...線性方程組的需要建立起來的,它在數(shù)學(xué)本身或其他科學(xué)分支

1、第1章 行列式 行列式理論是由于解線性方程組的需要建立起來的，它在數(shù)學(xué)本身或其他科學(xué)分支中有廣泛的應(yīng)用. 問題1.1 是階行列式展開式中的一項的條件是什么？若是階行列式展開式中的一項，它前面所帶的符號如何確定？ 答：因為階行列式展開式中的每一項都是行列式中位于不同行、不同列的個元素的乘積，所以當(dāng)且僅當(dāng)和都是的全排列時，是行列式展開式中的一項. 例如，令是的展開式中的項；而和均不是的展開式中的項. 確定行列式展開式中的項前面所帶符號的方法有三種. (1) 將給定項中的個元素按行標(biāo)的自然順序排列好后，算出此時個元素的列標(biāo)所組成的排列的逆序數(shù)，則該項所帶符號為. (2) 將給定項中的個元素按列標(biāo)的自

2、然順序排列好后，算出此時個元素的行標(biāo)所組成的排列的逆序數(shù)，則該項所帶符號為. (3) 計算，則該項所帶符號為. 例如：確定階行列式展開式中的項前所帶的符號. 解1 原項，此時列足標(biāo)組成的排列的逆序數(shù)，故該項所帶符號為，為“”號. 解2 原項，此時行足標(biāo)組成的排列的逆序數(shù)，故該項所帶符號為“”號.解3 因為，故該項所帶符號為“”號. 問題1.2 為什么當(dāng)時，階行列式?jīng)]有“對角線展開法則”？ 答：首先根據(jù)行列式的定義，階行列式的展開式是項的代數(shù)和，而按照2階、3階行列式展開的對角線法則那樣展開階行列式只得到項的代數(shù)和當(dāng)時，. 另外，在2階、3階行列式的對角線展開法則中，斜對角線(右上角到左下角)上

3、所有元素乘積這一項所帶符號并不總是負(fù)的. 例如，其中項前帶“”號；和在按“對角線展開法則”展開時不會出現(xiàn).因此，當(dāng)時，對階行列式不能按所謂的“對角線法則”展開. 問題1.3 計算行列式時，行列式定義所起的作用是什么？ 答：對于很多計算題，只要我們熟悉行列式的基本性質(zhì)和一些特殊行列式(如上、下三角形和對角形行列式)的計算公式，即使不知道(或忘記了)行列式的定義，照樣可以解決問題. 例1.3.1 計算. 解：先將的第行元素依次與第行交換，再將所得新行列式的第行與行交換，如此繼續(xù)下去，直至第行與第行交換，共交換了次. 因此. 事實上，行列式的基本性質(zhì)再加上對角形行列式的計算公式與行列式的定義是等價的

4、. 這樣看來，行列式的定義在解題時豈不是真的沒有用了？事實并非如此，有些問題還是需要利用行列式的定義才能快捷地解決. 例1.3.2 證明下面的階行列式非零，這里. 證：根據(jù)行列式的定義，在的展開式中，除去副對角線上元素的積為奇數(shù)外，其余各項都至少含有一個副對角線下方的元素作為因子，而副對角線下方的元素都是的方冪，為偶數(shù)，所以的值必為奇數(shù). 因此. 例1.3.3 在一個階行列式中，等于零的元素如果多于個，那么這個階行列式必為零. 證：因為.由階行列式的定義知行列式的值是項代數(shù)和，而其中每一項都是個元素的乘積，這個元素又需取自不同行不同列. 又階行列式中一共有個元素，如果等于零的元素比還多，那么其

5、中不等于零的元素一定比還少，也就是說中最多有個元素不等于零，所以的項中每一項的個元素中必有零元素出現(xiàn). 即項的每一項都是零，故. 例1.3.4 用行列式的定義證明：.證：考慮展開式中的一般乘積項，其中分別取自第3、4、5行，它們又不能取自相同的列，故這3個數(shù)中最多有2個分別取自第1列和第2列，因而至少有1個取自后3列，從而至少有1個數(shù)為零. 問題1.4 計算階行列式的基本思路和方法有哪些？答：計算階行列式的基本思路是根據(jù)觀察到的行列式的特點適當(dāng)化簡,具體方法主要有三角化法,降階法,遞推法,數(shù)學(xué)歸納法,輔助函數(shù)行列式法等. 1三角化法 例1.4.1 計算：. 解：將第列分別乘以后都加到第1列得.

6、 例1.4.2 計算行列式. 解：先將各位置上的設(shè)法盡可能多地化為零，第行乘以后分別加到第行，得 (屬于形式). (1) 當(dāng)時，將第列分別乘以后都加到第1列得 . (2) 當(dāng)時，由多項式函數(shù)的連續(xù)性知也有. 注：此例題的結(jié)論很重要，很多習(xí)題或考題中的行列式都是其特例. 1°當(dāng)時， ，這是一個需要記住的結(jié)果(公式). 2°當(dāng)時， . 3°當(dāng)時，. 4°當(dāng)時， . 當(dāng)然，對于1°、2°、3°和4°的行列式不一定要用例1.4.4中的方法計算，因為它們比例1.4.4中的行列式特殊(簡單)，可以有更簡單的方法. 3降階法和遞

7、推法 該法是將高階行列式的計算轉(zhuǎn)化為較低階的行列式的計算. 例如，按某一行(列)展開，把給定的階行列式用同樣形式的階(以及更低階)行列式表達出來，得到遞推關(guān)系式，再由遞推關(guān)系式求出. 例1.4.3 計算行列式. 解：將按第1行展開得 . 例1.4.4 計算行列式 解：將的第1列“拆項”得 .其中 ， 故得遞推公式 . 同理，將按另一方式將1列“拆項”，或由中與的對稱性可得另一遞推公式 . (1) 當(dāng)時，由得 .所以 . (2) 當(dāng)時，由式得 ，而 ，所以 . 綜上可得 3數(shù)學(xué)歸納法 對于給出結(jié)果的證明問題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法；或?qū)τ诮o定的計算問題，先通過特例觀察“猜”出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法進行嚴(yán)格證明. 例1.4.5 證明： . 證：當(dāng)時，； 當(dāng)時，所以時結(jié)論都成立. 設(shè)且假設(shè)結(jié)論對階數(shù)的行列式都成立. 將按最后一行展開得 因此結(jié)論