小波變換原理與應(yīng)用

1、1小波變換原理與應(yīng)用小波變換原理與應(yīng)用Wavelet Transform Theory and Engineering Application數(shù)學(xué)中的顯微鏡小波2講座的目的4了解信號的信息表示方法4了解小波變換的基本原理4掌握小波變換的三種類型4了解小波塔式分解與重構(gòu)4了解小波變換的時頻特性4了解小波變換的工程應(yīng)用小波分析 深圳大學(xué)信息工程學(xué)院 3主要內(nèi)容主要內(nèi)容4小波的基本概念什么是小波4小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué)4小波的基本類型多分辨分析4小波的快速算法Mallat算法4小波包分解算法精細化處理4小波的工程應(yīng)用時頻分析與降噪4小波的結(jié)合應(yīng)用小波網(wǎng)絡(luò)等小波分析 深圳大學(xué)信息工程學(xué)院 4小波的基

2、本概念什么是小波4小波是什么？ 小波可以簡單的描述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時間范圍內(nèi)變化，并且平均值為0。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時間和突變的頻率和振幅；B、在有限時間范圍內(nèi)平均值為0。5小波的基本概念什么是小波4小波的“容許”條件 用一種數(shù)學(xué)的語言來定義小波，即滿足“容許”條件的一種函數(shù)，“容許”條件非常重要，它限定了小波變換的可逆性。 小波本身是緊支撐的，即只有小的局部非零定義域，在窗口之外函數(shù)為零；本身是振蕩的，具有波的性質(zhì)，并且完全不含有直流趨勢成分，即滿足 )()(xdC2)(0)()0(dxx6小波的基本概念什么是小波4信號的信息表示時域表示：信號

3、隨時間變化的規(guī)律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精細的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布參數(shù)）頻域表示：信號在各個頻率上的能量分布，信息為頻率和譜值（頻譜或功率譜），為了精確恢復(fù)原信號，需要加上相位信息（相位譜），典型的工具為FT時頻表示：時間和頻率聯(lián)合表示的一種信號表示方法，信息為瞬時頻率、瞬時能量譜 信號處理中，對不同信號要區(qū)別對待，以選擇哪種或者哪幾種信號表示方法7小波的基本概念什么是小波4平穩(wěn)信號4非平穩(wěn)信號 不滿足平穩(wěn)性條件至少是寬平穩(wěn)條件的信號),;,(),;,(21212121nnnntttxxxftttxxxf)(),()()(),()()(2122121txE

4、ttRtxtxEttRmdxxxftxExxx8小波的基本概念什么是小波4信號的時域表示和頻域表示只適用于平穩(wěn)信號，對于非平穩(wěn)信號而言，在時間域各種時間統(tǒng)計量會隨著時間的變化而變化，失去統(tǒng)計意義；而在頻率域，由于非平穩(wěn)信號頻譜結(jié)構(gòu)隨時間的變化而變化導(dǎo)致譜值失去意義00.511.52-1-0.500.51信 號 x(t)的 時 域 波 形時 間 t/s幅度 A0102030405000.10.20.30.40.5信 號 x(t)的 單 邊 頻 譜頻 率 f/Hz|Y(f)|9小波的基本概念什么是小波4時頻表示主要目的在于實現(xiàn)對非平穩(wěn)信號的分析，同樣的可以應(yīng)用于平穩(wěn)信號的分析10小波的基本概念什么

5、是小波4為什么選擇小波 小波提供了一種非平穩(wěn)信號的時間-尺度分析手段，不同于FT方法，與STFT方法比較具有更為明顯的優(yōu)勢11小波的基本概念什么是小波12小波的基本概念什么是小波13小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué)41807: Joseph FourierFT，只有頻率分辨率而沒有時間分辨率41909: Alfred Haar發(fā)現(xiàn)了Haar小波41945: GaborSTFT41980：MorletMorlet小波，并分別與20世紀70年代提出了小波變換的概念，20世紀80年代開發(fā)出了連續(xù)小波變換CWT（ continuous wavelet transform ）41986：Y.Meyer提出了第一

6、個正交小波Meyer小波41988： Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解和重構(gòu)算法）14小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué)41988： Inrid Daubechies作為小波的創(chuàng)始人，揭示了小波變換和濾波器組(filter banks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實4Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻4在信號處理領(lǐng)域中，自從Inrid Daubechies完善了小波變換的數(shù)學(xué)理論和Stephane Mallat構(gòu)造了小波分解和重構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個工程領(lǐng)域中得到了

7、廣泛的應(yīng)用，典型的如語音信號處理、醫(yī)學(xué)信號處理、圖像信息處理等15小波的基本類型多分辨分析4關(guān)于小波有兩種典型的概念：連續(xù)小波變換，離散小波變換4連續(xù)小波變換定義為4可見，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子a和伸縮因子b的函數(shù)RbabadtttxttxbaCWTf)()()(),(),(*,dtabtatxdtttxttxbaCWTfRRbaba)()()()()(),(),(21,16小波的基本類型多分辨分析傅立葉分解過程小波分解過程17小波的基本類型多分辨分析4伸縮因子對小波的作用02468-101sin(t)-a=102468-101sin(2t)-a=1/2幅度 A02468-101

8、sin(4t)-a=1/4時 間 t-10-50510-101morlet-a=1-10-50510-101morlet-a=1/2-10-50510-101morlet-a=1/418小波的基本類型多分辨分析4平移因子對小波的作用4平移因子使得小波能夠沿信號的時間軸實現(xiàn)遍歷分析，伸縮因子通過收縮和伸張小波，使得每次遍歷分析實現(xiàn)對不同頻率信號的逼近19小波的基本類型多分辨分析4連續(xù)小波變換實現(xiàn)過程首先選擇一個小波基函數(shù)，固定一個尺度因子，將它與信號的初始段進行比較 ；通過CWT的計算公式計算小波系數(shù)（反映了當前尺度下的小波與所對應(yīng)的信號段的相似程度）；改變平移因子，使小波沿時間軸位移，重復(fù)上述

9、兩個步驟完成一次分析；增加尺度因子，重復(fù)上述三個步驟進行第二次分析；循環(huán)執(zhí)行上述四個步驟，直到滿足分析要求為止。20小波的基本類型多分辨分析21小波的基本類型多分辨分析4小波逆變換 如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的dtdaatbaCWTfCtxba 02,1)(),(1)(dtdaaabtabaCWTfC22101)(),(1 22小波的基本類型多分辨分析4連續(xù)小波變換的性質(zhì)疊加性（線性）時移不變性尺度特性微分特性內(nèi)積定理能量守恒特性冗余性23小波的基本類型多分辨分析4離散小波變換DWT（ discrete wavelet transform，DWT ）定義 對尺

10、度參數(shù)按冪級數(shù)進行離散化處理，對時間進行均勻離散取值 （要求采樣率滿足尼奎斯特采樣定理）RmmnmdtnttxttxnmDWTx)2()(2)(),(),(2,24小波的基本類型多分辨分析4離散小波變換的可逆問題框架理論 DWT的可逆問題蘊含的是DWT的表達能夠完整的表達待分析信號的全部信息，這就需要數(shù)學(xué)上的框架理論作為支撐了，如果對于所有的待分析信號滿足框架條件，那么DWT就是可逆的RBAtxBttxtxAnmnm,)()(),()(22,2ZnnmnmtCtx)()(,25小波的基本類型多分辨分析4正交小波變換與多分辨分析 多分辨分析也稱為多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概念上的理論。它構(gòu)造了

11、一組正交基，使得尺度空間與小波空間相互正交。隨著尺度由大到小的變化，可在各尺度上由粗及精地觀察目標。這就是多分辨率分析的思想。在離散小波框架下，小波系數(shù)在時間-尺度空間域上仍然具有冗余性，在數(shù)值計算或數(shù)據(jù)壓縮等方面仍然希望這種冗余度盡可能的小。在小波變換發(fā)展過程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的構(gòu)造了不同形式的小波基函數(shù)的基礎(chǔ)上，是Meyer和Mallat將小波基函數(shù)的構(gòu)造納入到了一個統(tǒng)一的框架中，形成了多分辨分析理論。多分辨率分析理論不但將在那時之前的所有正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一了起來，而且為此后的小波基的構(gòu)造設(shè)定了框架。26小波的

12、基本類型多分辨分析4正交小波變換與多分辨分析 對于小波基函數(shù)為 ，如果函數(shù)族 構(gòu)成 內(nèi)的正交基，就稱小波為正交小波，在正交小波基礎(chǔ)上進行的小波變換稱為正交小波變換，只有滿足正交小波變換才可稱為多分辨分析，正交小波變換是完全沒有冗余的，非常適合做數(shù)據(jù)壓縮。 Zkjkttjjkj ,)()(/,222)(t)(2RL27小波的基本類型多分辨分析4典型的正交小波Haar小波00.51-1.5-1-0.500.511.5Haar小 波時 間 t幅度 A-10000100000.20.40.60.8Haar小 波 頻 譜頻 率 f/Hz幅度 A其他121210011)(ttth28小波的基本類型多分辨分

13、析4典型的正交小波Meyer小波其他3834343201432cos211232sin21)(22jjee-505-0.200.20.40.60.81尺度函數(shù)時間 t幅度 A-505-0.500.51小波函數(shù)時間 t幅度 A29小波的快速算法Mallat算法4在多分辨分析的討論中，可以看到正交小波變換可以等效為一組鏡像濾波的過程，即信號通過一個分解高通濾波器和分解低通濾波器，自然的高通濾波器輸出對應(yīng)的信號的高頻分量部分，稱為細節(jié)分量，低通濾波器輸出對應(yīng)了信號的相對較低的頻率分量部分，稱為近似分量。對應(yīng)的快速算法稱為Mallat算法30小波的快速算法Mallat算法4濾波分解算法帶來一個新的問題

14、，就是針對離散的數(shù)據(jù)序列，經(jīng)過濾波分解會得到多于原數(shù)據(jù)點數(shù)的數(shù)據(jù)序列。比如，原數(shù)據(jù)序列有1000個采樣點，經(jīng)過濾波分解后，會得到1000點的近似分量序列和1000點的細節(jié)分量序列，這樣就得到了2000個采樣點數(shù)據(jù)，在小波變換的Mallat算法實現(xiàn)中，可以利用降采樣的方法即在輸出的兩點中只取一個數(shù)據(jù)點，這樣產(chǎn)生兩個為原信號數(shù)據(jù)長度一半的序列，稱為簡單記為cA和cD，雖然近似分量和細節(jié)分量的數(shù)據(jù)長度僅為原信號序列的一半，但是卻完整的包含的原信號的信息內(nèi)容。 31小波的快速算法Mallat算法4Mallat算法的降采樣32小波的快速算法Mallat算法4小波分解樹33小波的快速算法Mallat算法4

15、到此我們已經(jīng)知道離散小波變換是怎么樣分析或者怎樣來分解一個信號，這個過程通常也稱為分解分析，那么自然想到另外一個對應(yīng)的問題就是如何將這些分解得到分量能夠整合到一起恢復(fù)原信號并且沒有任何的信息損失，這一過程就稱為小波重構(gòu)或者小波合成，實質(zhì)上就是逆離散小波變換（Inverse Discrete Wavelet Transform，簡稱：IDWT）。在離散小波變換或小波分解的過程中包含了濾波和降采樣，那么在小波重構(gòu)過程中需要進行過采樣和濾波。過采樣是通過在相鄰采樣點之間插入零值的來實現(xiàn)的，利用過采樣可以使得信號分量的長度增加為原來的兩倍，以達到和需要重構(gòu)信號一致的采樣數(shù)據(jù)長度。 34小波的快速算法M

16、allat算法35小波的快速算法Mallat算法4塔式分解和重構(gòu)示意圖36小波的快速算法Mallat算法4局部分量的重構(gòu) 在一些工程應(yīng)用中，只需要關(guān)心信號中的某個分量，此時對細節(jié)分量和近似分量的單獨重構(gòu)成為必要，通過將其他分量系數(shù)置零的方式，利用Mallat算法是非常容易的37小波包分解算法精細化處理4小波包分析可以看作是小波分解的一種推廣方法，利用小波包進行分析可以得到對信號更為精細的分析結(jié)果。通過將頻帶進行多層次劃分，對多分辨分析沒有細分的高頻分量部分進行進一步的分解，并根據(jù)被分析信號特征，通過自適應(yīng)的選擇相應(yīng)頻帶，達到與信號頻譜的匹配，實現(xiàn)精細化處理。小波包原子是一種被時間、尺度和頻率來

17、表征的函數(shù)波形，對于一個給定的正交小波函數(shù)，我們能夠在此基礎(chǔ)上生成一組基，這組基一般稱為小波包基。簡單的說，小波包就是一個函數(shù)族，可以由這組函數(shù)族構(gòu)造出L2(R)的標準正交基庫，從這組標準正交基庫中可以選擇出多組標準正交基，對于多分辨分析小波變換（正交小波變換）只是選擇了其中的一組基，從這個意義上講小波包就是小波變換的一種推廣。38小波包分解算法精細化處理4小波包分解樹39小波的工程應(yīng)用時頻分析與降噪4時間-尺度-小波系數(shù)圖 小波分解可以得到一組小波細節(jié)分量和近似分量系數(shù)，將時間-尺度-小波系數(shù)聯(lián)合表示，就得到了信號的時間-尺度分析結(jié)果，不過這里帶來兩個問題：第一小波的尺度是不連續(xù)的，這樣得到

18、的時間-尺度-小波系數(shù)表示解讀起來比較困難，雖然根據(jù)框架理論可以推測到冗余系數(shù)在時間-尺度平面上產(chǎn)生的額外的分布信息，但是這畢竟顯得不夠直觀；第二個問題就是，有時候想在時間-尺度時頻表示和時間-頻率時頻表示中進行比較分析，那么尺度和頻率之間應(yīng)該存在著一定的關(guān)系，這種關(guān)系是如何確立的 40小波的工程應(yīng)用時頻分析與降噪4尺度與頻率的關(guān)系 尺度和頻率之間存在一個倒數(shù)關(guān)系，這個倒數(shù)關(guān)系式和信號的采樣周期以及選擇的小波基函數(shù)的中心頻率有關(guān)，假設(shè)尺度因子為a，信號的采樣周期為，小波基函數(shù)的中心頻率為fc，那么和尺度因子a對應(yīng)的頻率fa可以用下面的式子來計算affca41小波的工程應(yīng)用時頻分析與降噪0123

19、-2-1012db2小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計周 期 :1.5; 中 心 頻 率 : 0.66667051015-2-1012db7小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計周 期 : 1.4444; 中 心 頻 率 : 0.692310246-2-10123coif1小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計周 期 : 1.25; 中 心 頻 率 : 0.8-505-1-0.500.511.5gaus4小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計周 期 : 2; 中 心 頻 率 : 0.542小波的工程應(yīng)用時頻分析與降噪-20-1001020-1-0.500.51shan0.5-1小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計實部-20-1001020-1-0.500.51虛部周 期 : 1.2903; 中 心 頻 率 : 0.775-505-1-0.500.51 cgau6小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計實部-505-1-0.500.51虛部周 期 : 1.6667; 中 心 頻 率 : 0.643小波的工程應(yīng)