高一數學空間兩點間的距離公式

1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 空間兩點間的距離公式【情景導入】（多媒體投影）三樓屋頂有一蜂窩，住戶報119，消防官兵擬用高壓水槍擊落蜂巢，但水槍有效射程只有20米，而消防車也只能到達宅基線距離樓房角A處8米遠的坡坎邊，若屋的長、寬、高分別為15米、10米、4.2米，蜂巢能被擊落嗎？【引導】師：這是一個很有趣的實際應用題，同學們你能根據題意畫出符合條件的示意圖嗎？生：閱讀題目，并作出相應的空間圖形。師：好！顯然據題意知蜂巢能否被擊落，實質上就是比較圖形中消防車所對應的點距離三樓屋頂對應的長方體的一頂點間的距離與水槍有效射程的大小，這個問題可以通過立體幾何的知識可以解決，但我們想

2、換一種思維即采用代數的方法，借助于空間直角坐標系利用這兩點的空間坐標來表示出兩點的距離，我們就可以解決上面的這個實際應用題。這就是我們這一節(jié)將要學習的：（書寫課題）空間直角坐標系?！拘轮骄俊俊疽龑А繋煟壕嚯x是幾何中的基本度量，幾何問題和一些實際問題經常涉及距離，如建筑設計中常常需要計算空間兩點間的距離，通過上一節(jié)的學習，我們知道建立空間直角坐標系后，空間中的任一點P與一組有序實數對（x,y,z）建立了一一對應的關系，類比平面兩點間的距離公式的推導，你能猜想一下空間兩點、間的距離公式嗎？生：空間兩點、間的距離公式為：（由于有前面學習的基礎學生完全能借助平面上兩點間的距離公式，考慮到此距離與豎坐

3、標有關，猜想出空間兩點間的距離公式。）師：很好！猜想是我們探索未知世界的一種重要的思維方法，但終歸是猜想只有和嚴格的數學邏輯思維的證明，這樣才算是一個完整的思維過程。下面我們考慮如何根據兩點的坐標來證明兩點間的距離公式為：【引導】師：為了使同學們更好的理解空間兩點間的距離公式的推導過程，我們按照由特殊到一般的思維過程先研究比較簡單的情形。然后再利用類比的方法推廣到一般情況?！編熒印繋煟喝绻麅牲cP1、P2是三個坐標平面中的其中一個平面上的任意兩點，如何計算這兩點之間的距離？它們適合公式嗎？生：作圖并分別寫出兩點P1、P2在三個坐標平面中的坐標，并思考如何求出兩點間的距離。師：巡視指導，并點拔

4、：“若兩點P1、P2都在平面XOY中，兩點的坐標的形式是什么？”“實質上這兩點的距離是否就是平面上兩點兩點間的距離，利用兩點間的距離公式驗證它是否符合？”師：顯然平面上兩點間的距離公式是空間兩點間距離公式的特殊情況，如果P（x,y,z）那么它到坐標原點O的距離如何求解呢？如圖：設點P在XOY平面上的射影是B，則B點的坐標根據空間中點的坐標的定義是什么？如何在空間立體圖形中求出OP的長？生：觀察圖形通過立體幾何知識分析圖中的線面關系？師：引導學生回顧求解空間中兩點間的距離的思想，即將空間問題最終轉化為平面問題，常常在一些平面圖形中求解，如在三角形、梯形中。生：回答教師提出的問題，教師及時糾正學生

5、的錯誤，并由學生口述解題過程，教師板書：據題意知點P在平面XOY上的射影B點的坐標是（x,y,o），在平面XOY中，由于PB平面XOY，故PBOB，因此在直角三角形OBP中，根據勾股定理：因為，所以，這說明，在空間直角坐標系）OXYZ中，任意一點P（x,y,z）與原點的距離【師生互動】師：如果的長是定值R，則方程表示何圖形？生：思考并與同桌交流。師：巡視指導，并適時點拔：“在平面直角坐標系中，方程表示以原點為圓心，半徑為的圓”據此類比“方程左端的形式與我們學習的那個知識相似？它表示的幾何意義是什么？”“在空間中滿足條件的點構成什么圖形？”生：回答，此過程中可能會引起學生的爭論，教師要注意正確的

6、引導。【點撥】師：在平面直角坐標系中，方程表示以原點為圓心，半徑為的圓，據此，學生不難將此推廣到空間，得出表示以原點為球心，半徑為的球面類似地不難將平面直角坐標系中的中點公式也可以推廣到空間直角坐標系中。即如果，則兩點的中點P的坐標為。師：有了上基礎，我們不難將OP的長度推廣到空間任意兩點間的距離公式，證明過程如下：（多媒體投影）【點拔】空間兩點、間的距離反映在立體幾何中，實質上是以、作為長方體的一條體對角線的端點的所在體對角線的長，其中此長方體的長為，寬為，高為。師：下面我們通過具體例題來說明兩點間距離公式的應用。（多媒體投影）已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值

7、?！疽龑А繋煟豪每臻g兩點間的距離公式，尋找關于x的方程，解方程即得。生解答并回答解題過程|AB|=6， 即，解得x=1或x=9 x=1或x=9【點撥】求字母的值，常利用方程的思想，通過解方程或方程組求解。證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的三角形ABC是一等腰三角形.   解答：由兩點間距離公式得：                    

8、0;          由于，所以ABC是一等腰三角形（多媒體投影）3點P在坐標平面xOy內，A點的坐標為(-1,2，4)，問滿足條件|PA|=5的點P的軌跡是什么？【引導】師：因點P一方面在坐標平面xOy內，另一方面滿足條件|PA|=5，即點P在球面上，故點P的軌跡是坐標平面xOy與球面的交線。生：思考并解答（多媒體投影）設點P的坐標為(x, y, z)。點P在坐標平面xOy內，z=0|PA|=5，即=25，點P在以點A為球心，半徑為5的球面上，點P的軌跡是坐標平面xOy與以點A為球心，半徑為5的球面的交線，即在

9、坐標平面xOy內的圓，且此圓的圓心即為A點在坐標平面xOy上射影(-1,2，0)。點A到坐標平面xOy的距離為4，球面半徑為5，在坐標平面xOy內的圓的半徑為3。點P的軌跡是圓=9，z=0?！军c拔】師：對于空間直角坐標系中的軌跡問題，可用平面直角坐標系中的軌跡問題的求解方法類比解決。（遷移應用一）（多媒體投影）1 已知A(2,5，-6)，在y軸上求一點B，使得|AB|=7?！疽龑А繋煟鹤⒁釿軸上點的坐標的特點。生： B(0,2，0)或B(0,8，0)。（多媒體投影）2點P在坐標平面xOz內，A點的坐標為(1,3，-2)，問滿足條件|PA|=5的點P的軌跡方程。答案：點P的軌跡方程是=16，y=

10、0。新知探究（二）【引導】學習了空間直角坐標系后，我們就可在空間直角坐標系中研究空間幾何圖形的有關問題。用坐標法解決有關立體幾何問題時，與其它方法相比，可以避免煩瑣的說理、證明，因此坐標法在求解有關立體幾何問題中有著較廣泛的應用，特別是在學習了向量的有關知識后，如將坐標法與向量方法相結合，那在研究立體幾何問題時將顯得更優(yōu)越。下面我們通過具體例題來說明它的應用。（多媒體投影）例2在四面體P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，設PA=PB=PC=a，求點P到平面ABC的距離。【引導】師：通過前面的學習，我們可以通過坐標法即用代數的方法解決幾何問題，同學們回想一下坐標法解題的步驟是什么？你能否將在

11、平面上解決問題的方法遷移到空間當中去？生：坐標法解題的步驟是：第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；第二步：通過代數運算，解決代數問題，第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論。師：同學們解答此題，然后教師用多媒體投影：x解：根據題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系P-xyz，則P(0,0，0)，A（a,o,o），B（o,a,o），C（o,o,a）.過P作PH平面ABC，交平面ABC于H，則PH的長即為點P到平面ABC的距離。PA=PB=PC,H為ABC的外心，又 ABC為正三角形，H為ABC的重心。由重心的坐標公式有：可得H點的

12、坐標為，|PH|=。點P到平面ABC的距離為?！军c拔】（多媒體投影）師：坐標法求解立體幾何問題時的三個步驟：在立體幾何圖形中建立空間直角坐標系；依題意確定各相應點的坐標 ；通過坐標運算得到答案。遷移應用（二）（多媒體投影）如圖在正方體OABCD1A1B1C1的棱長為a，求MN的長。學生解答，然后教師投影： 【知能總結】（學生總結教師點評）本節(jié)課學習的主要內容有: （多媒體投影）（1） 空間中兩點間的距離公式及其推導。（2） 球面方程（3） 空間中兩點間距離公式的簡單應用：應用坐標法解立體幾何中的有關問題。教學思想與方法：（1） 培養(yǎng)學生類比的方法和養(yǎng)成嚴謹論證的思維習慣。（2） 體會由特殊到一

13、般解決問題的思維方法。作業(yè)：P147B組第1題和第3題。附一：板書設計：課題：空間中兩點間的距離公式一空間中兩點間的距離公式的推導。1空間中點P到坐標原點的距離。2任意兩點的距離公式。3鞏固練習二空間中兩點間的距離公式在立體幾何中的應用。例題三小結123作業(yè)附二。教學札記：本節(jié)課在課堂教學設計中，力求從如下幾個方面使課堂教學達到最優(yōu)化：1學生參與課堂教學的整個過程，所有知識的生成和問題的解決都是在教師的適當引導下，由學生探究完成的。讓學生成為課堂教學的主人，教師只起導演的作用，摒棄以教師為中心的課堂教學觀，通過具體的教學過程來看整堂課學生是不僅全員參與學，而且學生還參與教，把教與學的角色集于一身。沒有學生積極參與的課堂教學，是談不上開發(fā)學生潛能的。而且通過設置難度適宜的問題和教師的巧妙點拔使學生敢于提出問題、發(fā)表見解，并使學生看問題與見解是否有挑戰(zhàn)性與獨創(chuàng)性。學生的主動創(chuàng)造是課堂教學中最令人激動的一道風景，而創(chuàng)造這樣的景觀絕非教師一日之功。如在在推導空間兩點間的距離公式時，我并不是直接給出公式而是讓學生根據所學的平面上兩點間的距離公式進行大膽的類比猜想，調動了學生的學習熱情，使學生經歷一個從易到難，從特殊