高中數(shù)學(xué) 第二章《離散型隨機(jī)變量的均值》教案 新人教A版選修2-3

1、23離散型隨機(jī)變量的均值與方差231離散型隨機(jī)變量的均值一、復(fù)習(xí)引入：1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用希臘字母、等表示2. 離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量 3連續(xù)型隨機(jī)變量: 對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量 4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出 若是隨機(jī)變量，是常

2、數(shù)，則也是隨機(jī)變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型） 5. 分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為x1，x2，x3，取每一個(gè)值xi（i=1，2，）的概率為，則稱表x1x2xiPP1P2Pi為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列 6. 分布列的兩個(gè)性質(zhì)： Pi0，i1，2，； P1+P2+=17.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01knP稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分

3、布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記b(k；n，p)8. 離散型隨機(jī)變量的幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)，所作試驗(yàn)的次數(shù)也是一個(gè)正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為、事件A不發(fā)生記為，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么（k0,1,2,， ）于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：123kP稱這樣的隨機(jī)變量服從幾何分布記作g(k，p)= ，其中k0,1,2,， 二、講解新課：根據(jù)已知隨機(jī)變量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下4

4、5678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射擊之前，可以根據(jù)這個(gè)分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望 根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，我們可以估計(jì)，在n次射擊中，預(yù)計(jì)大約有次得4環(huán)；次得5環(huán)；次得10環(huán)故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為，從而，預(yù)計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為這是一個(gè)由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平對(duì)于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，即已知各個(gè)（i=0，1，2，10），我們可以同樣預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù):1. 均值或數(shù)學(xué)期望: 一

5、般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望2. 均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 3. 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 4. 均值或期望的一個(gè)性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，它們的分布列為x1x2xnPp1p2pn于是 ) ，由此，我們得到了期望的一個(gè)性質(zhì):5.若B（n,p），則E=np 證明如下：，0×1×2×k×n×又 ， 故若B(n，p)，則np三

6、、講解范例：例1. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望解：因?yàn)?，所以?. 一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分 學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測(cè)驗(yàn)中的成績的期望 解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是，則 B（20,0.9）, 由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中的成績分別是5和5 所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績的期

7、望分別是： 例3. 根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0. 01該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60 000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元為保護(hù)設(shè)備，有以下3 種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3 800 元 方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2 000 元但圍墻只能防小洪水方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水試比較哪一種方案好解：用X1 、X2和X3分別表示三種方案的損失采用第1種方案，無論有無洪水，都損失3 800 元，即X1 = 3 800 . 采用第2 種方案，遇到大洪水時(shí)，損失2 000 + 60 000=62 000 元；沒有大洪水時(shí)，損

8、失2 000 元，即同樣，采用第 3 種方案，有于是， EX13 800 , EX262 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 . 采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2 .

9、 值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的一般地，我們可以這樣來理解“平均損失”：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案 2 將會(huì)使損失減到最小由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方案 2 也不一定是最好的例4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)的期望解：，=3.5例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%，對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次求抽查次數(shù)的期望（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）解：抽查次數(shù)取110的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此

10、獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，10）取出次品的概率：（=1，2，10）需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：123456789100.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316根據(jù)以上的概率分布，可得的期望例6.隨機(jī)的拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)期望解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)的概率分布為123456P所以 1×2×3×4×5×6×(123456)×3.5拋擲骰子所得點(diǎn)

11、數(shù)的數(shù)學(xué)期望，就是的所有可能取值的平均值例7.某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì))從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)他所收租車費(fèi)為()求租車費(fèi)關(guān)于行車路程的關(guān)系式；()若隨機(jī)變量的分布列為15161718P0.10.50.30.1求所收租車費(fèi)的數(shù)學(xué)期望()已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而

12、出租汽車實(shí)際行駛了15km，問出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘?解：()依題意得=2(-4)十10，即=2+2；() =2+2 2E+2=34.8 （元）故所收租車費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為34.8元()由38=2+2，得=18，5(18-15)=15所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘 四、課堂練習(xí)：1. 口袋中有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號(hào)碼，則（ ）A4；B5；C4.5；D4.75答案：C 2. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的數(shù)學(xué)期望；他罰球2次的得分的數(shù)學(xué)期望；他罰球3次的得分

13、的數(shù)學(xué)期望解：因?yàn)?，所?×0×的概率分布為012P所以 0×1×2×1.4 的概率分布為23P所以 0×1×2×2.1.3設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個(gè)今取水1升進(jìn)行化驗(yàn)，設(shè)其中含有大腸桿菌的個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望分析：任取1升水，此升水中含一個(gè)大腸桿菌的概率是，事件“=k”發(fā)生，即n個(gè)大腸桿菌中恰有k個(gè)在此升水中，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A（在此升水中含一個(gè)大腸桿菌）恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算方法可求出P(=k),進(jìn)而可求E.解：記事件A：“在所取的1升水中含一個(gè)大腸桿菌”，則P(A)=P(=k)=Pn(k)=C)

14、k(1)nk（k=0,1,2,.,n）B(n,)，故E =n×= 五、小結(jié) ：(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；(2)求離散型隨機(jī)變量的期望的基本步驟：理解的意義，寫出可能取的全部值；求取各個(gè)值的概率，寫出分布列；根據(jù)分布列，由期望的定義求出E 公式E（a+b）= aE+b，以及服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望E=np 六、課后作業(yè)：P64-65練習(xí)1,2,3,4 P69 A組1,2,31.一袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和兩個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 （用數(shù)字作答）解：令取取黃球個(gè)數(shù) (=0、1、2)則的要布列為 012p于是 E（）=

15、0×+1×+2×=0.8故知紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.22.袋中有4個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球記0分，每取到一個(gè)白球記1分，每取到一個(gè)紅球記2分，用表示得分?jǐn)?shù)求的概率分布列求的數(shù)學(xué)期望解：依題意的取值為0、1、2、3、4=0時(shí)，取2黑 p(=0)=1時(shí)，取1黑1白 p(=1)=2時(shí)，取2白或1紅1黑p(=2)= +=3時(shí)，取1白1紅，概率p(=3)= =4時(shí)，取2紅，概率p(=4)= 01234p 分布列為（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=3.學(xué)校新進(jìn)了三臺(tái)投影儀用于多媒體教

16、學(xué)，為保證設(shè)備正常工作，事先進(jìn)行獨(dú)立試驗(yàn)，已知各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為p1、p2、p3，求試驗(yàn)中三臺(tái)投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學(xué)期望解：設(shè)表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù)，Ai表示第i臺(tái)儀器出現(xiàn)故障（i=1、2、3）表示第i臺(tái)儀器不出現(xiàn)故障，則：p(=1)=p(A1··)+ p(·A2·)+ p(··A3)=p1(1p2) (1p3)+ p2(1p1) (1p3)+ p3(1p1) (1p2)= p1+ p2+p32p1p22p2p32p3p1+3p1p2p3p(=2)=p(A1· A2·)+ p(A1··)+ p(·A2·A3) = p1p2 (1p3)+ p1p3(1p2)+ p2p3(1p1)= p1p2+ p1p3+ p2p33p1p2p3p(=3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3 =1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)= p1+p2+p3 注：要充分運(yùn)用分類討論的思想，分別求出三臺(tái)儀器中有一、二、三臺(tái)發(fā)生故障的概率后再求期望4.