高一數(shù)學(xué)空間兩點(diǎn)間的距離公式

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 空間兩點(diǎn)間的距離公式【情景導(dǎo)入】（多媒體投影）三樓屋頂有一蜂窩，住戶報(bào)119，消防官兵擬用高壓水槍擊落蜂巢，但水槍有效射程只有20米，而消防車也只能到達(dá)宅基線距離樓房角A處8米遠(yuǎn)的坡坎邊，若屋的長、寬、高分別為15米、10米、4.2米，蜂巢能被擊落嗎？【引導(dǎo)】師：這是一個(gè)很有趣的實(shí)際應(yīng)用題，同學(xué)們你能根據(jù)題意畫出符合條件的示意圖嗎？生：閱讀題目，并作出相應(yīng)的空間圖形。師：好！顯然據(jù)題意知蜂巢能否被擊落，實(shí)質(zhì)上就是比較圖形中消防車所對應(yīng)的點(diǎn)距離三樓屋頂對應(yīng)的長方體的一頂點(diǎn)間的距離與水槍有效射程的大小，這個(gè)問題可以通過立體幾何的知識可以解決，但我們想

2、換一種思維即采用代數(shù)的方法，借助于空間直角坐標(biāo)系利用這兩點(diǎn)的空間坐標(biāo)來表示出兩點(diǎn)的距離，我們就可以解決上面的這個(gè)實(shí)際應(yīng)用題。這就是我們這一節(jié)將要學(xué)習(xí)的：（書寫課題）空間直角坐標(biāo)系?！拘轮骄俊俊疽龑?dǎo)】師：距離是幾何中的基本度量，幾何問題和一些實(shí)際問題經(jīng)常涉及距離，如建筑設(shè)計(jì)中常常需要計(jì)算空間兩點(diǎn)間的距離，通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道建立空間直角坐標(biāo)系后，空間中的任一點(diǎn)P與一組有序?qū)崝?shù)對（x,y,z）建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，類比平面兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)，你能猜想一下空間兩點(diǎn)、間的距離公式嗎？生：空間兩點(diǎn)、間的距離公式為：（由于有前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)學(xué)生完全能借助平面上兩點(diǎn)間的距離公式，考慮到此距離與豎坐

3、標(biāo)有關(guān)，猜想出空間兩點(diǎn)間的距離公式。）師：很好！猜想是我們探索未知世界的一種重要的思維方法，但終歸是猜想只有和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯思維的證明，這樣才算是一個(gè)完整的思維過程。下面我們考慮如何根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)來證明兩點(diǎn)間的距離公式為：【引導(dǎo)】師：為了使同學(xué)們更好的理解空間兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)過程，我們按照由特殊到一般的思維過程先研究比較簡單的情形。然后再利用類比的方法推廣到一般情況。【師生互動(dòng)】師：如果兩點(diǎn)P1、P2是三個(gè)坐標(biāo)平面中的其中一個(gè)平面上的任意兩點(diǎn)，如何計(jì)算這兩點(diǎn)之間的距離？它們適合公式嗎？生：作圖并分別寫出兩點(diǎn)P1、P2在三個(gè)坐標(biāo)平面中的坐標(biāo)，并思考如何求出兩點(diǎn)間的距離。師：巡視指導(dǎo)，并點(diǎn)拔

4、：“若兩點(diǎn)P1、P2都在平面XOY中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)的形式是什么？”“實(shí)質(zhì)上這兩點(diǎn)的距離是否就是平面上兩點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離，利用兩點(diǎn)間的距離公式驗(yàn)證它是否符合？”師：顯然平面上兩點(diǎn)間的距離公式是空間兩點(diǎn)間距離公式的特殊情況，如果P（x,y,z）那么它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離如何求解呢？如圖：設(shè)點(diǎn)P在XOY平面上的射影是B，則B點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的定義是什么？如何在空間立體圖形中求出OP的長？生：觀察圖形通過立體幾何知識分析圖中的線面關(guān)系？師：引導(dǎo)學(xué)生回顧求解空間中兩點(diǎn)間的距離的思想，即將空間問題最終轉(zhuǎn)化為平面問題，常常在一些平面圖形中求解，如在三角形、梯形中。生：回答教師提出的問題，教師及時(shí)糾正學(xué)生

5、的錯(cuò)誤，并由學(xué)生口述解題過程，教師板書：據(jù)題意知點(diǎn)P在平面XOY上的射影B點(diǎn)的坐標(biāo)是（x,y,o），在平面XOY中，由于PB平面XOY，故PBOB，因此在直角三角形OBP中，根據(jù)勾股定理：因?yàn)?，所以，這說明，在空間直角坐標(biāo)系）OXYZ中，任意一點(diǎn)P（x,y,z）與原點(diǎn)的距離【師生互動(dòng)】師：如果的長是定值R，則方程表示何圖形？生：思考并與同桌交流。師：巡視指導(dǎo)，并適時(shí)點(diǎn)拔：“在平面直角坐標(biāo)系中，方程表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓”據(jù)此類比“方程左端的形式與我們學(xué)習(xí)的那個(gè)知識相似？它表示的幾何意義是什么？”“在空間中滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成什么圖形？”生：回答，此過程中可能會引起學(xué)生的爭論，教師要注意正確的

6、引導(dǎo)?！军c(diǎn)撥】師：在平面直角坐標(biāo)系中，方程表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，據(jù)此，學(xué)生不難將此推廣到空間，得出表示以原點(diǎn)為球心，半徑為的球面類似地不難將平面直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)公式也可以推廣到空間直角坐標(biāo)系中。即如果，則兩點(diǎn)的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為。師：有了上基礎(chǔ)，我們不難將OP的長度推廣到空間任意兩點(diǎn)間的距離公式，證明過程如下：（多媒體投影）【點(diǎn)拔】空間兩點(diǎn)、間的距離反映在立體幾何中，實(shí)質(zhì)上是以、作為長方體的一條體對角線的端點(diǎn)的所在體對角線的長，其中此長方體的長為，寬為，高為。師：下面我們通過具體例題來說明兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用。（多媒體投影）已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值

7、?！疽龑?dǎo)】師：利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，尋找關(guān)于x的方程，解方程即得。生解答并回答解題過程|AB|=6， 即，解得x=1或x=9 x=1或x=9【點(diǎn)撥】求字母的值，常利用方程的思想，通過解方程或方程組求解。證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的三角形ABC是一等腰三角形.   解答：由兩點(diǎn)間距離公式得：                    

8、0;          由于，所以ABC是一等腰三角形（多媒體投影）3點(diǎn)P在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2，4)，問滿足條件|PA|=5的點(diǎn)P的軌跡是什么？【引導(dǎo)】師：因點(diǎn)P一方面在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，另一方面滿足條件|PA|=5，即點(diǎn)P在球面上，故點(diǎn)P的軌跡是坐標(biāo)平面xOy與球面的交線。生：思考并解答（多媒體投影）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y, z)。點(diǎn)P在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，z=0|PA|=5，即=25，點(diǎn)P在以點(diǎn)A為球心，半徑為5的球面上，點(diǎn)P的軌跡是坐標(biāo)平面xOy與以點(diǎn)A為球心，半徑為5的球面的交線，即在

9、坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的圓，且此圓的圓心即為A點(diǎn)在坐標(biāo)平面xOy上射影(-1,2，0)。點(diǎn)A到坐標(biāo)平面xOy的距離為4，球面半徑為5，在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的圓的半徑為3。點(diǎn)P的軌跡是圓=9，z=0?！军c(diǎn)拔】師：對于空間直角坐標(biāo)系中的軌跡問題，可用平面直角坐標(biāo)系中的軌跡問題的求解方法類比解決。（遷移應(yīng)用一）（多媒體投影）1 已知A(2,5，-6)，在y軸上求一點(diǎn)B，使得|AB|=7?！疽龑?dǎo)】師：注意Y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)。生： B(0,2，0)或B(0,8，0)。（多媒體投影）2點(diǎn)P在坐標(biāo)平面xOz內(nèi)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3，-2)，問滿足條件|PA|=5的點(diǎn)P的軌跡方程。答案：點(diǎn)P的軌跡方程是=16，y=

10、0。新知探究（二）【引導(dǎo)】學(xué)習(xí)了空間直角坐標(biāo)系后，我們就可在空間直角坐標(biāo)系中研究空間幾何圖形的有關(guān)問題。用坐標(biāo)法解決有關(guān)立體幾何問題時(shí)，與其它方法相比，可以避免煩瑣的說理、證明，因此坐標(biāo)法在求解有關(guān)立體幾何問題中有著較廣泛的應(yīng)用，特別是在學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)知識后，如將坐標(biāo)法與向量方法相結(jié)合，那在研究立體幾何問題時(shí)將顯得更優(yōu)越。下面我們通過具體例題來說明它的應(yīng)用。（多媒體投影）例2在四面體P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，設(shè)PA=PB=PC=a，求點(diǎn)P到平面ABC的距離。【引導(dǎo)】師：通過前面的學(xué)習(xí)，我們可以通過坐標(biāo)法即用代數(shù)的方法解決幾何問題，同學(xué)們回想一下坐標(biāo)法解題的步驟是什么？你能否將在

11、平面上解決問題的方法遷移到空間當(dāng)中去？生：坐標(biāo)法解題的步驟是：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題，第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。師：同學(xué)們解答此題，然后教師用多媒體投影：x解：根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P-xyz，則P(0,0，0)，A（a,o,o），B（o,a,o），C（o,o,a）.過P作PH平面ABC，交平面ABC于H，則PH的長即為點(diǎn)P到平面ABC的距離。PA=PB=PC,H為ABC的外心，又 ABC為正三角形，H為ABC的重心。由重心的坐標(biāo)公式有：可得H點(diǎn)的

12、坐標(biāo)為，|PH|=。點(diǎn)P到平面ABC的距離為?！军c(diǎn)拔】（多媒體投影）師：坐標(biāo)法求解立體幾何問題時(shí)的三個(gè)步驟：在立體幾何圖形中建立空間直角坐標(biāo)系；依題意確定各相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo) ；通過坐標(biāo)運(yùn)算得到答案。遷移應(yīng)用（二）（多媒體投影）如圖在正方體OABCD1A1B1C1的棱長為a，求MN的長。學(xué)生解答，然后教師投影： 【知能總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)教師點(diǎn)評）本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有: （多媒體投影）（1） 空間中兩點(diǎn)間的距離公式及其推導(dǎo)。（2） 球面方程（3） 空間中兩點(diǎn)間距離公式的簡單應(yīng)用：應(yīng)用坐標(biāo)法解立體幾何中的有關(guān)問題。教學(xué)思想與方法：（1） 培養(yǎng)學(xué)生類比的方法和養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)論證的思維習(xí)慣。（2） 體會由特殊到一

13、般解決問題的思維方法。作業(yè)：P147B組第1題和第3題。附一：板書設(shè)計(jì)：課題：空間中兩點(diǎn)間的距離公式一空間中兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)。1空間中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。2任意兩點(diǎn)的距離公式。3鞏固練習(xí)二空間中兩點(diǎn)間的距離公式在立體幾何中的應(yīng)用。例題三小結(jié)123作業(yè)附二。教學(xué)札記：本節(jié)課在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，力求從如下幾個(gè)方面使課堂教學(xué)達(dá)到最優(yōu)化：1學(xué)生參與課堂教學(xué)的整個(gè)過程，所有知識的生成和問題的解決都是在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，由學(xué)生探究完成的。讓學(xué)生成為課堂教學(xué)的主人，教師只起導(dǎo)演的作用，摒棄以教師為中心的課堂教學(xué)觀，通過具體的教學(xué)過程來看整堂課學(xué)生是不僅全員參與學(xué)，而且學(xué)生還參與教，把教與學(xué)的角色集于一身。沒有學(xué)生積極參與的課堂教學(xué)，是談不上開發(fā)學(xué)生潛能的。而且通過設(shè)置難度適宜的問題和教師的巧妙點(diǎn)拔使學(xué)生敢于提出問題、發(fā)表見解，并使學(xué)生看問題與見解是否有挑戰(zhàn)性與獨(dú)創(chuàng)性。學(xué)生的主動(dòng)創(chuàng)造是課堂教學(xué)中最令人激動(dòng)的一道風(fēng)景，而創(chuàng)造這樣的景觀絕非教師一日之功。如在在推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式時(shí)，我并不是直接給出公式而是讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)的平面上兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行大膽的類比猜想，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)從易到難，從特殊