韶關(guān)學(xué)院第一屆數(shù)學(xué)建模競賽題(本)

1、韶關(guān)學(xué)院第一屆數(shù)學(xué)建模競賽題( 本)參考答案A 題水產(chǎn)的養(yǎng)殖與捕撈一、 模型假設(shè)、養(yǎng)殖場不與其它水域發(fā)生關(guān)系，是一個(gè)獨(dú)立的生態(tài)群體；、蝦群是一個(gè)獨(dú)立的種群，不與其它生物發(fā)生競爭；或者雖有競爭，但其影響限于蝦的自然死亡率之內(nèi)；3、蝦的捕撈采用固定努力量捕撈，每月的捕撈強(qiáng)度系數(shù)E 是常量；4、蝦的銷售不成問題，即打撈的蝦都能賣出，且價(jià)格不變. 銷售成本費(fèi)用忽略不計(jì)；、在無捕撈和自然死亡的情況下，養(yǎng)殖場蝦量x(t) 的增長速度與月養(yǎng)殖費(fèi)y(t)成正比 . 其比例系數(shù)是x(t) 的線性減函數(shù)：P(x(t)=A Bx(t).二、基本模型1、自然死亡規(guī)律：dx(t)dt= x(t)2、捕撈模型 ：dx(t

2、 )= Ex(t)dt3、由假使 5 知： P(x(t)=A Bx(t) ，又由題設(shè)條件：當(dāng)x(t)=N 時(shí)， P(x(t)=0 ；當(dāng) x(t)=0時(shí),P(x(t)=.解得 : A=,B=. 從而 P(x(t)=x(t ).(1NN4、在捕撈和自然死亡的情況下,養(yǎng)殖場蝦量隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型為：dx(t)(1x(t )=)y(t) ( +E)x(t)dtN5、關(guān)于蝦的平均價(jià)格設(shè)蝦的價(jià)格是一隨機(jī)變量,由題設(shè)知：的取值為 5、 7、10. 其出現(xiàn)的概率分別為：P(=5)=0.2, P(=7)=0.5, P(=10)=0.3 ， 則的數(shù)學(xué)期望 (平均值 )為：E=50.2+70.5+100.3=7.

3、5. 即蝦平均每斤的批發(fā)價(jià)格為7.5 元 . 記為 p三 .關(guān)于每月蝦量相等的最大利潤捕撈策略1、每月蝦量相等的養(yǎng)殖場蝦量dx(t )=0.每月的蝦量相等dt由基本模型4 知： dx(t ) =0(1 x(t) )y(t) ( +E)x(t)=0.dtdx(t)Nx又由題設(shè)條件 :： y(t)=ax(t).=0得a(1)x ( +E)x=0.dtN第一屆校內(nèi)數(shù)模競賽題（本）解答第1頁共6頁aE，x 2=0 (舍去).x 1 =Na、數(shù)學(xué)模型（一）每月利潤價(jià)格捕撈量成本月養(yǎng)殖費(fèi).每月蝦量相等的最大利潤捕撈模型為：max R(E)( p) Ex(t)ax(t ).s.t .x(t)NaE , Ea

4、.a、模型的求解R( E)( pEEa) NaEadR) NaEaE pEdE( paNadR令0，得駐點(diǎn)為dEE01 (a)a.22( p)由實(shí)際意義知：E 0 是最大值點(diǎn) .、結(jié)果p7.5,0.1, a0.2,0.05,1, N 104.捕撈強(qiáng)度為 E00.0885(1/ 月).每月養(yǎng)殖場最大蝦量aE03075(斤）.0Na最大月利潤 R( E 0 ）1398.82(元 ) .四 . 承包五年捕撈強(qiáng)度E=0.08(1/ 月) 的養(yǎng)殖策略及開始捕撈時(shí)間1. 此時(shí)的數(shù)學(xué)模型 ( 二 ) 為 :maxR(a)60(pE- E-a)X(t)dt0s.t.dxa(1 X (t) )X(t) ( +E

5、)X(t)dtN2. 上述微分方程的解為第一屆校內(nèi)數(shù)模競賽題（本）解答第2頁共6頁x(t) x0 N (aE)ax0 ( aN NENax0 )e ( a E ) t3. 求解方法將上述 x(t)代入目標(biāo)函數(shù) R(a) 中，并利用積分公式：60dt1 ln C1C2e60 C3ln(C1 C2 )0C3tC1C2eC1C3e60 C3dR(a)0對(duì) R(a) 的解析式關(guān)于a 求導(dǎo)，并令da，再確定 R(a) 的最值 . （求解過程用Maple 軟件進(jìn)行） .4. 結(jié)果P=7.5 ,=0.1 ,=0.05 ,=1, N=104, E=0.08得 a 0.3006239887 （元 / 月 . 斤

6、）養(yǎng)殖場蝦量水平為5313.91 （斤） ;5 年的最大利潤為82398.93829 （元） .5. 當(dāng) x(0)=10 3 時(shí)，獲利最大的開始捕撈時(shí)間x (t)=103 N( a -)a + (aN - N - 103a)e- ( a- )t103將N=104,=1, a=0.2774,=0.05, x(t)=5313.19代入上式，解得t 11.3677 (月 )341（天）即當(dāng)初始蝦量為103 斤時(shí)，獲利最大的開始捕撈的月份為11.4 月.五 承包 5 年捕撈強(qiáng)度 E=0.1 (1/ 月)的一般養(yǎng)殖策略1. 數(shù)學(xué)模型（三）60maxR(y(t)=0.74x(t)-y(t)dt0dx(t

7、)x(t)s.t.dt=(1104 )y(t) 0.15x(t)2. 用變分法求解上述泛函極值：x(t )令 H(t, x, y)=0.74x (t) y (t) + u (t)(1 4 ) y (t) 0.15 x (t)10則由歐拉方程得第一屆校內(nèi)數(shù)模競賽題（本）解答第3頁共6頁du(t)HdtxH0ydx(t)(1 - x(t) )y(t) - 0.15x(t)dt104解得 x (t)5497.75, y (t)1831.67故當(dāng)某人承包養(yǎng)殖場5 年 , 每月按強(qiáng)度 E=0.1(1/月 ) 捕撈時(shí) , 每月投入 1831.67元的養(yǎng)殖費(fèi),5年的總利潤將最大 .B 題 產(chǎn)品的零件安裝設(shè)模

8、型假設(shè) :所有零件安裝都由熟練工人進(jìn)行, 且安裝過程中不發(fā)生意外.說明 : 本題中有關(guān)的問題, 題目己作了明確的假設(shè), 以上假設(shè)不是主要的.一 .問題一.1. 安裝次序?qū)?t ,t , t 15 按從小到大排序?yàn)?:t 3 ,t4 ,t 12 ,t 7 ,t 13 ,t 1 ,t8 ,t 6 ,t 5 ,t 9 ,t 10 ,t 14 ,t 15 ,t 11,t 2 .得到其下標(biāo)的一個(gè)排列0=(3,4,12,7,13,1,8,6,5,9,10,14,15,11,2)各零件安裝完的時(shí)間（包括等待安裝時(shí)間）之和最少的安裝次序?yàn)?A3-A 4-A 12-A 7-A 13-A 1 -A 8-A 6-A

9、 5-A9- A 10- A 14- A 15-A11-A 2其中 A1 與 A8 可以交換次序 .安裝最少時(shí)間為：S 0 =15 t3 +14 t 4 +13 t12 +12 t 7 +11 t 13 +10 t 1 +9 t 8 +8 t 6+7 t5 +6 t 9 +5 t 10 +4 t 14 +3t 15 +2 t11 + t 22. 最優(yōu)性當(dāng)證明對(duì)于零件的任意一個(gè)安裝次序Ai1 , Ai2 , Ai3 , , Ai15 ，則各零件安裝完的時(shí)間（包括等待時(shí)間）之和為：15S16 k ti kk 1第一屆校內(nèi)數(shù)模競賽題（本）解答第4頁共6頁若k, l1,2,15 ，使 tikt ik

10、l . 則在 S 中將 tik 與 t ik l 對(duì)調(diào)，而其它ti 不變，得到：S15t i16k tikl16kl tikt i15S Sl ti kt ik l0.即S S.這說明在時(shí)間排序t i, ti,ti中只要 t ikt i kl，就可作一次對(duì)換，得到比S 更小的時(shí)115間和 S.又由于任意排列 ( ti,t i, ti) 經(jīng)過若干次對(duì)換總可變?yōu)榕帕?，故 SS0 .115二、 問題二 .1、數(shù)學(xué)模型以 15 個(gè)零件12315 為頂點(diǎn) . 任意兩個(gè)頂點(diǎn)都連邊，每條邊Ai A j 都賦權(quán) tij .A,A,A, ,A得到一個(gè)賦權(quán)完全圖G, w .此最優(yōu)安裝次序就是在G, w 中求一條

11、權(quán)和最小的Hamilton 路 .2、模型求解G, w 中共有 105條邊，每條邊的權(quán)：0w e15( e(G) . 而權(quán)為0 的邊有AA ,A2A , A3A,AA,AA , AA , AA ;權(quán)為的邊有：11413124115106978A1A15,A 2A14,A 3A13,A 4A12,A 5A11,A 6A10,A7A9 .故 (G ,W ) 中最小權(quán) Hamilton路為 :A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 710101010101100A 15A 14A 13A 12A 11A 10A 9A 83結(jié)果最少時(shí)間安裝次序?yàn)锳15,A1,A14,A 2,A 13,A 3,A 12

12、,A4,A11,A 5,A 10,A 6,A 9,A 7,A 815最少時(shí)間為7ti178(分鐘 )i 1三, 問題三 .以個(gè)零件 A , A, A15為頂點(diǎn) ,i安裝為完后再安裝A則連一條有向邊12j ,Ai A j ，得到一個(gè)有向圖D . (并設(shè)兩個(gè)假想點(diǎn)S、T)35910A 1A 5A12A1414A 2A 42SA 66812A 105A13A15TA 7111第一屆校內(nèi)數(shù)模競賽題（本）解答第5頁共6頁67A3A8A9A11( ). 由最長路算法, 得到有向圖中到的最長有向路為:SAAAA4AAAA261789131A12A14A15T =t 2+t 6+t 1+t 4+t 7+t 8+t 9+t 13 +t 12+t 14+t 15=123(分鐘 )而 t 3t 2 , t 5t 7+t 8 , t 10t 9+t 13.兩個(gè)工人安裝的最少時(shí)間是123分鐘 ,安裝方案為 :第一個(gè)工人連續(xù)安裝 : , , , , , ， , 3, 12, A 14, A15；第二個(gè)工人安裝 :A 3,A 5,A 10,A 11 . 當(dāng)?shù)谝粋€(gè)工人