雙曲線的標準方程推導(dǎo)-解析式求解-教師版

1、 年級:高二 學(xué)科：數(shù)學(xué) 教師：王鵬 上課日期：2月5日 直利教育2015年寒假 名師培優(yōu)一對一教案第2講雙曲線的定義及標準方程1、概念：如果把橢圓定義中的和改成差: 或,即: ，其中動點的軌跡會發(fā)生什么變化呢？ 若，則軌跡是線段的延長線；若，則軌跡是線段的延長線；若，則無軌跡；在條件下軌跡是存在的，我們把這時得到的軌跡叫做雙曲線. 說明通過對橢圓定義的類比，啟發(fā)學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn)與的大小關(guān)系與動點的軌跡的變化規(guī)律. （1）當時，雙曲線 （2）當時，射線 （3）當時，無軌跡2、概念形成n 雙曲線定義定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點

2、，兩個焦點間的距離叫做焦距.n 雙曲線定義中的注意點在概念的理解中要注意：（1）是平面內(nèi)到兩定點的距離之差的絕對值是一個非零正常數(shù)，且這個常數(shù)小于 .（2）當時，動點的軌跡是與對應(yīng)的雙曲線的一支， 時為雙曲線的另一支.3、雙曲線的標準方程的推導(dǎo)可以仿照求橢圓的標準方程的做法，求雙曲線的標準方程如圖8-12建系，設(shè)，取過點的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標系，則，設(shè)是所求軌跡上的點.依已知條件有， 移項得：， 平方得： （*） 再平方得：，即，令則，即 綜上：焦點在軸上雙曲線的標準方程是，其中，焦點.說明對于標準方程的推導(dǎo)可以啟發(fā)學(xué)生仿照求橢圓的標準方程的做法來完成，在建立直角坐標系之前

3、，可以讓學(xué)生初步推斷雙曲線所具有的對稱性，使建系更合理.同樣如果雙曲線的焦點在y軸上(圖813)，那么，此時的雙曲線的標準方程又是怎樣的呢？焦點是F1(0，c)、F2(0，c)時，a、b的意義同上，那么只要將方程的x、y互換，就可以得到焦點在軸上雙曲線的標準方程是，其中，焦點.說明雙曲線的標準方程是指雙曲線在標準狀態(tài)下的方程，這里的標準狀態(tài)有兩層含義：（1）雙曲線的兩個焦點均在坐標軸上，（2）這兩個焦點的中心必須與原點重合.從這一方面理解，雙曲線的標準方程就是在特殊的直角坐標系下的方程.定義及性質(zhì)對比名 稱橢 圓雙 曲 線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點的距離的和為常數(shù)2（2）的動點的軌跡叫橢圓.

4、即當22時，軌跡是橢圓，當2=2時，軌跡是一條線段當22時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)2（）的動點的軌跡叫雙曲線.即當22時，軌跡是雙曲線當2=2時，軌跡是兩條射線當22時，軌跡不存在標準方 程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標軸上焦點在軸上時： 焦點在軸上時：注：是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置常數(shù)的關(guān) 系 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)），最大，可以（符合勾股定理的結(jié)構(gòu)）最大，可以精題精講【例1】 判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三量的值 （）分析：雙曲線標準方程的格式：平方差，項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上，項的分母是；項的系數(shù)

5、是正的，那么焦點在軸上，項的分母是解：是雙曲線， ； 是雙曲線， ；是雙曲線， ； 是雙曲線， 【例2】已知雙曲線兩個焦點的坐標為，雙曲線上一點P到的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線標準方程 解：因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)它的標準方程為(,) 所求雙曲線標準方程為 【例3】 已知雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，且點，在此雙曲線上，求雙曲線的標準方程分析：由于已知焦點在軸上，中心在原點，所以雙曲線的標準方程可用設(shè)出來，進行求解 本題是用待定系數(shù)法來解的，得到的關(guān)于待定系數(shù)的一個分式方程組，并且分母的次數(shù)是2，解這種方程組時利用換元法可將它化為二元二次方程組；也可將的倒數(shù)作為未知數(shù)，直接看作二

6、元一次方程組 解：因為雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，所以設(shè)所求雙曲線的標準方程為 （）則有 ，即解關(guān)于的二元一次方程組，得 所以，所求雙曲線的標準方程為 【例4】 點A位于雙曲線上，是它的兩個焦點，求的重心G的軌跡方程 分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個頂點的坐標，利用相關(guān)點法進行求解 注意限制條件 解：設(shè)的重心G的坐標為，則點A的坐標為.因為點A位于雙曲線上，從而有，即所以，的重心G的軌跡方程為 【例5】 已知的底邊BC長為12，且底邊固定，頂點A是動點，使，求點A的軌跡分析：首先建立坐標系，由于點A的運動規(guī)律不易用坐標表示，注意條件的運用，可利用正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意

7、有關(guān)限制條件解：以底邊BC 為軸，底邊BC的中點為原點建立坐標系，這時，由得,即 所以，點A的軌跡是以為焦點，2=6的雙曲線的左支 其方程為：點評：求軌跡方程的過程中，有一個重要的步驟就是找出(或聯(lián)想到)軌跡上的動點所滿足的幾何條件，列方程就是根據(jù)這些條件確定的，由于軌跡問題比較普遍，題型多樣，有些軌跡上的動點滿足的幾何條件可能比較隱蔽和復(fù)雜解決它需要突出形數(shù)結(jié)合的思考方法，運用邏輯推理，結(jié)合平面幾何的基本知識，分析、歸納，這里安排本例就是針對以上情況來進行訓(xùn)練的 【例6】求下列動圓圓心M的軌跡方程:(1)與C:(x+2)2+y2=2內(nèi)切，且過點A（2，0）（2）與C1：x2+(y-1)2=1

8、和C2:x2+(y+1)2=4都外切.（3）與C1:(x+3)2+y2=9外切，且與C2:(x-3)2+y2=1內(nèi)切.分析：這是圓與圓相切的問題，解題時要抓住關(guān)鍵點，即圓心與切點和關(guān)鍵線段，即半徑與圓心距離.如果相切的C1、C2的半徑為r1、r2且r1r2，則當它們外切時，|O1O2|=r1+r2;當它們內(nèi)切時，|O1O2|=r1-r2.解題中要注意靈活運用雙曲線的定義求出軌跡方程.解：設(shè)動圓M的半徑為r(1)C1與M內(nèi)切，點A在C外|MC|=r-,|MA|=r,|MA|-|MC|=點M的軌跡是以C、A為焦點的雙曲線的左支，且有：a=,c=2,b2=c2-a2=雙曲線方程為2x2-=1(x-)

9、(2)M與C1、C2都外切|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,|MC2|-|MC1|=1點M的軌跡是以C2、C1為焦點的雙曲線的上支，且有：a=,c=1,b2=c2-a2=所求的雙曲線方程為：4y2-=1(y)(3)M與C1外切，且與C2內(nèi)切|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4點M的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的右支，且有：a=2,c=3,b2=c2-a2=5所求雙曲線方程為：(x2)【例7】已知雙曲線的右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上的左支上且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大小.分析：一般地，求一個角的大小，通常要解這個角所在的三角形.解

10、：點P在雙曲線的左支上|PF1|-|PF2|=6|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36|PF1|2+|PF2|2=100|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100F1PF2=90°評述：（1）巧妙地將雙曲線的定義應(yīng)用于解題當中，使問題得以簡單化.（2）題目的“點P在雙曲線的左支上”這個條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為“點P在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請讀者試探索.【例8】已知F1、F2是雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足F1PF2=90°，求F1PF2的面積.分析：利用雙曲線的定義及F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面積.解：P

11、為雙曲線上的一個點且F1、F2為焦點.|PF1|-|PF2|=2a=4 |F1F2|=2c=2 F1PF2=90°在RtPF1F2中 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20（|PF1|-|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=1620-2|PF1|PF2|=16|PF1|·|PF2|=2S|PF1|·|PF2|=1由此題可歸納出SF1PF2=b2cot評述：雙曲線定義的應(yīng)用在解題中起了關(guān)鍵性的作用.綜合發(fā)展：1.已知點F1（0，-13）、F2（0，13），動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26，則動點P的軌跡方程為（ ）A.

12、y=0 B.y=0(x-13或x13) C.x=0(|y|13) D.以上都不對【解析】|PF1|-|PF2|=|F1F2|，P點的軌跡為分別以F1、F2為端點的兩條射線.【答案】C2.在方程mx2my2=n中，若mn0，則方程的曲線是（ ）A.焦點在x軸上的橢圓B.焦點在x軸上的雙曲線C.焦點在y軸上的橢圓D.焦點在y軸上的雙曲線【解析】 把方程mx2my2=n寫成標準方程=1mn0,0,0.方程表示焦點在y軸上的雙曲線.【答案】 D3.已知點P（x，y）的坐標滿足=±4，則動點P的軌跡是（ ）A.橢圓 B.雙曲線 C.兩條射線 D.以上都不對【解析】點（1，1）與（-3，-3）的

13、距離為4>4，P的軌跡是雙曲線.【答案】B4.已知雙曲線的方程為=1,點A、B在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F2，|AB|=m,F1為另一焦點，則ABF1的周長為（ ）A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m【解析】 A、B在雙曲線的右支上，|BF1|BF2|=2a,|AF1|AF2|=2a,|BF1|+|AF1|(|BF2|+|AF2|)=4a|BF1|+|AF1|=4a+mABF1的周長為4a+m+m=4a+2m.【答案】 B5.已知雙曲線的焦距為26，=,則雙曲線的標準方程是（ ）A.=1B.=1C. =1D.=1或=1【解析】 2c=26,=,c13，a

14、225.b2=13225=144.雙曲線的標準方程為=1或=1.【答案】 D6.F1、F2為雙曲線y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且F1PF2=90°,則F1PF2的面積是（ ）A.2B.4C.8D.16【解析】 雙曲線y2=1的兩個焦點是F1(0，)、F2(0，)，F(xiàn)1PF2=90°,PF12+PF22=F1F22.即PF12+PF22=20 PF1PF2=±2，PF122PF2·PF1+PF22=4 得2PF1·PF2=16，=PF1·PF2=4.【答案】 B7.雙曲線的焦點在y軸上，且它的一個焦點在直線5x2y+20=0上，

15、兩焦點關(guān)于原點對稱，則此雙曲線的方程是（ ）A.=1B.=1C.=1D.=1【解析】 在方程5x2y+20=0中，令x=0得：y=10，雙曲線的一個焦點在直線5x2y+20=0上又在y軸上，且兩焦點關(guān)于原點對稱，c=10,a=6,b2=c2a2=10036=64.雙曲線的方程為=1，即=1.【答案】 D8.已知ABC中，B、C是兩個定點，并且sinB-sinC=sinA，則頂點A的軌跡方程是（ ）A.雙曲線 B.橢圓 C.雙曲線的一部分 D.橢圓的一部分【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=|BC|.B、C為定點，|BC|為常數(shù).點A的軌跡是雙曲線的一部分.【答案】C9.雙曲線2x2y2=k

16、的焦距是6，求k的值.【解】 把雙曲線的方程寫成標準形式，=1.當k0時，a2=,b2=k，由題知+k=9即k=6.當k0時，a2=k,b2=,k=9即k=6綜上所述k=±6為所求.10.過雙曲線=1的一個焦點作x軸的垂線，求垂線與雙曲線的交點到兩焦點的距離.【解】 雙曲線方程為=1c=13,于是焦點F1（13，0）、F2（13，0），設(shè)過點F1的垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(13,y)(y>0).,y=,即|AF1|=又|AF2|AF1|=2a=24,|AF2|=24+|AF1|=24+=故垂線與雙曲線的交點到兩焦點的距離為或.11.一雙曲線中心為原點，對稱軸為坐標軸，且過

17、點A（-2，-3）、（7，6），求雙曲線的方程.【解】當雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線的方程為mx2-ny2=1(m>0,n>0)，則由題知解之得雙曲線的方程為=1.當雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線的方程為py2-qx2=1(p>0,q>0)，則此方程組的解使p、q都為負值，故應(yīng)舍去.綜上所述，所求雙曲線的方程為=1.12.已知曲線C：x2y21及直線l：y=kx1.(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若l與C交于A、B兩點，O是坐標原點，且AOB的面積為，求實數(shù)k的值.【解】 (1)由消y，得(1k2)x22kx20由得k的取值范圍為（，1）

18、（1，1）（1，）（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得x1x2，x1x2又l過點D(0，1)OABOADOBDx1x2x1x2（x1x2）2（2）2即（）2k0或k=±.13.已知雙曲線=1，P為雙曲線上一點，F(xiàn)1、F2是雙曲線的兩個焦點，并且F1PF2=60°，求F1PF2的面積.【解】|F1F2|2=4c2=4×(24+16)=160.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=160.|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=160. 又|PF1|-|PF2|=±2，|PF1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=96. -得|PF1|·|PF2|=64.=|PF1|·|PF2|·sin60°=×64×=16.【點評】若本題是填空題或選擇題時，則用解法二：=b2cot=16×cot=16.14.A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B的正東，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P為敵炮陣地.某時刻A發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P地遠，因此4秒后，B、C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號（該項信號的傳播速度為每秒1 km）.A若炮擊P地，求炮擊的方位角.【解】以A