2.1隨機變量2.2離散型隨機變量ppt課件

1、第二章 隨機變量 隨機變量及其分布函數(shù)隨機變量及其分布函數(shù) 離散型隨機變量離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布2.1.1隨機變量的概念隨機變量的概念 在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可用數(shù)在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可用數(shù)量來表示，這就產(chǎn)生了隨機變量的概念。量來表示，這就產(chǎn)生了隨機變量的概念。2.1 隨機變量及其分布函數(shù)隨機變量及其分布函數(shù) 一方面，有些試驗，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)一方面，有些試驗，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)( (試試驗結(jié)果就是一個數(shù)驗結(jié)果就是一個數(shù)) )； 另一方面，有些試驗，其結(jié)果另一方面，有些試驗，其結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，看起來與數(shù)值無關(guān)， 但可引進

2、一個變量來表但可引進一個變量來表示試驗的各種結(jié)果。示試驗的各種結(jié)果。 即試驗結(jié)果可以數(shù)值化。即試驗結(jié)果可以數(shù)值化。 試驗結(jié)果與數(shù)值有關(guān)的例子試驗結(jié)果與數(shù)值有關(guān)的例子4. 觀察一只燈泡的使用壽命；觀察一只燈泡的使用壽命；5.測量某零件尺寸時的測量誤差，測量某零件尺寸時的測量誤差，。1. 觀察擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)；觀察擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)；2. 連續(xù)射擊連續(xù)射擊, 直至命中時的射擊次數(shù)；直至命中時的射擊次數(shù)；3.某射手連續(xù)射擊了某射手連續(xù)射擊了30次次, 他擊中目標的次數(shù)；他擊中目標的次數(shù)； 試驗結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，但可引進一個試驗結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，但可引進一個 變量來表示試驗的各種結(jié)果的例

3、子變量來表示試驗的各種結(jié)果的例子在投籃試驗中，用在投籃試驗中，用0 表示投籃未中，表示投籃未中，1 表示罰表示罰籃命中，籃命中，3 表示三分線外遠投命中，表示三分線外遠投命中，2 表示三表示三分線內(nèi)投籃命中，則隨機試驗結(jié)果可數(shù)值化。分線內(nèi)投籃命中，則隨機試驗結(jié)果可數(shù)值化。 2. 在擲硬幣試驗中，用在擲硬幣試驗中，用1 表示帶國徽或人頭的一面表示帶國徽或人頭的一面朝上，朝上，0 表示另一面朝上，則隨機試驗的結(jié)果也可表示另一面朝上，則隨機試驗的結(jié)果也可數(shù)值化。數(shù)值化。這種隨機試驗結(jié)果與數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)這種隨機試驗結(jié)果與數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可理解為學(xué)上可理解為:.X)(X定義一個實值函數(shù)定義

4、一個實值函數(shù) X(), 將將 稱這種定義在樣本空間稱這種定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)上的實值單值函數(shù)X=X()為隨機變量為隨機變量.隨機變量隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的值隨機變量隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的值, 由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因因此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)(2)隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機變量是一個函數(shù)隨機變量是一個函數(shù) , 但它與普通的函數(shù)有但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別著本質(zhì)的差別 ,普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上

5、的,而而隨機變量是定義在樣本空間上的隨機變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元樣本空間的元素不一定是實數(shù)素不一定是實數(shù)).闡明闡明: :(1)(1)隨機變量與普通的函數(shù)不同隨機變量與普通的函數(shù)不同 有了隨機變量，隨機試驗中的各種事件有了隨機變量，隨機試驗中的各種事件都可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來。都可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來。 如：用如：用 X 表示單位時間內(nèi)某信號臺收到表示單位時間內(nèi)某信號臺收到呼叫的次數(shù)，那么呼叫的次數(shù)，那么 X 是一個隨機變量。是一個隨機變量。 事件 收到呼叫 X 1；沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X=0。(3)(3)隨機變量與隨機事件的關(guān)系隨機變量與隨機事件的關(guān)

6、系隨機變量的取值一般用小寫字母隨機變量的取值一般用小寫字母 x, y, z 等等表示。表示。 隨機變量通常用英文大寫字母隨機變量通常用英文大寫字母X,Y, Z 或希臘字母或希臘字母，等表示。等表示。隨機變量的分類隨機變量的分類離散型離散型離散型離散型 隨機變量所取的可能值是有限多個或隨機變量所取的可能值是有限多個或無限可列個無限可列個, , 叫做離散型隨機變量叫做離散型隨機變量. . 觀察擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)觀察擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù).隨機變量隨機變量 X 的可能值是的可能值是 :隨機變量隨機變量連續(xù)型連續(xù)型實例實例11, 2, 3, 4, 5, 6.非離散型非離散型其它其它實例實例2 若隨機變

7、量若隨機變量 X 記為記為 “連續(xù)射擊連續(xù)射擊, 直至命直至命中時的射擊次數(shù)中時的射擊次數(shù)”, 那么那么 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1實例實例3 設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了現(xiàn)該射手射了30次次,隨機變量隨機變量 X 記為記為“擊中目標擊中目標的次數(shù)的次數(shù)”, 那么那么 X 的所有可能取值的所有可能取值為為:.30, 3, 2, 1, 0實例實例2 隨機變量隨機變量 X 為為“測量某零件尺寸時的測量測量某零件尺寸時的測量誤差誤差”.那么那么 X 的取值范圍為的取值范圍為 (a, b) .實例實例1 隨機變量隨機變量 X

8、 為為“燈泡的壽命燈泡的壽命”.)., 0 連續(xù)型連續(xù)型 隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個或某些區(qū)間滿某個或某些區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.那么那么 X 的取值范圍為的取值范圍為 我們重點研究離散型和連續(xù)型隨機變量，我們重點研究離散型和連續(xù)型隨機變量，因它們都是隨機變量，自然會有許多相同或相因它們都是隨機變量，自然會有許多相同或相似之處；但因其取值方式不同，故又有其各自似之處；但因其取值方式不同，故又有其各自的特點。的特點。學(xué)習(xí)時要注意它們各自的特點及描述方法。學(xué)習(xí)時要注意它們各自的特點及描述方法。)(xXPxF稱為稱為X X的分布函數(shù)的分

9、布函數(shù)(1)F(x)是普通函數(shù)，定義域是普通函數(shù)，定義域0 xxX2.1.2 2.1.2 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)1.1.定義：定義：留意：留意：(,), 值域值域0,1.12213( ) P xXxP XxP Xx 21()()F xF x(2)分布函數(shù)的幾何意義分布函數(shù)的幾何意義設(shè)設(shè)X是一個隨機變量，是一個隨機變量， x 是任意實數(shù)，函數(shù)是任意實數(shù)，函數(shù)1141( ) P XxP Xx 11()F x 例例. 往一個半徑為往一個半徑為2米的圓盤上射擊，設(shè)擊中米的圓盤上射擊，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能

10、中靶，以面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示表示彈著點與圓心的距離彈著點與圓心的距離. 試求隨機變量試求隨機變量X的分的分布函數(shù)布函數(shù).解解:（1） 假設(shè)假設(shè) x 0, 那么那么 是不可能事件，于是是不可能事件，于是xX . 0)()(PxXPxF（2）X20,PXxk x 若若0 x 2,由題意，由題意，有有02x于于是是，時時)(xXPxF （3） 假設(shè)假設(shè) , 那么那么 是必然事件，于是是必然事件，于是xX 2x . 1)(xXPxF.40, 4/12xxXPk 即即得得2021,xPX 取取由由已已知知得得與與上上式式相相比比00 xXPXP .42x . 2, 1, 20,4, 0

11、, 0)(2xxxxxF0 1 2 31F(x)x綜上，綜上，X X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為2.2.分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)都有如下性質(zhì)：分布函數(shù)都有如下性質(zhì)：).()(1212xFxFxx 時，時，即當(dāng)即當(dāng)(1) F (x) 是一個單調(diào)不減函數(shù)是一個單調(diào)不減函數(shù) 0 1 2 31F(x)x201( )( )F x (3) ()lim( )0;( )lim( )1.xxFF xFF x 40( ) ()( ),F xF x 即即 F (x) F (x) 是右連續(xù)的是右連續(xù)的 反之反之, ,若某個實值函數(shù)具有上述性質(zhì)若某個實值函數(shù)具有上述性質(zhì), ,則它一定是某則它一定是某個隨機變量的

12、分布函數(shù)個隨機變量的分布函數(shù) 闡明：有的課本定義分布函數(shù)為闡明：有的課本定義分布函數(shù)為這時，分布函數(shù)左連續(xù)。這時，分布函數(shù)左連續(xù)。( )F xP Xx 設(shè)設(shè)X是一個離散型隨機變量，其可能取是一個離散型隨機變量，其可能取值為值為 x1, x2 , 。 為描述隨機變量為描述隨機變量 X ，我們不僅要知道其，我們不僅要知道其所有可能的取值，還應(yīng)知道取各值的概率。所有可能的取值，還應(yīng)知道取各值的概率。2.2 2.2 離散型隨機變量離散型隨機變量闡明闡明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2, 1,), 2 , 1(的分布律的分布律稱此為離散型隨機變量稱此為離散型隨機變量為

13、為的概率的概率即事件即事件取各個可能值的概率取各個可能值的概率所有可能取的值為所有可能取的值為設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量XkpxXPxXXkxXkkkk 定義定義2.2.1 離散型隨機變量分布律的定義及性質(zhì)離散型隨機變量分布律的定義及性質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷用這兩條性質(zhì)判斷一個數(shù)列是否是概一個數(shù)列是否是概率分布。率分布。（概率分布）（概率分布）離散型隨機變量的分布律也可表示為離散型隨機變量的分布律也可表示為 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或或解：依據(jù)概率分布的性質(zhì)解：依據(jù)概率分布的性質(zhì)欲使上述數(shù)列為概率分布，應(yīng)有欲使上述數(shù)列為概率分布，應(yīng)有 例1：設(shè)隨機變量 X 的

14、概率分布為為常數(shù)。 0 , , 2 , 1 , 0 ,!)(kkakXPk確定常數(shù)確定常數(shù) a 。 . 1 , 0kkXPkXP.ea從中解得從中解得. 1!0aekakk與與 0a這里用到了冪級數(shù)展開式這里用到了冪級數(shù)展開式. !0ekkk例例2 2：袋子中有依次標有：袋子中有依次標有-1-1，2 2，3 3的球的球1 1個、個、2 2個、個、1 1個，從中任取一球，個，從中任取一球，X X表示所取球的標號表示所取球的標號, ,求求X X的分布的分布律和分布函數(shù)，并求：律和分布函數(shù)，并求： Xpk24 -1 2 34141當(dāng)當(dāng)x-1 x0 是常數(shù)，是常數(shù)， 則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為

15、的泊松的泊松分布分布, 記作記作 X P() 。易見易見0. 1!, 2 , 1 , 0 , 0kkekkkXP, 0, 1, 2, .!kP Xkekk例例7：某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次：某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次數(shù)數(shù)X服從參數(shù)服從參數(shù) =3 的泊松分布。求：的泊松分布。求： (1). 一分鐘內(nèi)恰好收到一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率；次尋呼的概率； (2).一分鐘內(nèi)收到一分鐘內(nèi)收到2至至5次尋呼的概率。次尋呼的概率。.解解: (1). PX=3 = (33/3!)e-3 0.2240； (2). P2X5 = PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5 = (32/2

16、!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) e-3 0.7169. 歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的 。二項分布與泊松分布的關(guān)系二項分布與泊松分布的關(guān)系 定理定理1(1(泊松定理泊松定理): ): 對二項分布對二項分布 B(n,p), B(n,p), 當(dāng)當(dāng) n n充分大充分大, p, p又很小時又很小時, ,對任意固定的非負整數(shù)對任意固定的非負整數(shù) k k，有近似公，有近似公式式10,0.1.np通常1 =,0 1 2 (),.!kkn knppenp knkk 例例8

17、：某出租汽車公司共有出租車：某出租汽車公司共有出租車400輛，設(shè)每天每輛輛，設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02，求，求:一天內(nèi)沒有出租車一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。出現(xiàn)故障的概率。解解: 將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試驗驗 E。因為每輛車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān)。因為每輛車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān), 于是于是, 觀察觀察400輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做 400 次貝努利次貝努利試驗。設(shè)試驗。設(shè) X 表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租車數(shù)表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租車數(shù), 那么那么 X B(400, 0.02)。令令 = np = 4000.02 = 8 ，于是，于是, P一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障一天