(完整)平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)歸納,推薦文檔

1、平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)歸納 知識(shí)點(diǎn)歸納直線與方程1.直線的傾斜角規(guī)定：當(dāng)直線l 與 x 軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0范圍：直線的傾斜角的取值范圍為 0,)2.斜率： k tan (a) ， kR2斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1( x1 , y1 ) ， P2 (x2 , y2 ) ( x1x2 ) 的直線的斜率公式為kP1P2y2y1x2x13.直線方程的幾種形式名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)kxbk 是斜率b 是縱截距與 x 軸不垂直的直線點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k( xx0 )(x0 , y0 ) 是直線上的已知點(diǎn)兩點(diǎn)式y(tǒng)y1xx1(x1, y1 ), (x2 , y2 ) 是直線上與兩坐標(biāo)軸均不垂直y2y1x2

2、x1的兩個(gè)已知點(diǎn)的直線( x1x2 , y1y2 )截距式xya 是直線的橫截距不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)a1bb 是直線的縱截距軸均不垂直的直線一般式AxByC0當(dāng) B0 時(shí)，直線的橫截距C( A2B20)為A當(dāng) B0 時(shí)，所有直線ACC,分別為直線BAB的斜率、橫截距，縱截距能力提升斜率應(yīng)用例 1.已知函數(shù)f (x) log 2 (x 1) 且 ab c 0 ，則 f (a) ,f (b) ,f (c) 的大小關(guān)系abc細(xì)節(jié)決定成敗，規(guī)范鑄就輝煌。第1頁共8頁例 2.已知實(shí)數(shù)x, y 滿足 yx22x2( 1x1) ，試求 y3 的最大值和最小值x2兩直線位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系l1 :

3、 y k1 x b1l 1 : A1 x B1 y C10l 2 : y k 2 x b2l 2 : A2 xB2 y C20平行k1k 2 ，且 b1b2A1B1C1 (A1 B2-A2B1=0)A2B2C2重合k1k 2 ，且 b1b2A1B1C1A2B2C2相交k1k2A1B1A2B2垂直k1 k21A1 A2B1B20設(shè)兩直線的方程分別為：l1 : y k1 xb1或 l 1 : A1 xB1 y C10；當(dāng) k1 k2或 A1B2A2 B1 時(shí)它們l 2 : y k2 x b2l 2 : A2 x B2 y C20相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組y k1 xb1或A1 x B1 yC1 0y

4、k2 x b2A2 x B2 y C 20直線間的夾角：若為 l 1 到 l 2的角 ， tank2k1或 tanA1 B2A2B1 ；1 k2k1A1 A2B1B2為 l 1 和 l 2的夾角 ，則 tank2k1A1 B2A2 B1若或 tanA1 A2B1B2；1 k2k1當(dāng) 1 k1 k20 或 A1 A2 B1B20 時(shí)，90o ；直線 l1 到 l 2的角與 l1 和 l 2 的夾角：()2細(xì)節(jié)決定成敗，規(guī)范鑄就輝煌。第2頁共8頁或() ；2距離問題1.平面上兩點(diǎn)間的距離公式P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 )則P1P2(x2x1 )( y2 y1 )2.點(diǎn)到直線

5、距離公式點(diǎn) P( x0 , y0 ) 到直線 l : AxBy C0 的距離為： dAx0By0CA2B 23.兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線l1 和 l 2 的一般式方程為 l1 ： AxBy C10，l2 ： Ax By C20 ，則 l 1 與 l 2 的距離為 dC1C2A2B 24.直線系方程 : 若兩條直線 l1 ： A1 xB1 yC10 ， l 2 ： A2 xB2 yC 20 有交點(diǎn)，則過 l1 與 l 2 交點(diǎn)的直線系方程為 ( A1xB1 yC1)( A2 xB2 yC2 )0 或(A2 x B2 y C2 ) +( A1 xB1 y C1 )0 ( 為常數(shù) )對(duì)

6、稱問題x1x2A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，則 A, B 中點(diǎn) H (x, y)x21.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知點(diǎn)的坐標(biāo)公式為y2y1y2點(diǎn) P(x0 , y0 ) 關(guān)于 A( a, b) 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q( 2a x0 ,2b y0 ) ，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題可以化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題。2. 軸 對(duì) 稱 ：點(diǎn) P(a,b)關(guān) 于 直 線AxByc0(B0) 的 對(duì) 稱 點(diǎn) 為 P' (m, n) ， 則 有n - b(A)1m - aB，直線關(guān)于直線對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題。ambnABC 022（ 1）中心對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：該點(diǎn)是兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐

7、標(biāo)公式求解，點(diǎn) A(a, b) 關(guān)于 C (c,d ) 的對(duì)稱點(diǎn) ( 2ca,2db)細(xì)節(jié)決定成敗，規(guī)范鑄就輝煌。第3頁共8頁直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：、在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；、求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在利用l 1 / l 2 由點(diǎn)斜式得出直線方程；、利用點(diǎn)到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線l1 : 2x3 y60 關(guān)于點(diǎn) P(1, 1) 對(duì)稱的直線 l 2 的方程。點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：、點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。、求出過該點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，在利用

8、中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。如：求點(diǎn) A( 3,5) 關(guān)于直線 l : 3x4y40 對(duì)稱的坐標(biāo)。直線關(guān)于直線對(duì)稱： （設(shè) a,b 關(guān)于 l 對(duì)稱）、若 a, b 相交，則 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角；若 a / l ，則 b/ l ，且 a, b 與 l 的距離相等。、求出 a 上兩個(gè)點(diǎn) A, B 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。、設(shè) P(x, y) 為所求直線直線上的任意一點(diǎn)，則P 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn) P' 的坐標(biāo)適合 a 的方程。如：求直線a : 2xy40 關(guān)于 l : 3x4 y10 對(duì)稱的直線 b 的方程。能力提升例 1. 點(diǎn) P( 2,1) 到直線 mxy

9、30(mR) 的最大距離為例 2. 已知點(diǎn) A(3,1) ，在直線yx 和 y0上各找一點(diǎn)M 和 N ，使AMN 的周長最短，并求出周長。線性規(guī)劃問題：（ 1）設(shè)點(diǎn) P(x0 , y0 ) 和直線 l : AxByC0 ，若點(diǎn) P 在直線 l 上，則 Ax0By0C0 ；若點(diǎn) P 在直線 l 的上方，則 B( Ax0By0C )0 ；若點(diǎn) P 在直線 l 的下方，則 B(Ax 0By0C )0 ；（ 2）二元一次不等式表示平面區(qū)域：對(duì)于任意的二元一次不等式AxByC0(0) ，細(xì)節(jié)決定成敗，規(guī)范鑄就輝煌。第4頁共8頁當(dāng) B0 時(shí)，則AxByC0表示直線 l : AxByC0上方的區(qū)域；AxBy

10、C0表示直線l : AxByC0 下方的區(qū)域；當(dāng) B0 時(shí)，則AxByC0表示直線 l : AxByC0下方的區(qū)域；AxByC0表示直線 l : AxByC0 上方的區(qū)域；注意：通常情況下將原點(diǎn)( 0,0) 代入直線AxByC 中，根據(jù)0 或0 來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。（ 3）線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解( x, y) 叫做可行解， 由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng) B0 時(shí)，將直線 AxBy0 向上平移，則 zAx By 的值越來越大；直線 AxBy0

11、 向下平移，則 zAxBy 的值越來越?。划?dāng) B0 時(shí)，將直線 Ax By0 向上平移，則 z AxBy 的值越來越??；直線 AxBy0 向下平移，則 zAxBy 的值越來越大；如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)yC(4,2)z xay 取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a 為；（ 1）設(shè)點(diǎn) P(x0 , y0 ) 和直線 l : AxByC0 ，OA(1,1)B(5,1)x若點(diǎn) P 在直線 l 上，則 Ax0By0C0 ；若點(diǎn) P 在直線 l 的上方，則 B( Ax0 By0 C ) 0 ；若點(diǎn) P 在直線 l 的下方，則 B(Ax 0By0C )0 ；（ 2）二

12、元一次不等式表示平面區(qū)域：對(duì)于任意的二元一次不等式AxBy C0(0) ，當(dāng) B0時(shí)，則 AxByC0表示直線 l : AxByC0 上方的區(qū)域；Ax ByC 0 表示直線 l : AxBy C0 下方的區(qū)域；當(dāng) B0時(shí)，則 AxByC0表示直線 l : AxByC0 下方的區(qū)域；細(xì)節(jié)決定成敗，規(guī)范鑄就輝煌。第5頁共8頁AxByC0 表示直線 l : AxByC0 上方的區(qū)域；注意：通常情況下將原點(diǎn)( 0,0) 代入直線AxByC 中，根據(jù)0 或0 來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。（ 3）線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解

13、( x, y) 叫做可行解， 由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng) B0 時(shí)，將直線 AxBy0 向上平移，則 zAx By 的值越來越大；直線 AxBy0 向下平移，則zAxBy 的值越來越??；當(dāng) B0 時(shí)，將直線 Ax By0 向上平移，則 z AxBy 的值越來越??；直線 AxBy0 向下平移，則zAxBy 的值越來越大；如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)yC(4,2)zxay 取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a 為；OA(1,1)B(5,1)x圓與方程2.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( x a) 2( y b)

14、2 r 2 圓心C(a, b) ，半徑r特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r 的圓的方程是：x 2 y 2 r 2.2.2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1. 設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為 d，圓半徑為 r ：(1)點(diǎn)在圓上d=r ； (2) 點(diǎn)在圓外d r ；(3) 點(diǎn)在圓內(nèi)d r 2.給定點(diǎn) M (x 0 , y 0 ) 及圓 C : ( xa) 2(yb) 2r 2 .M在圓C內(nèi)( x0a) 2( y0b)2r 2M在圓C上（ x 0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2M在圓C外( x0a) 2( y0b)2r 22.3 圓的一般方程：x 2y 2 Dx Ey F 0.細(xì)節(jié)決定成敗，規(guī)范鑄就輝煌。第6頁共8頁當(dāng)

15、D 2E24F0 時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心CD ,E，半徑 rD2 E2 4F.222當(dāng) D 2E 24F0 時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)DE,.2 2當(dāng) D 2 E2 4F 0 時(shí)，方程無圖形（稱虛圓） .注：（ 1）方程 Ax 2BxyCy 2Dx EyF0 表示圓的充要條件是：B0且A C 0且D2 E24AF 0.圓的直徑系方程：已知AB 是圓的直徑A( x1, y1) B(x2 , y2 )(xx1)( xx2 ) ( yy1)( yy 2 )02.4 直線與圓的位置關(guān)系：直線 AxByC0與圓 (x a)2( yb) 2r 2 的位置關(guān)系有三種，d 是圓心到直線的距離， ( dAaBb

16、CA2B2（ 1）（ 3）drdr相離0 ； (2) dr相切0 ；相交02.5 兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1212， O1O2d。， O，半徑分別為 r， r（ 1）dr1r2外離4條公切線 ；（ ）外切條公切線 ；2 d r1r 23（ 3）1r2d1r2相交2條公切線；（ 4）dr1 r2內(nèi)切1條公切線 ；rr（5） 0dr1r2內(nèi)含無公切線 ；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圓的切線方程：1.直線與圓相切：(1)圓心到直線距離等于半徑r；（2）圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直（斜率互為負(fù)倒數(shù)）2.圓 x 2 y2r 2 的斜率為k 的切線方程是y kx 1 k 2 r 過圓 x 2 y 2 Dx Ey F0 上一點(diǎn) P(x 0 ,y 0 ) 的切線方程為： x 0 xx x0Ey y 0F0 .y 0 y D22一般方程若點(diǎn)(x0 ,y0)在圓上，則 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2.特別地，過圓x 2y 2 r