多元函數(shù)微分學(xué)Word版

1、第11章 多元函數(shù)微分學(xué) 1 本章概述1.1 本章主要教學(xué)內(nèi)容本章知識(shí)主要為：多元函數(shù)概念及其重極限、連續(xù)性；多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、微分的概念及計(jì)算；連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在及可微三者之間的關(guān)系；鏈?zhǔn)揭?guī)則；偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，切平面與法向量；方向?qū)?shù)、梯度；隱函數(shù)存在性、可微性定理；多元函數(shù)最值求法，條件極值與Lagrange乘數(shù)法.本章的較多篇幅是講述偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法，尤其是抽象復(fù)合函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法，以及由方程確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法.1.2 本章知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu) 在以下圖表中揭示出本章知識(shí)的邏輯關(guān)系.箭頭前的是必須先學(xué)習(xí)的知識(shí).隱函數(shù)求導(dǎo)法則多元函數(shù)極限連續(xù)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)全

2、微分全微分形式不變性極值泰勒公式最值無(wú)條件極值區(qū)域方向?qū)?shù)梯度多元復(fù)合求導(dǎo)法則偏導(dǎo)數(shù)幾何應(yīng)用條件極值Lagrange乘數(shù)法1.3 在學(xué)習(xí)本章之前的必修知識(shí)學(xué)習(xí)本章多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)該具備一元函數(shù)微分學(xué)基本知識(shí)，空間解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)， 具有線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)更好.一元函數(shù)微分學(xué)基本知識(shí)具體為： 一元函數(shù)概念性質(zhì)、極限概念及其性質(zhì)、連續(xù)； 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)； 導(dǎo)數(shù)定義, 導(dǎo)數(shù)意義；微分、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算、高階導(dǎo)數(shù)；微分中值定理；泰勒公式； 極值與最值.空間解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)具體為：空間直線方程、平面方程和常見(jiàn)的二次曲面等知識(shí).線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)具體為：線性方程組解法；行列式及其運(yùn)算；二次型概

3、念及正定與負(fù)定二次型的判別法.( 線性代數(shù)不是學(xué)習(xí)本章的必要條件).1.4 本章對(duì)后繼章節(jié)的影響在學(xué)習(xí)重積分、曲線積分、曲面積分時(shí)都必須先學(xué)本章知識(shí). 本章知識(shí)與全微分方程有一定的相關(guān)性. 1.5 本章的重點(diǎn) 本章的關(guān)鍵點(diǎn)是:偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法1 / 33本章的重點(diǎn)是：多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)、微分的概念, 連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在及可微三者之間的關(guān)系;多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法；偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用；極值及最值的求法.1.6 本章的難點(diǎn)區(qū)域有關(guān)概念, 二元函數(shù)極限, 全微分概念以及一階微分形式不變性, 含有抽象函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算, 方程（組）確定的隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算, 方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)

4、間的關(guān)系，梯度的意義，無(wú)條件極值的充分條件的證明.2 .教學(xué)內(nèi)容提要及教學(xué)建議（評(píng)注） 2.1 多元函數(shù)的基本概念以二元函數(shù)為例敘述，可以平行推廣到n元函數(shù)的內(nèi)容不再敘述. 2.1.1平面點(diǎn)集有關(guān)概念平面點(diǎn)集概念中最常說(shuō)到的是鄰域、區(qū)域. 其他的概念在初學(xué)時(shí)可以不講.某點(diǎn)的鄰域是一個(gè)以該點(diǎn)為圓心的開(kāi)圓盤(pán)，即一個(gè)開(kāi)圓盤(pán)稱(chēng)為圓心的鄰域. 類(lèi)似于一元函數(shù)時(shí)的區(qū)間，討論二元函數(shù)時(shí)常常用到區(qū)域. 形象地說(shuō)，區(qū)域就是連成一塊的一個(gè)平面圖形. 不含邊界的區(qū)域叫開(kāi)區(qū)域，含有全部邊界在內(nèi)的區(qū)域叫閉區(qū)域. 開(kāi)區(qū)域或閉區(qū)域、半開(kāi)半閉區(qū)域我們統(tǒng)稱(chēng)為區(qū)域. 區(qū)域的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義為：區(qū)域是連通的開(kāi)集. 所謂連通集，即該集中

5、任意兩點(diǎn)都可以用含在該集中的連續(xù)曲線連接起來(lái).所謂開(kāi)集，即該集中的每一點(diǎn)都有一個(gè)鄰域含在此集中.能被一個(gè)圓盤(pán)包含的區(qū)域稱(chēng)為有界區(qū)域，否則稱(chēng)為無(wú)界區(qū)域. 平面區(qū)域相關(guān)概念如內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)等建議不要在講解二元函數(shù)概念之前先介紹, 因?yàn)閷?duì)于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)內(nèi)點(diǎn),界點(diǎn),聚點(diǎn)等這些是很難理解的，容易讓學(xué)生感到抽象.可以先講解二元函數(shù)的概念,然后幾何意義,接著介紹二元函數(shù)定義域的求法與表示法,讓學(xué)生從具體的定義域中感性的認(rèn)識(shí)區(qū)域的有關(guān)概念,然后接著嚴(yán)格或者通俗的介紹這些概念.2.1.2 二元函數(shù)概念我們把二元函數(shù)定義為是從平面點(diǎn)集到實(shí)數(shù)集的映射. 注意使學(xué)生熟悉函數(shù)的記號(hào)，如函數(shù)與自變量的記號(hào)無(wú)

6、關(guān)，f (x, y)既表示函數(shù)也表示函數(shù)值，函數(shù)記為z = f (x,y)時(shí)，函數(shù)值,可記作或等等.二元函數(shù)與一元函數(shù)類(lèi)似，也只與定義域和對(duì)應(yīng)法則有關(guān),而與自變量,因變量用什么字母表示無(wú)關(guān). 一元函數(shù)可以看成是特殊的二元函數(shù)，而把二元函數(shù)的一個(gè)自變量固定，就得到一元函數(shù).二元函數(shù)z = f (x,y)，其圖形為空間一張曲面，該曲面在平面上的投影區(qū)域就是該函數(shù)的定義域. 也可以說(shuō)該區(qū)面的方程是z = f (x,y). 如函數(shù)的圖形是上半球面，也可以說(shuō)上半球面的方程是.注：三元及更多元函數(shù)的圖形不是直觀的圖形.2.2 二元函數(shù)的極限與連續(xù)2.2.1二重極限定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)域上有定義,點(diǎn)是的點(diǎn)或邊界

7、點(diǎn).若當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)無(wú)限趨向時(shí), 總是無(wú)限的趨向于同一個(gè)常數(shù),則稱(chēng)為當(dāng)時(shí)的極限,記作, 或 ().或 , 或 ().上面定義的極限叫二重極限. 二元函數(shù)還有一種極限叫二次極限，二者不同.二重極限仍有四則運(yùn)算、無(wú)窮小乘有界量還是無(wú)窮小等性質(zhì)，但沒(méi)有洛比達(dá)法則.二重極限主要先從描述定義出發(fā)講解,這樣容易理解二元函數(shù)極限的本質(zhì),然后再向精確定義過(guò)度;要特別強(qiáng)調(diào)二元函數(shù)若當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)以任意方式任意方向趨向時(shí), 總是無(wú)限的趨向于同一個(gè)常數(shù),則稱(chēng)為當(dāng)時(shí)的極限,記作或.其次介紹二元極限與一元函數(shù)極限的不同點(diǎn),讓學(xué)生理解二元函數(shù)極限比一元要復(fù)雜,主要是體現(xiàn)的動(dòng)點(diǎn)趨于的方向與方式上的多樣性上.這個(gè)其實(shí)也是導(dǎo)致多元函數(shù)微

8、分學(xué)會(huì)產(chǎn)生與一元不同的結(jié)果的根源所在.一元與二元函數(shù)極限的區(qū)別方向方式二個(gè)方向 (左右)直線方式 ()無(wú)窮個(gè)方向(四面八方)任意方式(直線, 折線, 曲線等)最后介紹二元函數(shù)極限的一些常規(guī)的求法及其證明二元函數(shù)極限不存在的一些作法.如證明不存在: 一般尋找兩條趨于P0的不同的路徑(首先考慮直線，其次是其他特殊的曲線)C1;C2若;而,或中有一個(gè)不存在,則不存在,例如考慮在原點(diǎn)O(0，0)的極限時(shí)，選直線 ，假如有. 若中含有,或A不存在,則不存在.若中不含有,則存在與否不能判斷,此時(shí)需要選擇其它曲線去考慮.因?yàn)檫@些是后面要討論連續(xù)與可偏導(dǎo),可偏導(dǎo)與可微分之間關(guān)系常用的方法.2.2.2二元連續(xù)函

9、數(shù)二元函數(shù)連續(xù)性的定義與一元函數(shù)類(lèi)似.定義 若在區(qū)域上有定義且,若有 或則稱(chēng)函數(shù)在處連續(xù),或稱(chēng)點(diǎn)是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).否則稱(chēng)為為函數(shù)的間斷點(diǎn).若在區(qū)域上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱(chēng)在上連續(xù).或稱(chēng)為上的連續(xù)函數(shù).二元連續(xù)函數(shù)性的性質(zhì)也與一元函數(shù)類(lèi)似，如：二元連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算后仍是連續(xù)函數(shù). 二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.最值定理: 若在有界閉區(qū)域上連續(xù),則存在,使得,有4. 介值定理: 若在有界閉區(qū)域上連續(xù),則必取介于最大值與最小值之間的任一值. 注：更一般的介值定理是：區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的值域是區(qū)間.2.3 偏導(dǎo)數(shù)2.3.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù).定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)的某鄰

10、域內(nèi)有定義,當(dāng)固定在,考慮一元函數(shù),若它在處的導(dǎo)數(shù)存在,即存在則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),記作, ,或.類(lèi)似地，如果極限存在, 則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù), 記作, 或注1：=. 或?qū)懹么耸角笠恍┓侄魏瘮?shù)在分段點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)很方便.注2： 注3：二元函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在之間沒(méi)有因果關(guān)系如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處對(duì)自變量或的偏導(dǎo)數(shù)、 都存在,則這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是的函數(shù),稱(chēng)它們?yōu)楹瘮?shù)對(duì)自變量或的偏導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)偏導(dǎo)數(shù),分別記作,或, , , 一元函數(shù)的變化率就是導(dǎo)數(shù),對(duì)于二元函數(shù)由于自變量多,研究變化率就顯得復(fù)雜,為了方便起見(jiàn),我們僅限于討論當(dāng)點(diǎn)沿著平行于坐標(biāo)軸方向變化時(shí)函數(shù)的

11、變化率,即固定一個(gè)自變量,研究函數(shù)對(duì)另一個(gè)自變量的變化率即偏導(dǎo)數(shù).其本質(zhì)就是把二元函數(shù)當(dāng)做一元函數(shù)去研究變化率. 即 例 設(shè)，求. 解 如果先求出偏導(dǎo)函數(shù)，再求，可以發(fā)現(xiàn)求運(yùn)算比較繁雜.但若按偏導(dǎo)數(shù)定義即把y固定在y=0,則有從而，于是=2 . 2.3.2 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，偏導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故求偏導(dǎo)數(shù)并不需要什么新的方法.對(duì)于給出具體表達(dá)式的顯函數(shù)來(lái)說(shuō)，在求它對(duì)某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只需將其它自變量看成常數(shù),按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)2.3.3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線Cx：在點(diǎn)處切線對(duì)軸的斜率, 即.同理，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面S與平面的交線Cy在點(diǎn)處的

12、切線對(duì)軸的斜率,即= tanb.2.4 全微分可微、全微分緊接著偏導(dǎo)數(shù)之后講的優(yōu)點(diǎn)是：便于給出鏈?zhǔn)揭?guī)則；便于給出求抽象函數(shù)、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的各種方法；便于講述切平面.2.4.1全微分的概念(1)函數(shù)在一點(diǎn)處可微及全微分定義. 定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可表示為 其中是僅與點(diǎn)有關(guān),而與無(wú)關(guān)的常數(shù),則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可微分;并稱(chēng)線性函數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)處的全微分,記作, 即 . 對(duì)于二元函數(shù)，規(guī)定自變量的增量為自變量的微分:,.于是. 注 微分dz是自變量增量的線性函數(shù), 容易計(jì)算；當(dāng)很小時(shí)，有的誤差較小，故dz是函數(shù)增量的容易計(jì)算又精確的近似值.(2) 函數(shù)的微分定義 若在區(qū)域

13、內(nèi)每一點(diǎn)都可微,則稱(chēng)在內(nèi)可微或稱(chēng)此函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的可微函數(shù).此時(shí)全微分記作. 即一般的， 注 函數(shù)的微分是一個(gè)形式符號(hào)，有時(shí)用它較為方便.2.4.2 可微與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系定理（可微的必要條件）若函數(shù)在點(diǎn)可微,則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)；函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù),都存在,且有定理（可微的充分條件）若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)都存在,且,在點(diǎn)處連續(xù),則函數(shù)在點(diǎn)處可微 這兩個(gè)定理的逆命題都不成立.學(xué)習(xí)微分概念與可微分的必要條件后,建議結(jié)合定義補(bǔ)充如下與可微等價(jià)的結(jié)論.用此定理判定一個(gè)函數(shù)的可微性時(shí)較方便，初學(xué)者易于理解掌握. 有了這個(gè)結(jié)論后對(duì)于學(xué)習(xí)理解可微有積極的幫助. 定理: 若在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，

14、在點(diǎn)處滿足 則在處可微. 且可微的充分條件可以弱化為:兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)之一連續(xù),函數(shù)就可微.定理（可微的充分條件）若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)都存在,且與二者中至少有一個(gè)在點(diǎn)處連續(xù),則函數(shù)在點(diǎn)處可微證 我們只需證明函數(shù)的全增量滿足可微的定義.證明思想就是通過(guò)插項(xiàng)方法把二元函數(shù)化為一元函數(shù)處理. 在點(diǎn)的鄰域內(nèi)改變量因且,在內(nèi)存在,于是一元函數(shù)關(guān)于在點(diǎn)可導(dǎo),即可微. (1)同理可得 (2)再由在點(diǎn)連續(xù)知 (3)(1)+(2)并將(3)帶入,即得而 由于 . 所以,故在點(diǎn)處可微. 此定理的逆命題也不成立.學(xué)習(xí)完偏導(dǎo)數(shù),可微概念后,及時(shí)對(duì)它們之間的關(guān)系對(duì)照一元函數(shù)畫(huà)出關(guān)系圖,以便學(xué)生理解一元函數(shù)與二元函數(shù)微分

15、學(xué)的不同點(diǎn).連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微偏導(dǎo)存在二元函數(shù)幾個(gè)概念間的關(guān)系下面常見(jiàn)的函數(shù)可以成為表述上述關(guān)系的重要的例子.例1函數(shù)在處可微,但偏導(dǎo)數(shù)在處不連續(xù).例2 函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù), 可偏; 但不可微性.例3 函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù);但卻不連續(xù) 例4 函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)處連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在注 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由全微分的定義可知,若函數(shù)在點(diǎn)處可微分,且不全為零, 當(dāng)都很小時(shí),有近似公式 (*)或?qū)憺?. (*)這表示在點(diǎn)鄰域內(nèi),可以把近似地線性化.右側(cè)就是一次線性逼近,這種逼近可以用來(lái)解決復(fù)雜近似計(jì)算. 學(xué)習(xí)完微分后,務(wù)必要講解微分的近似計(jì)算,因?yàn)檫@才能讓學(xué)生明白和理解,微分的真正意義是當(dāng)自變量的改變

16、量很小時(shí),可以用微分近似逼近函數(shù)的改變量.2.5 多元復(fù)合函數(shù)的微分法 2.5.1.鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t大體上有兩種敘述，條件有所不同，結(jié)論也相應(yīng)不同，但計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的公式是一樣的.差別僅在于如果要求內(nèi)函數(shù)是可微的，則復(fù)合函數(shù)也可微，如果要求內(nèi)函數(shù)僅是可偏導(dǎo)的，則復(fù)合函數(shù)也僅是可偏導(dǎo)的.定理1 設(shè),可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù).若及在點(diǎn)處對(duì)、的偏導(dǎo)數(shù)均存在,函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可微,則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)存在,且有 定理2 設(shè),可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù).若及都在點(diǎn)處可微，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可微,則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可微,且有 注 定理中的條件并非必要條件. 注 特別地,當(dāng),而,時(shí), 上述兩個(gè)定理就是一樣的，由于復(fù)合函數(shù)為的一元函

17、數(shù)，這時(shí)z對(duì)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為全導(dǎo)數(shù)，應(yīng)寫(xiě)為.鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)多層復(fù)合的函數(shù)依然成立，對(duì)多元函數(shù)也依然成立.以三個(gè)中間變量為例，定理1是：若,及都在具有對(duì)及對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可微,則在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)都存在,且有 求抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，需多作講解和練習(xí).因?yàn)閷W(xué)習(xí)了偏導(dǎo)數(shù)后,學(xué)生會(huì)知道偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算與一元函數(shù)求導(dǎo)本質(zhì)上相同.似乎偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算問(wèn)題我們完滿的解決了.其實(shí)對(duì)于復(fù)雜點(diǎn)的函數(shù),或者含有抽象函數(shù)時(shí)復(fù)合函數(shù)我們還是很難計(jì)算或表達(dá)他們的偏導(dǎo)數(shù).如:設(shè)空間曲線其上一點(diǎn)的溫度為,對(duì)的每個(gè)值,在點(diǎn)處的溫度是復(fù)合函數(shù),現(xiàn)在我們想研究沿著路徑隨時(shí)間的變化率.即要求復(fù)合函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù).若上述曲線,溫度的表

18、達(dá)式很復(fù)雜,或者干脆這些表達(dá)式都不能具體的表達(dá)出來(lái),就是一個(gè)抽象的式子,那么如何求對(duì)的導(dǎo)數(shù)?這就需要學(xué)習(xí)的復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t.這個(gè)也就是為什么還要學(xué)習(xí)這個(gè)法則的原因.由于多元復(fù)合求導(dǎo)法則是微分學(xué)的基礎(chǔ),所以要加強(qiáng)這個(gè)地方的訓(xùn)練.要求學(xué)生要掌握該法則.記憶可以通過(guò)與一元復(fù)合求導(dǎo)法則對(duì)比,介紹記憶方法;即一般所謂的樹(shù)形圖形法. 然后通過(guò)習(xí)題介紹應(yīng)該注意的事項(xiàng).其次要提醒學(xué)生, 多元復(fù)合求導(dǎo)法則主要用在含有抽象函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí).可以用該法則把復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題表示出來(lái).當(dāng)不含有抽象函數(shù)時(shí),一般采用直接求偏導(dǎo)數(shù)就可以,若此時(shí)使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,有時(shí)反而復(fù)雜化.2.5.2 一階全微分形式的不變性 若可微，也

19、可微，則函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的微分相等，即不論作為的自變量; 還是作為復(fù)合函數(shù)的中間變量,均有 這一性質(zhì)稱(chēng)為一階全微分形式的不變性利用一階全微分形式不變性,可以證明不論是自變量,還是中間變量下列全微分的四則運(yùn)算法則都成立.定理 設(shè)可微分,則亦可微分,且有(1) (2) 特別有.(3) 我們常常是在不知不覺(jué)中就用到了一階全微分形式不變性.2.6 隱函數(shù)微分法2.6.1. 一個(gè)方程的情形 ( 1) 由方程所確定的一元隱函數(shù)的存在性、可微性定理 (隱函數(shù)存在定理)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且,，則存在點(diǎn)某一鄰域，和唯一一個(gè)定義在上的、有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足及在的恒等式,且有 . 常稱(chēng)函數(shù)為由

20、方程確定的隱函數(shù). 此定理本身不易理解. 定理?xiàng)l件中應(yīng)強(qiáng)調(diào)，可結(jié)合定理結(jié)論中的導(dǎo)數(shù)公式來(lái)理解、記憶此條件.(2) 由方程所確定的二元隱函數(shù)的的存在性、可微性定理 若函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,則存在點(diǎn)某一鄰域，和唯一一個(gè)定義在上的、有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元隱函數(shù),它滿足及在的恒等式，且有 , .常稱(chēng)函數(shù)為由方程確定的隱函數(shù). 2.6.2. 方程組的情形定理 設(shè),均在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)對(duì)各個(gè)變量具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,;且偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的行列式,則方程組在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一組具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它們滿足及恒等式,且有, , 2.6.3 隱函數(shù)求導(dǎo)法方法1 利用隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式 ，或 , .或,

21、 , 方法2 方程(組)兩邊同時(shí)求(偏)導(dǎo)，再解出所求(偏)導(dǎo)數(shù).方法3方程(組)兩邊同時(shí)求微分，解出隱函數(shù)的微分，再解出所求(偏)導(dǎo)數(shù).隱函數(shù)求導(dǎo)其實(shí)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用,隱函數(shù)求導(dǎo)在關(guān)于微分學(xué)在幾何方面有一些重要的應(yīng)用. 如曲線由一般方程,給出時(shí),就可以方便的求出其切線與法平面.以及曲面的切平面與法線求法.對(duì)于隱函數(shù)求導(dǎo)法，要強(qiáng)調(diào)方法1（直接套用隱函數(shù)求(偏)導(dǎo)數(shù)公式）與另兩種方法的區(qū)別，即作為隱函數(shù)的那個(gè)變量在求導(dǎo)時(shí)是自變量還是中間變量. 要特別注意它們的求導(dǎo)樹(shù)形圖的區(qū)別. 例如三元方程所確定的二元隱函數(shù)公式求導(dǎo)法（方法1）關(guān)系為 直接求導(dǎo)法（方法2）關(guān)系為隱函數(shù)直接求導(dǎo)法樹(shù)形圖公式法多

22、元隱函數(shù)樹(shù)形圖即: 用公式法求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),中的所有變量都是獨(dú)立的自變量.而對(duì)于用直接法求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),即對(duì)方程兩邊求偏導(dǎo)時(shí),中的是獨(dú)立自變量,但須看成的函數(shù). 采用方法3（兩邊同時(shí)求微分）時(shí)，實(shí)際上用到了一階全微分形式不變性，即使對(duì)于復(fù)合結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的函數(shù)，以及出比較難以分清變量之間的關(guān)系時(shí)，是很有用的，出錯(cuò)的可能性較小一些. 對(duì)于方程組確定的隱函數(shù)情形，也是如此.對(duì)于涉及含有抽象復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題,建議用方程組模式處理,或者微分形式不變性的方法處理,這樣可以避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤, 避免學(xué)生難以區(qū)分自變量與中間變量問(wèn)題.避免中間變量的關(guān)錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)聯(lián)關(guān)系. 這兩種方法是處理這種問(wèn)題比較有效的方法.

23、例如,四元方程組滿足以函數(shù)存在定理,可以確定一般采用直接對(duì)方程組兩端分別對(duì)自變量;求偏導(dǎo)數(shù),只需把其中的看作的隱函數(shù).最后解所得線性方程組.將方程組兩邊分別關(guān)于求偏導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t有解該方程組就可得到.同理將方程組兩邊分別關(guān)于求偏導(dǎo), 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t有解該方程組就可得到的表達(dá)式.如上的這種求偏導(dǎo)數(shù)的方法也就方程組求導(dǎo)法.注: 使用方程組求導(dǎo)法求方程組確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),隱函數(shù)中自變量個(gè)數(shù)=方程組中所含變量個(gè)數(shù)方程組中所含方程的個(gè)數(shù).2.7 切平面、法線和切線、法平面在曲面的一個(gè)點(diǎn)處求出切平面、法線，可以用切平面和法線構(gòu)成該點(diǎn)處的一個(gè)直角坐標(biāo)系，該點(diǎn)附近的小片曲面就可以近似

24、看成切面上的一片. 切線、法平面同理. 2.7.1 曲面的切平面與法線求法設(shè)曲面的一般方程為.其中,函數(shù)在該點(diǎn)可微，且偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零.定理 設(shè)曲面的方程為,.函數(shù)在處可微且偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零. 則曲面上任意一條通過(guò)且在處光滑曲線，其在的切線都在下述平面上 此平面稱(chēng)為曲面S在出的切平面.過(guò)切點(diǎn)且與切平面垂直的直線稱(chēng)為法線，曲面S在處的法線方程為 注 定理僅適用于曲面方程由一般方程給出情況. 曲面由顯函數(shù)方程給出時(shí),在點(diǎn)處的切平面為法線方程為 對(duì)于而言,在點(diǎn)的切平面為,即 由此給出微分的幾何解釋.2.7.2 空間曲線一般方程下其切線與法平面求法若曲線由一般方程表處,可以將其看作參數(shù)方程，比如以x為

25、參數(shù)，上述方程組確定兩個(gè)隱函數(shù)，的參數(shù)方程為：，.上與參數(shù)相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程是 法平面方程為 還有另一個(gè)求法：求出曲面和曲面在某點(diǎn)的切平面，這兩個(gè)切平面的交線就是該點(diǎn)處的切線.2.8 高階偏導(dǎo)數(shù) 定義 如果在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)與仍可求偏導(dǎo),則稱(chēng)它們的偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),按照對(duì)變量求偏導(dǎo)次序的不同,二階偏導(dǎo)數(shù)共有以下四個(gè)： , , , ，其中偏導(dǎo)數(shù)通常稱(chēng)為二階混合偏導(dǎo)數(shù).類(lèi)似地可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù),例如混合偏導(dǎo)數(shù),再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)是二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù).定理 (求高階偏導(dǎo)數(shù)與次序無(wú)關(guān)定理)若函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),則在該區(qū)域D內(nèi)必有 .即連續(xù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)

26、與其求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)對(duì)于含有抽象函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù),學(xué)生容易對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一些偏差,再此要特別強(qiáng)調(diào)含有抽象函數(shù)計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)與計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)關(guān)系（樹(shù)形圖）是完全一致的，或者多元函數(shù)求偏導(dǎo)后其復(fù)合結(jié)構(gòu)不變.即復(fù)合函數(shù)樹(shù)形圖解若設(shè),在對(duì)一階偏導(dǎo)數(shù)求二、三階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),仍是以為中間變量,為自變量的復(fù)合函數(shù),即復(fù)合關(guān)系或復(fù)合樹(shù)形圖不變.2.9方向?qū)?shù)與梯度2.9.1.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的定義有兩種，有微小差別.定義1 設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,為一個(gè)向量,其單位向量為.在以為始點(diǎn)沿著方向的射線上任取一點(diǎn)P0Ph(h足夠小使)，若極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)在點(diǎn)處沿著方向的方向?qū)?shù),記作或,即.定義

27、2設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,為一個(gè)向量,其單位向量為.過(guò)作與平行的直線(有向直線),在上任取一點(diǎn)且.若極限P0Ph存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)在點(diǎn)處沿著方向的方向?qū)?shù),記作或,即.方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為：按定義1，函數(shù)在某點(diǎn)沿指定方向的方向?qū)?shù)本質(zhì)是函數(shù)在該點(diǎn)沿著指定方向的單側(cè)變化率，而偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)沿著平行于坐標(biāo)軸正向的變化率,即雙側(cè)變化率.故在某點(diǎn)M沿平行于坐標(biāo)軸的方向?qū)?shù)都存在也不能推斷出偏導(dǎo)數(shù)存在;但反之，偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，在點(diǎn)M沿坐標(biāo)軸正負(fù)向的方向?qū)?shù)都存在，且滿足=-(M)，其中l(wèi)表示坐標(biāo)軸正向，即l是x或y. 總之，按定義1，函數(shù)在點(diǎn)M處偏導(dǎo)數(shù)存在,則在點(diǎn)M沿坐標(biāo)軸正向的方向?qū)?shù)存在，且二者

28、相等，反之不真.即有（按定義1）：偏導(dǎo)數(shù)存在 沿坐標(biāo)軸正向的方向?qū)?shù)存在.只有在時(shí),偏導(dǎo)數(shù)才存在.按定義2，函數(shù)在點(diǎn)M處偏導(dǎo)數(shù)存在等價(jià)于在點(diǎn)M沿坐標(biāo)軸正向的方向?qū)?shù)存在，且二者相等. 即這時(shí)可以認(rèn)為偏導(dǎo)數(shù)是方向?qū)?shù)的特殊情況，或者方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)的推廣.這時(shí)總有 .兩個(gè)定義的比較：有相同的計(jì)算公式（見(jiàn)下）；但方向?qū)?shù)存在的范圍前者大于后者；前者是沿射線的變化率，后者是沿直線的變化率；前者與偏導(dǎo)數(shù)不一致，后者不一致；前者適應(yīng)實(shí)際情況，便于應(yīng)用，后者以偏導(dǎo)數(shù)為特例，可以將偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)統(tǒng)一解釋為沿直線的變化率，有利于初學(xué)者的理解學(xué)習(xí).方向?qū)?shù)的計(jì)算定理1 若函數(shù)在點(diǎn)處可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)沿著任一

29、方向的方向?qū)?shù)都存在,且有其中是方向的單位向量.注 三元函數(shù)的方向?qū)?shù)可類(lèi)似定義和計(jì)算.如類(lèi)似于定義1，在空間一點(diǎn)處沿著方向的方向?qū)?shù)為 .2.9.2 梯度(1)定義 若函數(shù)在點(diǎn)處可微分,則稱(chēng)向量為在點(diǎn)處的梯度向量,簡(jiǎn)稱(chēng)為梯度,記作或,即.梯度的簡(jiǎn)單幾何應(yīng)用梯度與等值線（面）的關(guān)系：函數(shù)在點(diǎn)的梯度與過(guò)點(diǎn)的等值線(的切線)垂直.且的方向是從函數(shù)值較小的等值線指向較大的等值線.函數(shù)在點(diǎn)的梯度與過(guò)點(diǎn)的等值面(的切平面)垂直.且的方向是從函數(shù)值較小的等值面指向較大的等值面.梯度概念要給學(xué)生講解清楚以下幾點(diǎn):(1) 梯度它是一個(gè)向量, 而且是定義域中的向量，其方向指向函數(shù)在處增長(zhǎng)最快(或方向?qū)?shù)取最大)

30、的那個(gè)方向;其模為在處沿此方向的方向?qū)?shù)(方向?qū)?shù)的最大值). 這一點(diǎn)在初學(xué)時(shí)不易理解，需多加解釋.(2)是在處減少最快的方向,在這個(gè)方向的方向?qū)?shù)為(3)與梯度正交的方向是函數(shù)變化率為0的方向.(4) 梯度與過(guò)點(diǎn)的等值線(切線)或等值面(切平面)垂直.且的方向是從函數(shù)值較小的等值線(面)指向較大的等值線(面).即等直面與梯度的關(guān)系:曲面上點(diǎn)的法向量,若取“”表示增大方向，若取“”表示減少方向.通過(guò)等值面(線)的簡(jiǎn)單介紹,可以使得學(xué)生們理解某些常見(jiàn)封閉曲面外(或內(nèi))法線的求法.這點(diǎn)對(duì)于求函數(shù)沿著曲面外(內(nèi))法線的方向?qū)?shù)有很大的幫助.克服學(xué)生難以求解外內(nèi)法線的迷惑.對(duì)于后面第二型曲面積分計(jì)算也

31、會(huì)有一定的幫助.例如: 求曲面上點(diǎn)處沿外法線方向的方向.此時(shí),曲面外法線的方向?yàn)?而曲面內(nèi)法線的方向?yàn)?2.10 二元函數(shù)的泰勒公式定理 設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù), ,則有其中記號(hào)表示【注】一階泰勒公式若引入矩陣乘法也可以寫(xiě)成其中實(shí)對(duì)稱(chēng)陣叫做在點(diǎn)的Hessian陣. 一般階泰勒公式為 其中表示按照二項(xiàng)公式展開(kāi)后再把放到每一項(xiàng)的后面.2.11多元函數(shù)的極值與最值2.11.1 二元函數(shù)的無(wú)條件極值(1) 極值的定義定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若,恒有 (或), 則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處取得極大(小)值, 點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的極大(小)值點(diǎn);極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值; 極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為

32、極值點(diǎn).若嚴(yán)格不等號(hào)) 成立，稱(chēng)為嚴(yán)格極大(小)值. (2) 函數(shù)取極值的條件定理1 (必要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)處取得極值,則有和 即此定理與一元函數(shù)情形相似，容易理解和證明.取極值的充分條件有以下兩個(gè).定理2 函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且.令則 () 當(dāng)時(shí), 函數(shù)在點(diǎn)處有極值,且當(dāng)時(shí),是函數(shù)的嚴(yán)格極小值;當(dāng)時(shí)是函數(shù)的嚴(yán)格極大值. () 當(dāng)時(shí),不是函數(shù)的極值; 證明定理2前可以先復(fù)習(xí)線性代數(shù)中的二次型正定、負(fù)定的判別法。如：實(shí)對(duì)稱(chēng)陣正定各階順序主子式均大于零. 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣負(fù)定奇數(shù)階順序主子式小于零,偶數(shù)階順序主子式大于零.若在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)前未學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí),只能采

33、取一般教材的配成完全平方的辦法去處理顯然，定理2的條件并非必要的，即：函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)(x0, y0)有一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，但沒(méi)有連續(xù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù). 當(dāng)點(diǎn)(x0, y0)是駐點(diǎn)且滿足AC-B2 0及A0時(shí)，不一定是極值點(diǎn).例 容易驗(yàn)證下面函數(shù)f (x, y)連續(xù)，在點(diǎn)(0，0)有一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，但沒(méi)有連續(xù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)(0，0)是駐點(diǎn)且滿足AC-B2 0及A0，但(0，0)不是極值點(diǎn). 點(diǎn)(0, 0)不是極值點(diǎn).類(lèi)似于一元函數(shù)情形，也有用一階偏導(dǎo)數(shù)給出的取極值的充分條件，如下定理3 設(shè) f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某鄰域中可微

34、，且 fx (x, y)(x-x 0)+ f y (x, y) (y - y 0)0，(0)則f (x0, y0)是極小值(嚴(yán)格極小值)注：在(x0, y0)點(diǎn)只須連續(xù)，不必可微.定理3的條件不易驗(yàn)證，故不常用.無(wú)條件極值充分條件的兩個(gè)定理，即定理2，3，建議課堂可不證明定理2，（因?yàn)槭莻€(gè)難點(diǎn)），不講定理3（因?yàn)椴缓糜茫?若要證明定理2，可以采用線性代數(shù)的矩陣正定與負(fù)定理論證明,這樣做比較簡(jiǎn)單容易理解.既克服了一般常規(guī)證法的煩瑣，又避免了不證的尷尬.定理2的證 因?yàn)?即由二元函數(shù)的泰勒公式由于在內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),所以, 在連續(xù).由于,故矩陣正定,所以,恒有二次型由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),可知存在點(diǎn)的

35、某個(gè)鄰域,使當(dāng),且, 時(shí),恒有.于是有.所以是函數(shù)的極小值. 同理當(dāng),時(shí),矩陣負(fù)定,是函數(shù)的極大值.而當(dāng)時(shí),不定,從而導(dǎo)致不定號(hào),故不取極值.學(xué)習(xí)二元函數(shù)極值時(shí)，應(yīng)結(jié)合對(duì)照一元函數(shù)極值的有關(guān)定理與求法. 但要注意二元函數(shù)的極值要比一元函數(shù)的復(fù)雜，例如，函數(shù)f (x, y)在沿過(guò)點(diǎn)M(x0, y0)的每一條直線上都在M取極小值，但M不一定是f (x, y)的極小值點(diǎn).例：f (x, y)=( x-y2)(6x-y2)，M(0, 0). 事實(shí)上： f (x, kx)= x2(1-k2x)(6-k2x)，顯然(0, 0)是極小值點(diǎn). f ( 0, y)= y4，顯然(0, 0)也是極小值點(diǎn).但是，f

36、 (1.5y2, y)=4 y4 0，f (0.5y2, y)= - y2 0，(0, 0)不是極小值點(diǎn).這是因?yàn)樵诿恳粭l直線上，M(0, 0)是極小值點(diǎn)的鄰域是不一樣的，直線越垂直，鄰域越小，即鄰域長(zhǎng)度是不一致的，而2中鄰域是一致的.(3 ) 極值求法程序求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)的極值，一般程序?yàn)?) 解方程組在定義區(qū)域內(nèi)求函數(shù)的一切駐點(diǎn)； 2) 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn),求出相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C； 3) 由的符號(hào),根據(jù)充分條件判定是否是極值,是極大值還是極小值.學(xué)生很容易掌握這個(gè)程序的算法，但未必能清楚理解其中的邏輯思維，學(xué)生容易把駐點(diǎn)當(dāng)成極值點(diǎn)，例如：試證明: 點(diǎn)（3，2）是函數(shù)極

37、值點(diǎn).學(xué)生往往只知道求出偏導(dǎo)數(shù),然后把點(diǎn)(3,2)代入偏導(dǎo)數(shù)中,驗(yàn)證偏導(dǎo)數(shù)為零.就下結(jié)論說(shuō)該點(diǎn)是極值點(diǎn). 依然把駐點(diǎn)當(dāng)成了極值點(diǎn)了.因此，我們應(yīng)強(qiáng)調(diào)上述求法程序三步都不可缺少.2.11.2 二元函數(shù)的最大值與最小值二元函數(shù)求最值時(shí)，用不到極值，這與一元函數(shù)不一樣. 在一元函數(shù)中有如下結(jié)論:當(dāng)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)且只有唯一極值點(diǎn),則是最值點(diǎn)，且當(dāng)是函數(shù)的極大(小)點(diǎn)時(shí), 就是的最大(小)值點(diǎn).但對(duì)于二元函數(shù)該結(jié)論不成立.這說(shuō)明二元函數(shù)最值理論并不能平移照搬一元函數(shù)最值理論.例如: 求函數(shù)圖形在區(qū)域 上的最大值點(diǎn).解 令在內(nèi)求出唯一駐點(diǎn).對(duì)于駐點(diǎn)容易判別且則是唯一的極大值點(diǎn).那么這個(gè)極大值點(diǎn)是否為函數(shù)在上

38、的最大值點(diǎn)？實(shí)際他本身并不是函數(shù)的最大值點(diǎn)。我們不難求出函數(shù)在上的最大值點(diǎn)為.由此可見(jiàn)多元可微函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有唯一的一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)也未必就是最大值點(diǎn).能夠確定二元函數(shù)有最值的，常用的只有一種情況，即：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值. 當(dāng)我們想說(shuō)明函數(shù)的最值存在時(shí)，基本都要化為這種情況. 最值點(diǎn)與極值點(diǎn)的比較：極值點(diǎn)必在區(qū)域內(nèi)取到，最值點(diǎn)不必；在區(qū)域內(nèi)取到的最值點(diǎn)必是極值點(diǎn)，在邊界上取到的最值點(diǎn)不是極值點(diǎn). 因此，最值點(diǎn)只有三種可能：邊界點(diǎn)、區(qū)域內(nèi)的駐點(diǎn)和不可微點(diǎn). 由此亦得下面的最值求法.函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最大值、最小值的求法：1）先求出在區(qū)域內(nèi)的一切可能極值點(diǎn)或

39、不可微點(diǎn)，及其該點(diǎn)處的函數(shù)值；2）再求出在區(qū)域的邊界上的最大值、最小值；3）將這些函數(shù)值進(jìn)行比較,其中最大者就是函數(shù)在上的最大值,最小者就是函數(shù)在D上的最小值在解有關(guān)最值的應(yīng)用題時(shí)，須注意兩個(gè)問(wèn)題：一是最值的存在性往往說(shuō)由問(wèn)題的實(shí)際意義知道最值存在，進(jìn)而由于目標(biāo)函數(shù)可微及駐點(diǎn)唯一，得出結(jié)論，此唯一的駐點(diǎn)就是所求的最值點(diǎn). 建議在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，比如在舉第一個(gè)例子時(shí)，或舉例結(jié)束后，說(shuō)明“由問(wèn)題的實(shí)際意義知道最值存在”時(shí)，問(wèn)題一般是可以化為有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值問(wèn)題，因而最值存在. 二是構(gòu)造出的目標(biāo)函數(shù)要給出定義域，此定義域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定，也可以根據(jù)解題需要適當(dāng)擴(kuò)大. 如不說(shuō)明定義域，可能會(huì)

40、引出歧義. 見(jiàn)下例. 例 求雙曲柱面上的到原點(diǎn)最近的點(diǎn).解 我們尋找柱面上的到原點(diǎn)最近的點(diǎn)，就是求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最小值問(wèn)題.如果從條件中解出代入到目標(biāo)函數(shù)中去就變成了求函數(shù)的最小值問(wèn)題.,但點(diǎn)不在柱面上的.因此時(shí)對(duì)應(yīng)的.問(wèn)題出現(xiàn)了奇怪的結(jié)論. 但若從條件中解出代入到目標(biāo)函數(shù)中變成函數(shù)時(shí),求出的點(diǎn),此時(shí)卻是雙曲柱面到原點(diǎn)的最近點(diǎn).這里就是因?yàn)闆](méi)有考慮定義域. x的變化范圍是x2 1，y、z的變化范圍是全體實(shí)數(shù)，因此按第一種做法，在定義域中沒(méi)有駐點(diǎn)，其最值只能在邊界上取到，即在時(shí)取到，這樣考慮到定義域，問(wèn)題就沒(méi)有什么奇怪了.2.11.3條件極值與Lagrange乘數(shù)法(1)條件極值問(wèn)題的提

41、法求函數(shù)的極值,這里的自變量除了限制在內(nèi)外,還要求滿足約束條件.一般條件極值的形式:在條件組限制下,求目標(biāo)函數(shù)的極值.(2)條件極值的幾何解釋因?yàn)?在幾何上表示空間曲面,而條件為平面上的一條曲線.則條件極值就是在上何處取得極值. (3)條件極值的求法求條件極值時(shí)都要把約束條件化去，具體有兩種方法:方法1： 化為無(wú)條件極值(減變量法)從約束條件中解出某個(gè)變量為其他變量的函數(shù),然后代入到目標(biāo)函數(shù)中去,就把條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值. 一般是一個(gè)約束方程可減少一個(gè)變量.方法2：拉格朗日(Lagrange)乘數(shù)法(增變量法). 以一個(gè)約束條件為例，解法如下：欲求目標(biāo)函數(shù)在條件下的極值,其步驟如下： 作拉

42、格朗日(Lagrange)函數(shù): .其中常稱(chēng)為L(zhǎng)agrange乘數(shù)，實(shí)際是新增加的變量，從而將二元函數(shù)的條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題 求的駐點(diǎn)以及不可微點(diǎn). 解下方程組得駐點(diǎn). 判定. 首先確定最值存在性，往往是由問(wèn)題的實(shí)際意義知道最值存在，或由有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值定理. 如果中解出的點(diǎn)只有一組x0, y0及l(fā), 則其中就是所要求的最值點(diǎn)，如果中解出的點(diǎn)有多組，則比較其目標(biāo)函數(shù)值即可得出最值Lagrange乘數(shù)法求約束條件極值(最值)的重要性： 一是思想方法新.我們一般都是認(rèn)為變量越少越好，容易想到通過(guò)消去一個(gè)變量來(lái)去掉約束條件，不易想到這種通過(guò)增加變量來(lái)去掉約束條件的方法

43、.二是簡(jiǎn)便、有效. 用替換法將條件極值化為無(wú)條件極值,一般情況下并不可行.如自變量較多,約束條件多的情況,就很難行得通.有時(shí)甚至產(chǎn)生一些不必要的麻煩.三是保留所有的原始變量，求到的結(jié)果整齊對(duì)稱(chēng).具體講Lagrange乘數(shù)法時(shí)，除了選含有一個(gè)約束條件的極值問(wèn)題去講解以外，最好也能講含有多個(gè)約束條件的例題,以便使學(xué)生明白Lagrange函數(shù)的做法.下面的例子就是一個(gè)典型的題目.例 設(shè)旋轉(zhuǎn)拋物面被平面截成一個(gè)橢圓,求此橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最長(zhǎng)與最短距離.分析 橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則它到原點(diǎn)的距離為.因點(diǎn)既在拋物面上又在平面上,所以該問(wèn)題是在約束條件,下,求目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值.解 為計(jì)算簡(jiǎn)便,令,

44、作拉格朗日函數(shù)解方程組 可得.這是兩個(gè)可能極值點(diǎn),由問(wèn)題的幾何意義知道,存在最小值與最大值.而.故原點(diǎn)到橢圓上的最長(zhǎng)距離為,最短距離為3典型例題例1.設(shè)，求分析：如果先求出偏導(dǎo)函數(shù)，再求，可以發(fā)現(xiàn)求運(yùn)算比較繁雜.因?yàn)橛龅降氖莾缰负瘮?shù)求導(dǎo)問(wèn)題。但若理解了偏導(dǎo)數(shù)定義問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單了. 因.例2. 證明函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù);但卻不連續(xù) 證 （1）因不存在，故在點(diǎn)(0, 0)處不連續(xù).（2）由偏導(dǎo)數(shù)定義，有=,同理可得，.故函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在該例表明：(1)盡管函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在,但并不能保證它在該點(diǎn)是連續(xù)的,這是二元函數(shù)與一元函數(shù)的重要區(qū)別之一.同時(shí)該例子也提示我們(2)二元分段(片

45、)定義的函數(shù)在分界點(diǎn)求偏導(dǎo)數(shù)仍然要用偏導(dǎo)定義求.例3 討論函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)處的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)的存在性解 因?yàn)?，故在點(diǎn)(0, 0)處連續(xù)但是,由于同理也不存在該例表明:二元函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在之間沒(méi)有因果關(guān)系例3 證明函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù),可偏導(dǎo)；但不可微.解 因 ，而，由無(wú)窮小與有界量乘積為無(wú)窮小知，故在點(diǎn)(0, 0)處不連續(xù).由偏導(dǎo)數(shù)定義，有=,同理可得，.故函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在若在原點(diǎn)可微分，則由微分定義知道應(yīng)有即 其中. 而 .于是 不存在，與假設(shè)矛盾.故該函數(shù)在原點(diǎn)處不可微分.由本例可知二元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),可偏導(dǎo),并不能保證函數(shù)在(0,0)處全微分不存在也說(shuō)明了偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，其線性組合未必就是微分dz.例4證明 函數(shù)在處可微,但偏導(dǎo)數(shù)在處不連續(xù).證 由定義容易知道,.而故在原點(diǎn)處可微.當(dāng)時(shí),有而不存在,所以偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處不連續(xù).,由對(duì)稱(chēng)性可知在處也不連續(xù).從該例