函數(shù)的單調(diào)性教案

1、.適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高一適用區(qū)域蘇教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長分鐘2課時(shí)知識(shí)點(diǎn)單調(diào)性的概念、單調(diào)性的判斷證明方法、單調(diào)性的應(yīng)用教學(xué)目的使學(xué)生掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，浸透數(shù)形結(jié)合的思想方法，進(jìn)步學(xué)生的推理論證才能教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過程一、導(dǎo)入函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在理解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法根據(jù)對(duì)于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：1要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)

2、的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生是比較困難的；2單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證才能是比較薄弱的二、知識(shí)講解考點(diǎn)1 單調(diào)性的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镮.假如對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有fx1<fx2，那么就說函數(shù)fx在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有fx1>fx2 ，那么就說函數(shù)fx在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描繪自左向右看圖象逐漸上升自左向右看圖象逐漸下降考點(diǎn)2 單調(diào)區(qū)間的定義假設(shè)函數(shù)yfx在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)yfx在這一區(qū)間上具有嚴(yán)

3、格的單調(diào)性，區(qū)間D叫做yfx的單調(diào)區(qū)間1. 增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镮，假如對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有fx1<fx2，那么就說fx在區(qū)間D上是增函數(shù)increasingfunction. 仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2. 假如函數(shù)fx在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說fx在這一區(qū)間上具有嚴(yán)格的單調(diào)性，區(qū)間D叫fx的單調(diào)區(qū)間. 在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的如右圖1，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的如右圖2. 由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢(shì)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.3. 判斷單調(diào)性的步驟：設(shè)給

4、定區(qū)間，且；計(jì)算判斷符號(hào)下結(jié)論.三 、例題精析類型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷例題1判斷函數(shù) a>0在0，上的單調(diào)性【解析】 1設(shè)x1，x2是任意兩個(gè)正數(shù)，且0<x1<x2，那么fx1fx2當(dāng)0<x1<x2時(shí)，0<x1x2<a，又x1x2<0，所以fx1fx2>0，即fx1>fx2，所以函數(shù)fx在0，上是減函數(shù)；當(dāng)x1<x2時(shí)，x1x2>a，又x1x2<0，所以fx1fx2<0，即fx1<fx2，所以函數(shù)fx在，上是增函數(shù)綜上可知，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)【總結(jié)與反思】歸納解題步驟：引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)

5、性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論類型二 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法例題1設(shè)函數(shù)yfx在，內(nèi)有定義對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)，取函數(shù)fx2|x|.當(dāng)k時(shí)，函數(shù)fkx的單調(diào)遞增區(qū)間為 A，0B0，C，1D1，【解析】C 由fx，得1<x<1.由fx，得x1或x1.所以故的單調(diào)遞增區(qū)間為，1【總結(jié)與反思】 1一般地，我們?cè)诮鈺r(shí)，假設(shè)正面情形較為復(fù)雜，我們就可以先考慮其反面，再利用其補(bǔ)集，求得其解，這就是“補(bǔ)集思想2解決含參數(shù)問題的集合運(yùn)算，首先要理清題目要求，看清集合間存在的互相關(guān)系，注意分類討論思想的應(yīng)用?？占鳛橐粋€(gè)特殊集合與非空集合間的關(guān)系，在解題中漏掉它極易導(dǎo)致錯(cuò)解。類型三 函數(shù)單

6、調(diào)性的應(yīng)用例題11假設(shè)fx為R上的增函數(shù)，那么滿足f2m<fm2的實(shí)數(shù)m的取值范圍是_2假設(shè)函數(shù)fx|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，那么a_.【解析】1fx在R上為增函數(shù)，2m<m2.m2m2>0.m>1或m<2.2由可得函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為故，解得.【總結(jié)與反思】 1判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系2兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析四 、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)1. 函數(shù)是上的增函數(shù)

7、，且，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 2. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_.3. 函數(shù)為R上的單調(diào)函數(shù)，假設(shè)，那么 .答案與解析1.【答案】【解析】省略2.【答案】和【解析】省略3.【答案】-4和1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以自變量和函數(shù)值是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故由得，即或鞏固1.設(shè)函數(shù)是上的減函數(shù)，假設(shè)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_2. 函數(shù)是上的增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_.3. 畫出函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案與解析1.【答案】【解析】由且fx是R上的減函數(shù)得，.2.【答案】【解析】，得3.【答案】同解析【解析】函數(shù)圖象如下圖函數(shù)在，1，0,1上是增函數(shù)，函數(shù)在1,0，1，上是減函數(shù)函數(shù)yx22

8、|x|3的單調(diào)增區(qū)間是，1和0,1，單調(diào)減區(qū)間是1,0和1，拔高1. 在上是增函數(shù)，且，求證：在上也是增函數(shù)2. 定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)總有，且當(dāng)時(shí)，.1試求的值；2判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論答案與解析1.【答案】同解析【解析】證明 設(shè)a<x1<x2<b，gx在a，b上是增函數(shù)，gx1<gx2，且a<gx1<gx2<b，又fx在a，b上是增函數(shù)，fgx1<fgx2，fgx在a，b上是增函數(shù)2.【答案】同解析【解析】1在fmnfm·fn中，令m1，n0，得f1f1·f0因?yàn)閒10，所以f01.2函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減任取

9、x1，x2R，且設(shè)x1<x2.在條件fmnfm·fn中，假設(shè)取mnx2，mx1，那么條件可化為fx2fx1·fx2x1，由于x2x1>0，所以0<fx2x1<1.在fmnfm·fn中，令mx，nx，那么得fx·fx1.當(dāng)x>0時(shí)，0<fx<1，所以fx>1>0，又f01，所以對(duì)于任意的x1R均有fx1>0.所以fx2fx1fx1fx2x11<0，即fx2<fx1所以函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減五 、課堂小結(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，即：1取值：即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且

10、x1<x2.2作差：即fx2 fx1或fx1-fx2，并通過通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形。3定號(hào)：根據(jù)給定的區(qū)間和x2- x1符號(hào)，確定差fx2fx1或fx1-fx2的符號(hào)。當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)展分類討論。4判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論。 六 、課后作業(yè)基礎(chǔ)1. 在區(qū)間上單調(diào)，且，那么方程在區(qū)間上_填序號(hào)至少有一個(gè)根；至多有一個(gè)根；無實(shí)根；必有唯一的實(shí)根2. 函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)_函數(shù).填“增或“減3. 以下命題中，正確的有_.寫出所有正確命題的序號(hào)假設(shè)函數(shù)在上均為增函數(shù)，那么函數(shù)也為上的增函數(shù)；假設(shè)函數(shù)在上均為增函數(shù)，那么函數(shù)也為上的增函數(shù)；假設(shè)函數(shù)在上均為增函

11、數(shù)，那么函數(shù)也為上的增函數(shù)；假設(shè)函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，那么函數(shù)在上也為增函數(shù).答案與解析1.【答案】【解析】fx在a，b上單調(diào)，且fa·fb<0，當(dāng)fx在a，b上單調(diào)遞增，那么fa<0，fb>0，當(dāng)fx在a，b上單調(diào)遞減，那么fa>0，fb<0，故fx在區(qū)間a，b上必有x0使fx00且x0是唯一的2.【答案】增【解析】二次函數(shù)開口方向向下，對(duì)稱軸為，所以在區(qū)間上是增函數(shù) 3.【答案】【解析】由函數(shù)單調(diào)性的定義可知正確，錯(cuò)誤鞏固1. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_2. 函數(shù)fx對(duì)任意的m、nR，都有fmnfmfn1，并且x>0時(shí)，恒有fx>1.1求

12、證：fx在R上是增函數(shù)；2假設(shè)f34，解不等式fa2a5<2.答案與解析1.【答案】，3【解析】該函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，函數(shù)fxx22x3的對(duì)稱軸為x1，由函數(shù)的單調(diào)性可知該函數(shù)在區(qū)間，3上是減函數(shù)2.【答案】同解析【解析】1證明 設(shè)x1，x2R，且x1<x2，x2x1>0，當(dāng)x>0時(shí)，fx>1，fx2x1>1.fx2fx2x1x1fx2x1fx11，fx2fx1fx2x11>0fx1<fx2，fx在R上為增函數(shù)2解 m，nR，不妨設(shè)mn1，f11f1f11f22f11，f34f214f2f1143f124，f12，fa2a5<2f1，10

13、分fx在R上為增函數(shù)，a2a5<13<a<2，即a3,2拔高1. 函數(shù)fx對(duì)于任意a，bR,總有fa+b= fa+fb-1，并且當(dāng)x0時(shí)，fx11求證：fx在R上是增函數(shù)；2假設(shè)f4=5，解不等式；3假設(shè)關(guān)于的不等式恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍2. 函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，對(duì)任意的x，y0，都有，且.1求的值；2解不等式.答案與解析1.【答案】同解析【解析】1設(shè)x1,x2R，且x1x2，那么x2-x1>0，fx2-x11 ，fx2-fx1=fx2-x1+x1-fx1=fx2-x1+fx1-1-fx1=fx2-x1-10,fx1-fx20，即fx1fx2fx在R上是增函數(shù).2f4=f2+2=f2+f2-1=5,f2=3,不等式即為 又fx在R上是增函數(shù)，3m2-m