2019屆浙江省基于高考試題的復習資料——二項式定理(解析版)

1、九、計數(shù)原理與古典概率（二）二項式定理一、高考考什么？考試說明3了解二項式定理，二項式系數(shù)的性質(zhì)。知識梳理1二項式定理：，其中組合數(shù)叫做第r+1項的二項式系數(shù)；展開式共有n+1項，其中第r+l項），會求常數(shù)項、某項的系數(shù)等2二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當時，二項式系數(shù)C的值逐漸增大，當時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當n為偶數(shù)時，中間一項（第1項）的二項式系數(shù)取得最大值。當n為奇數(shù)時，中間兩項（第和項）的二項式系數(shù)相等并同時取最大值。（3）二項式系數(shù)的和：；。3.展開式系數(shù)的性質(zhì)：若；令 則：（1）展開式的各項系數(shù)

2、和為（2）展開式的奇次項系數(shù)和為（3）展開式的偶次項系數(shù)和為二、高考怎么考？全面解讀 從考試說明來看，二項式定理主要解決與二項展開有關的問題，從考題來看，每一年均有一題，難度為中等，從未改變。命題主要集中在常數(shù)項，某項的系數(shù)，冪指數(shù)等知識點上。掌握二項式定理主要以通項為抓手，由通項可解決常數(shù)項問題、某項的系數(shù)問題，系數(shù)要注意二項式系數(shù)與展開式系數(shù)的區(qū)別。 難度系數(shù) 原題解析2004年（7）若展開式中存在常數(shù)項，則n的值可以是( ) A8 B9 C10 D12 2005年（5）在 的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ） A74 B 121 C74 D121 2006年 （8）若多項式則（ ） A9 B

3、10 C-9 D-102007年（6）展開式中的常數(shù)項是（ ） ABC D2008年（4）在的展開式中，含的項的系數(shù)是( ) A-15 B85 C-120 D2742009年（4）在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是( ) A B C D2011年（13）設二項式的展開式中的系數(shù)為A,常數(shù)項為B，若，則的值是 。2012年（14）若將函數(shù)表示為 其中，為實數(shù)，則_2013年（11）設二項式的展開式中常數(shù)項為，則 2014年（5）在的展開式中，記項的系數(shù)為，則 （ ）A. 45 B. 60 C. 120 D. 2102015年（04）（1）已知 為正整數(shù)，在與 展開式中項的系數(shù)相同，求 n的值.2

4、016年（04）（1）已知，求的值。2017年（13） 已知多項式，則= ，= 2018年（14）二項式的展開式的常數(shù)項是_附文科試題2005年（5）在的展開式中，含的項的系數(shù)是( ) A B 6 C 10 D 102006年 （2）在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）A15 B20 C30 D40三、不妨猜猜題？從考試說明來看，二項式定理主要解決與二項展開有關的問題，從考題來看，每一年均有一題，難度為中等，從未改變。命題主要集中在常數(shù)項，某項的系數(shù)，冪指數(shù)等知識點上。掌握二項式定理主要以通項為抓手，由通項可解決常數(shù)項問題、某項的系數(shù)問題，系數(shù)要注意二項式系數(shù)與展開項的系數(shù)的區(qū)別。尤其要加

5、強求二個二項式相乘的展開式中某項系數(shù)的訓練，高考出現(xiàn)的頻率很高。A組1若二項式（x22x)n的展開式中二項式系數(shù)的和是64，則展開式中的常數(shù)項為A -240 B -160 C 160 D 2402若(x1)5a5(x1)5a1(x1)a0，則a0和a1的值分別為()A 3280 B 3240 C 1620 D 16103若(x2+2x3)n展開式存在常數(shù)項，則n的最小值為（ ）A 3 B 4 C 5 D 64若(x2a)(x+1x)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a=（ ）A 12 B 2 C 12 D 25x+1x216展開式x2的系數(shù)為A 45 B 15 C 15 D 456若1+x12

6、x8=a0+a1x+a9x9，xR，則a12+a222+a929的值為A 29 B 291 C 39 D 3917設(x2+1)(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11，則a1+a2+a11的值為 （ ）A 7 B 3 C 2 D 78二項式(x+1x2)5的展開式中常數(shù)項為_所有項的系數(shù)和為_9(x2x+1)10展開式中所有項的系數(shù)和為_，其中x3項的系數(shù)為_.10(1+2x2)(x1x)8的展開式中x-2項前系數(shù)為_(用數(shù)字作答)，項的最大系數(shù)是_11已知(1+ax)(1+x)6的展開式中x3的系數(shù)為10，則a=_，此多項式的展開式中含x的奇數(shù)次冪項的系

7、數(shù)之和為_12若(x+y)(2xy)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2 +a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6，則a4=_，a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=_B組1(1+1x2)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為（ ）A 15 B 20 C 30 D 352(x+1)(2x+1)(3x+1)(nx+1)(nN*)的展開式中,一次項的系數(shù)為 ( )A Cnn1 B Cn2 C Cn+12 D 12Cn+123若x+2x2n的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是第（）項（ ）A 4 B 3 C 2 D 14已知x+22x15=a0+a1x +a2x2+a

8、3x3+a4x4+a5x5+a6x6，則a0+a2+a4=（ ）A 123 B 91 C -152 D -1205在(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展開式中，含x2項的系數(shù)為（ ）A 45 B 55 C 120 D 1656已知：，則（ ）A. 28 B. 448 C. 112 D. 4487若2x12018=a0+a1x+a2x2+a2018x2018xR，則12+a222a1+a323a1+a201822018a1=（ ）A 12018 B 12018 C 14036 D 140368在(x12x2)9 的展開式中，常數(shù)項為_；系數(shù)最大的項是_9設，則a0=_； 10已知x5=

9、a5(2x+1)5+a4(2x+1)4+a1(2x+1)+a0，則a5=_，a4=_11設 (2+x) 10 a0 + a1 x + a2 x 2 + a10 x 10，則a2= _，(a0 + a2 + a4 + a10) 2(a1 + a3 + a5 + a9) 2 的值為 _12已知多項式 滿足，則_， _【全解全析】原題解析2004年（7）若展開式中存在常數(shù)項，則n的值可以是( ) A8 B9 C10 D12 【答案】C。【解析】展開式的通項公式為。令有解，即有解。因此n是5的倍數(shù)。故選項為C。2005年（5）在 的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ） A74 B 121 C74 D121

10、【答案】D?！窘馕觥坷玫缺葦?shù)列的前n項公式化簡代數(shù)式；利用二項展開式的通項公式求出含x4的項的系數(shù)，即是代數(shù)式的含x3的項的系數(shù)：中x4的系數(shù)為，中x4的系數(shù)為， 中x3的系數(shù)為5126=121。故選D。2006年 （8）若多項式則（ ） A9 B10 C-9 D-10【答案】D?！窘馕觥?，題中只是展開式中的系數(shù)。故選D。2007年（6）展開式中的常數(shù)項是（ ） ABC D【答案】C【解析】，由，得，代入，得常數(shù)項為C2008年（4）在的展開式中，含的項的系數(shù)是( ) A-15 B85 C-120 D274【答案】A?！窘馕觥亢瑇4的項是由(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的5個括號

11、中4個括號出x僅1個括號出常數(shù)展開式中含x4的項的系數(shù)是（1）（2）（3）（4）（5）=15。故選A。2009年（4）在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是( ) A B C D【答案】B 【解析】對于，對于，則的項的系數(shù)是2011年（13）設二項式的展開式中的系數(shù)為A,常數(shù)項為B，若，則的值是 ?！敬鸢浮?，【解析】由題意得，。又，解之得。又，。2012年（14）若將函數(shù)表示為 其中，為實數(shù)，則_【答案】10【解析】x5(1x)15，故a3為(1x)15的展開式中(1x)3的系數(shù)，由二項展開式的通項公式得Tr1(1x)r·(1)5r令r3，得T4(1x)3·(1)210(1x

12、)3故a3102013年（11）設二項式的展開式中常數(shù)項為，則 【答案】10【解析】：Tr1.令155r0，得r3，所以A(1)310.2014年（5）在的展開式中，記項的系數(shù)為，則 （ ）A. 45 B. 60 C. 120 D. 210【答案】C【解析】由題意可得，故選C2015年（04）（1）已知 為正整數(shù)，在與 展開式中項的系數(shù)相同，求 n的值.【答案】【解析】2016年（04）（1）已知，求的值?！敬鸢浮?1【解析】2017年（14） 已知多項式，則= ，= 【答案】16，4【解析】2018年（14）二項式的展開式的常數(shù)項是_【答案】【解答】通項.，.常數(shù)項為.附文科試題2005年（

13、5）在的展開式中，含的項的系數(shù)是( ) A B 6 C 10 D 10【答案】B2006年 （2）在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）A15 B20 C30 D40【答案】B三、不妨猜猜題？從考試說明來看，二項式定理主要解決與二項展開有關的問題，從考題來看，每一年均有一題，難度為中等，從未改變。命題主要集中在常數(shù)項，某項的系數(shù)，冪指數(shù)等知識點上。掌握二項式定理主要以通項為抓手，由通項可解決常數(shù)項問題、某項的系數(shù)問題，系數(shù)要注意二項式系數(shù)與展開項的系數(shù)的區(qū)別。尤其要加強求二個二項式相乘的展開式中某項系數(shù)的訓練，高考出現(xiàn)的頻率很高。A組1若二項式（x22x)n的展開式中二項式系數(shù)的和是64，則

14、展開式中的常數(shù)項為A -240 B -160 C 160 D 240【答案】D【解析】由已知得到2n=64，所以n=6，所以展開式的通項為Tr+1=C6r(x2)6r(2x)r=C6r(2)rx123r，令123r=0，得到r=4，所以展開式的常數(shù)項為T5=C64(2)4=240，故選D.2若(x1)5a5(x1)5a1(x1)a0，則a0和a1的值分別為()A 3280 B 3240 C 1620 D 1610【答案】A【解析】(x+1)5=(x1)+25的展開式的通項為Tk+1=C5k(x1)5k2k，則a0=C55×25=32,a1=C54×24=80；故選A.3若(

15、x2+2x3)n展開式存在常數(shù)項，則n的最小值為（ ）A 3 B 4 C 5 D 6【答案】C【解析】(x2+2x3)n的展開式的通項公式為Tr+1=Cnr（x2）nr（2x3）r=Cnr2rx2n5r，r=0，1，2，n，由題意可得2n5r=0，即n=5r2，由n正整數(shù)，可得r=2時，n取得最小值5故選：C4若(x2a)(x+1x)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a=（ ）A 12 B 2 C 12 D 2【答案】D【解析】 由題意二項式(x+1x)10的展開式為Tr+1=C10rx10r(1x)r=C10rx102r， 展開式的x6為x2C103x4aC102x6=(C103aC102)

16、x6，所以C103aC102=30， 解得a=2，故選D.5x+1x216展開式x2的系數(shù)為A 45 B 15 C 15 D 45【答案】B【解析】由題得x+1x2-16=(x+1x2)16，設Tr+1=C6r(x+1x2)6r(1)r=C6r(1)r(x+1x2)6r,對于二項式(x+1x2)6r，設其通項為Uk+1=C6rkx6rk(1x2)k=C6rkx6r3k，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,kN,方程的解為r=1,k=1或者r=4,k=0.所以x+1x2-16展開式x2的系數(shù)為C61(1)1C51+C64(1)4C20=15.故答案為：B6若1+x12x8=a0+a1x+a

17、9x9，xR，則a12+a222+a929的值為A 29 B 291 C 39 D 391【答案】D【解析】令x=0,則a8=1,令x=2,a0+2a1+22a2+.+29a9=39 2a1+22a2+.+29a9=391 故答案為：D.7設(x2+1)(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11，則a1+a2+a11的值為 （ ）A 7 B 3 C 2 D 7【答案】D【解析】題中所給等式(x2+1)(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11中，令x=2可得：4+1×4+39=a0，即a0=5，令x=1可得：1+1&

18、#215;2+39=a0+a1+a2+a3+a11，即a0+a1+a2+a3+a11=2，據(jù)此可知：a1+a2+a11的值為25=7.本題選擇D選項.8二項式(x+1x2)5的展開式中常數(shù)項為_所有項的系數(shù)和為_【答案】 5 32【解析】展開式的通項為Tr+1=C5r(x)5r(1x2)r=C5rx5252r，令5252r=0，解得r=1，所以展開式中的常數(shù)項為T2=C51=5，令x=1，得到所有項的系數(shù)和為25=32，得到結(jié)果.9(x2x+1)10展開式中所有項的系數(shù)和為_，其中x3項的系數(shù)為_.【答案】1210【解析】令x=1，則展開所有項的系數(shù)和為(1-1+1)10=1若要湊成x3有以下

19、幾種可能：一是1個x2，1個(-x)，8個1，二是3個(-x)，7個1，則有C101x2C91-xC8818=-90x3C103-x3C7717=-120x3-90x3+-120x3=-210x3故x3項的系數(shù)為-21010(1+2x2)(x1x)8的展開式中x-2項前系數(shù)為_(用數(shù)字作答)，項的最大系數(shù)是_【答案】084【解析】(x-1x)8通項Tr+1=C8rx8r(1x)r=(1)rC8rx82r，當r=5時，T6=56x2，當r=6時，T7=28x4，所以x-2項前系數(shù)為0。由二項式定理展開可得：(x1x)8=C80x8C81x6+C82x4C83x2+C84x0C85x2+C86x4

20、C87x6+C88x8(1+2x2)(x-1x)8=2C80x10+(C802C81)x8(C812C82)x6+(C822C83)x4(C832C84)x2+(C842C85)x0(C852C86)x2+(C862C87)x4(C872C88)x6+C88x8所以最大項為(C832C84)x2，即84x2。所以填0和84。11已知(1+ax)(1+x)6的展開式中x3的系數(shù)為10，則a=_，此多項式的展開式中含x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為_【答案】 -2 -32【解析】由題意的，展開式中含x3的系數(shù)為C63+AC62=20+15a=10，解得a=2，令fx=(12x)(1+x)6=a0+a1x

21、+a2x2+a7x7，令x=1，則a0+a1+a2+a7=64；令x=1，則a0a1+a2+a7=0，兩式相減，則展開式中含x奇次冪的系數(shù)之和為a1+a3+a5+a7=f(1)f(1)2=32.12若(x+y)(2xy)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2 +a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6，則a4=_，a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=_【答案】 40 2【解析】2xy5的二項展開式通項為Tr+1=C5r(2x)5r(y)r=C5r25r(1)rx5ryr，令r=3得T4=40x2y3；令r=2得T3=80x3y2，再與x+y相乘，可得x3y3的系數(shù)為40+80=4

22、0,a4=40.在(x+y)(2x-y)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2 +a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6中，令x=y=1得a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(1+1)(21)5=2.B組1(1+1x2)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為（ ）A 15 B 20 C 30 D 35【答案】C【解析】當(1+1x2)選擇1時，(1+x)6展開式選擇x2的項為C62x2 ；當（(1+1x2)選擇1x2時，(1+x)6展開式選擇x2的項為C64x4， 所以（(1+1x2)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為C62+C64=30. 故選C.2(x+1)(2x+1)(3x+1)

23、(nx+1)(nN*)的展開式中,一次項的系數(shù)為 ( )A Cnn1 B Cn2 C Cn+12 D 12Cn+12【答案】C【解析】由題意，可得展開式中一次項的系數(shù)為1+2+3+n=，故選C.3若x+2x2n的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是第（）項（ ）A 4 B 3 C 2 D 1【答案】B【解析】x+2x2n 展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，Cn5最大，n=10；展開式的通項公式為Tr+1=C10rx10-r2x2r=2rC10rx5-5r2 令5-5r2=0 ，解得r=2，即展開式中的常數(shù)項是第3項故選：B4已知x+22x15=a0+a1x +a2x2+a

24、3x3+a4x4+a5x5+a6x6，則a0+a2+a4=（ ）A 123 B 91 C -152 D -120【答案】C【解析】在（x+2）（2x1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6中，取x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3，取x=1，得a0a1+a2a3+a4a5+a6=243，2（a0+a2+a4+a6）=240，即a0+a2+a4+a6=120，又a6=C50×25=32，a0+a2+a4=152故答案為：C5在(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展開式中，含x2項的系數(shù)為（ ）A 45 B 55 C 120 D 1

25、65【答案】D【解析】(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展開式中含x2項的系數(shù)為C22+C32+C42+C102=C113=165.故選D.6已知：，則（ ）A. 28 B. 448 C. 112 D. 448【答案】A【解析】x(x2)8=x-1+1x-1-18，當?shù)谝粋€因子取x-1時，第二個因子取C83x-15-13=-56當?shù)谝粋€因子取1時，第二個因子取C82x-16-12=28故a6-56+28=-28故選：A7若2x12018=a0+a1x+a2x2+a2018x2018xR，則12+a222a1+a323a1+a201822018a1=（ ）A 12018 B 12018

26、 C 14036 D 14036【答案】C【解析】（12x）2018=a0+a1x+a2x2+a2018x2018（xR），根據(jù)二項式的展開式的通項得到a1=C20182017212017=2018×2，令x=0，可得a0=1，原式令x=12，可得a0+a12+a222+.+a201822018=0得到a222+a323+a201822018=-a0a12 12+a222a1+a323a1+a201822018a1=12+1a1a222+a323+a201822018=12+1a1a0a12=a0a1=4036. 結(jié)合兩式得到故選：C8在(x12x2)9 的展開式中，常數(shù)項為_；系數(shù)最大的項是_【答案】 212 9x3【解析】因為Tr+1=C