相等向量與共線向量(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.1.3 相等向量與共線向量問題提出1.向量與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？向量有哪幾種表示？2.什么叫向量的模？零向量和單位向量分別是什么概念？探究（一）：相等向量思考1：向量由其模和方向所確定，對于兩個(gè)向量a、b，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？思考2：兩個(gè)向量不能比較大小，只有“相等”與“不相等”的區(qū)別，你認(rèn)為如何規(guī)定兩個(gè)向量相等？1.相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。如圖，向量a與b相等記作a=b。零向量與零向量相等。思考3：對于非零向量和，如果=，通過平移使起點(diǎn)A與C重合，那么終點(diǎn)B與D的位置關(guān)系如何？思考4：用有向線段表示非零向量

2、和，如果=，那么A、B、C、D四點(diǎn)的位置關(guān)系有哪幾種可能情形？思考5：非零向量與稱為相反向量，一般地，如何定義相反向量？2.向量的相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a。注意：規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。探究（二）：平行向量與共線向量思考1：如果兩個(gè)向量所在的直線互相平行，那么這兩個(gè)向量的方向有什么關(guān)系？3.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若a，b平行，記作ab。規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量a，都有a。思考2：平行向量所在的直線一定互相平行嗎？思考3：如圖，設(shè)a、b、c是一組平行向量，任作一條與向量a所在直線平行的直線l，在l上任

3、取一點(diǎn)O，分別作=a，=b，=c，那么點(diǎn)A、B、C的位置關(guān)系如何？4.共線向量：平行向量也叫做共線向量。思考4：如果非零向量與是共線向量，那么點(diǎn)A、B、C、D是否一定共線？思考5：若向量a與b平行（或共線），則向量a與b相等或相反嗎？反之，若向量a與b相等或相反，則向量a與b平行（或共線）嗎？思考6：對于向量a、b、c，若a =b，b =c，那么a = c嗎？思考7：對于向量a、b、c，若a/ b，b/ c，那么a/ c嗎？思考8：相等向量與共線向量的區(qū)別與聯(lián)系？知識(shí)運(yùn)用例1.判斷下列命題的真假，并說明理由。（1）不相等的向量一定不平行。（）（2）若兩個(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量相等。（）（3

4、）向量就是有向線段。（）（4）任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。（）（5）|a|=|b|，a，b不一定平行；a/ b，|a|不一定等于|b|。（）例2.判斷下列各命題的真假：向量的長度與向量的長度相等；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；向量與向量是共線向量，則A、B、C、D點(diǎn)必在同一條直線上；有向線段就是向量，向量就是有向線段。其中假命題的序號(hào)為_。4.下列各命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（） 若|a|=|b|，則a=b或a=-b； 若，則A、B、C、D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)； 若

5、a=b,b=c，則a=c; 若ab,bc,則ac. A.4B.3C.2D.1解析 由|a|=|b|可知向量a,b模長相等但不能確定向量的方向，如在正方形ABCD中，| |=| |，但與既不相等也不互為相反向量，故此命題錯(cuò)誤.由可得|=|且，由于可能是A，B，C，D在同一條直線上，故此命題不正確.正確.不正確.當(dāng)b=0時(shí)， ac不一定成立.答案 D例3.如圖，設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心，在如圖所示標(biāo)出的向量中，與共線的向量有_。例4.正n邊形有n條邊，它們對應(yīng)的向量依次為a1，a2，a3，an，則這n個(gè)向量（ ）A.都相等 B.都共線 C.都不共線 D.模都相等小結(jié)作業(yè)1.相等向量與相反向

6、量是并列概念，平行向量與共線向量是同一概念，相等向量（相反向量）與平行向量是包含概念.2.任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).3.向量的平行、共線與平面幾何中線段的平行、共線是不同的概念，平行向量（共線向量）對應(yīng)的有向線段既可以平行也可以共線.4.平行向量不具有傳遞性，但非零平行向量和相等向量都具有傳遞性.課后作業(yè)1.在四邊形ABCD中，且0，則四邊形ABCD是（ ）A.矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形2.已知向量，則“a/b”是“a+b=0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.O是ABC內(nèi)

7、一點(diǎn)，且|=|=|，則O是ABC的( )A.重心 B.內(nèi)心 C.外心 D.垂心4.設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的條件是（ ）A.且B.C.D.5.設(shè)D是正及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)是的中心，若集合，則集合S表示的平面區(qū)域是 ( )A.三角形區(qū)域B.四邊形區(qū)域C.五邊形區(qū)域D.六邊形區(qū)域6.如下圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，O是兩條對角線AC、BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集M=A、B、C、D、O，向量集合T=|P、QM且P、Q不重合，求集合T元素的個(gè)數(shù)。7.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：=。2.1.3 相等向量與共線向量問題提出1.向量

8、與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？向量有哪幾種表示？聯(lián)系：向量與數(shù)量都是有大小的量；區(qū)別：向量有方向且不能比較大小，數(shù)量無方向且能比較大小.向量可以用有向線段表示，也可以用字母符號(hào)表示.2.什么叫向量的模？零向量和單位向量分別是什么概念？向量的模：表示向量的有向線段的長度.零向量：模為0的向量. 單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量.師：引進(jìn)向量概念后，我們就要建立相關(guān)的理論體系，為了研究的需要，我們必須對向量中的某些現(xiàn)象作出合理的約定或解釋，特別是兩個(gè)向量的相互關(guān)系，對此，我們將作些研究。探究（一）：相等向量思考1：向量由其模和方向所確定，對于兩個(gè)向量a、b，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能

9、情形？模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；思考2：兩個(gè)向量不能比較大小，只有“相等”與“不相等”的區(qū)別，你認(rèn)為如何規(guī)定兩個(gè)向量相等？師：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 1.相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。如圖，向量a與b相等記作a=b。零向量與零向量相等。師：任意兩個(gè)相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)，在平面上，兩個(gè)長度相等且指向一致的有向線段表示同一個(gè)向量。例如，就意味著，且與的方向相同。思考3：對于非零向量和，如果=，通過平移使起點(diǎn)A與C重合，那么終點(diǎn)B與D的位置關(guān)系如何？思考4：用有向線段表

10、示非零向量和，如果=，那么A、B、C、D四點(diǎn)的位置關(guān)系有哪幾種可能情形？思考5：非零向量與稱為相反向量，一般地，如何定義相反向量？2.向量的相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a。注意：師：由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此和互為相反向量，于是。規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。師：任一向量與其相反向量的和是零向量，即，所以，如果a，b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。探究（二）：平行向量與共線向量思考1：如果兩個(gè)向量所在的直線互相平行，那么這兩個(gè)向量的方向有什么關(guān)系？方向相同或相反3.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若a，b

11、平行，記作ab。規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量a，都有a。師：今后學(xué)習(xí)時(shí)要注意零向量的特殊性，解答問題時(shí),一定要注意討論是“零向量”還是“非零向量”。思考2：平行向量所在的直線一定互相平行嗎？師：將向量平移，不會(huì)改變其長度和方向。思考3：如圖，設(shè)a、b、c是一組平行向量，任作一條與向量a所在直線平行的直線l，在l上任取一點(diǎn)O，分別作=a，=b，=c，那么點(diǎn)A、B、C的位置關(guān)系如何？師：上述分析表明，任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量。4.共線向量：平行向量也叫做共線向量。思考4：如果非零向量與是共線向量，那么點(diǎn)A、B、C、D是否一定共線？思考5：若向

12、量a與b平行（或共線），則向量a與b相等或相反嗎？反之，若向量a與b相等或相反，則向量a與b平行（或共線）嗎？思考6：對于向量a、b、c，若a =b，b =c，那么a = c嗎？思考7：對于向量a、b、c，若a/ b，b/ c，那么a/ c嗎？師：注意向量的“平行”和“共線”的含義與平面幾何中的“平行”和“共線”的含義不同，如果兩個(gè)向量所在的直線重合，我們也可以說它們平行；如果兩個(gè)向量所在的直線平行，我們也可以說它們共線。思考8：相等向量與共線向量的區(qū)別與聯(lián)系？相等向量是指方向與長度都相同的向量，共線向量是指方向相同或相反的向量，相等向量是共線向量，但共線向量不一定是相等向量。知識(shí)運(yùn)用例1.判

13、斷下列命題的真假，并說明理由。（1）不相等的向量一定不平行。（）（2）若兩個(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量相等。（）（3）向量就是有向線段。（）（4）任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。（）（5）|a|=|b|，a，b不一定平行；a/ b，|a|不一定等于|b|。（）4.下列各命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（） 若|a|=|b|，則a=b或a=-b； 若，則A、B、C、D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)； 若a=b,b=c，則a=c; 若ab,bc,則ac. A.4B.3C.2D.1解析 由|a|=|b|可知向量a,b模長相等但不能確定向量的方向，如在正方形ABCD中，| |=| |，但

14、與既不相等也不互為相反向量，故此命題錯(cuò)誤.由可得|=|且，由于可能是A，B，C，D在同一條直線上，故此命題不正確.正確.不正確.當(dāng)b=0時(shí)， ac不一定成立.答案 D例2.判斷下列各命題的真假：向量的長度與向量的長度相等；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；向量與向量是共線向量，則A、B、C、D點(diǎn)必在同一條直線上；有向線段就是向量，向量就是有向線段。其中假命題的序號(hào)為_。例3.如圖，設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心，在如圖所示標(biāo)出的向量中，與共線的向量有_。例4.正n邊形有n條邊，它們對應(yīng)的向量依次為a1

15、，a2，a3，an，則這n個(gè)向量（ ）A.都相等 B.都共線 C.都不共線 D.模都相等小結(jié)作業(yè)1.相等向量與相反向量是并列概念，平行向量與共線向量是同一概念，相等向量（相反向量）與平行向量是包含概念.2.任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).3.向量的平行、共線與平面幾何中線段的平行、共線是不同的概念，平行向量（共線向量）對應(yīng)的有向線段既可以平行也可以共線.4.平行向量不具有傳遞性，但非零平行向量和相等向量都具有傳遞性.課后作業(yè)1.在四邊形ABCD中，且0，則四邊形ABCD是（）A.矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】B2.已知向量，則“a

16、/b”是“a+b=0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B3.O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且|=|=|，則O是ABC的( )A.重心 B.內(nèi)心 C.外心D.垂心4.設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的條件是（ ）A.且B.C.D.【解析】表示與是同向的非零單位向量，則的一個(gè)充分條件是，其中A、C.可以推得或?yàn)楸匾怀浞謼l件；B.可以推得為既不充分也不必要條件；若使成立，則選項(xiàng)中只有D能保證，點(diǎn)評本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學(xué)習(xí)向量知識(shí)時(shí)需注意易考易錯(cuò)零向量，其模為0且方向任意.5.設(shè)D是正及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)是的中心，若集合，則集合S表示的平面區(qū)域是 ( )A.三角形區(qū)域 B.四邊形區(qū)域 C.五邊形區(qū)域D.六邊形區(qū)域答案D解析本