即. 解法2: 由,兩邊同除以, 得, 令, 則.故 .且也適合上式, 即. 解法3： 由，得， 兩式相減得. 當(dāng)為正奇數(shù)時(shí), . 且也適合上式. 當(dāng)為正偶數(shù)時(shí), . 且也適合上式. 當(dāng)N時(shí)，. 解法4：由，得，. 猜