定積分的計(jì)算Word版

1、4 定積分的計(jì)算 由于定積分的計(jì)算基于求原函數(shù)（即不定積分）的計(jì)算，對應(yīng)于不定積分的換元積分法和分部積分法，定積分也有相應(yīng)的換元積分法和分部積分法，此時(shí)要注意積分上下限的處理。4.1 定積分換元法 定理4.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足： (1) 在區(qū)間上可導(dǎo)，且連續(xù)； (2) 當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上變化，且，則有 。 (4.1)證由假設(shè)知上式兩端的被積函數(shù)是連續(xù)的，因此，原函數(shù)存在。設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，用Newton-Leibniz公式，則。另一方面，。比較以上兩式得式(4.1)。 注 (1) (4.1) 式稱為定積分的換元公式，故稱為定積分的換元法； (2) 應(yīng)用公式(4.1

2、)時(shí)，換元要注意換積分限；換元后，不一定有，要注意上下限對應(yīng)關(guān)系，；(3) 換元的公式(4.1)從右到左進(jìn)行，即為湊微分方法； (4) 從結(jié)論(4.1)看到，在用換元積分法計(jì)算定積分時(shí)，一旦得到了用新變量表示的原函數(shù)后，立即用相應(yīng)的積分限代入，并求其差值就可以了。亦即不必作變量還原，再用原來積分限去計(jì)算定積分的值。這就是定積分換元法與不定積分換元法的區(qū)別。這一區(qū)別的原因在于不定積分所求的是被積函數(shù)的原函數(shù)，理應(yīng)采用與原來相同的自變量；而定積分的計(jì)算結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù)，它與計(jì)算過程中所采用的變量符號無關(guān)。421 / 19(5) 如果定理的條件中對只假定可積，但要求嚴(yán)格單調(diào)，那么(4.1)式仍然正

3、確。例4.1 計(jì)算定積分。 解 代換：，則；時(shí)，滿足定理?xiàng)l件，故 例4.2 計(jì)算定積分，其中。 解 例4.3 設(shè)是區(qū)間上連續(xù)的奇（或偶函數(shù)）函數(shù)，則 ， （ 。 ） 證 (1) 當(dāng)時(shí)，；(2) 當(dāng)時(shí)， 。注 (1) 此題的結(jié)論在今后定積分計(jì)算中可以直接應(yīng)用簡化計(jì)算偶、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分，如 。()； (2) 由此題我們可以體會(huì)到除了與不定積分換元法相同的計(jì)算作用外，定積分換元法在關(guān)于積分等式的一些證明題中具有奇妙的作用。 例4.4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，求證： (1) ； (2) ； (3) 。 證 (1) (2) (3) 移項(xiàng)后可得：。例4.4可以作為一個(gè)重要結(jié)論來使用，如 。 注 該

4、定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得，但利用換元法卻方便的計(jì)算出了它的結(jié)果。 例4.5 若為連續(xù)的奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)。 證 由條件，記，則 證得：是偶函數(shù)。 例4.6 設(shè)連續(xù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解 所以，。 例4.7 求證：。 證 4.2 分部積分公式 定理4.2 若函數(shù)在區(qū)間a，b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有定積分分部積分公式：。 (4.2)證 是在a，b上的一個(gè)原函數(shù)， ，移項(xiàng)后即得。注 定積分分部積分法與不定積分分部積分法使用范圍無差異，也就是說，在不定積分中需要用分部法的函數(shù)在定積分中仍要使用，它們僅在形式上有差異，即應(yīng)用定積分分部法時(shí)，應(yīng)注意積出部分要隨時(shí)代入上、下限，以化簡計(jì)算。 例4.8 計(jì)

5、算積分。 解 。例4.9 計(jì)算積分。 解 與不定積分中的情形一樣，令，則有 。例4.10 計(jì)算積分。 解 令則，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以。 例4.11 計(jì)算積分。 解 。 例4.12 計(jì)算積分。 解 。移項(xiàng)后可得：。 例4.13 計(jì)算積分。 解 。 例4.14 計(jì)算積分。 解 = ；解得 直接求得 ， 。于是， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 有 ； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 有 。從而有：； 以上可以作為重要結(jié)論來使用，如 ； ； 例4.15 計(jì)算積分，是自然數(shù)。 解 由公式，有 即 。 4.3 一題多解與綜合例題 例4.16 計(jì)算定積分。 解 例4.17 計(jì)算定積分。 解 ，故或 例4.18 計(jì)算定積分。 解 即 ；或 ，而

6、 ，從而 。 例4.19 設(shè)函數(shù)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：與無關(guān)。 證 此值與無關(guān)；或 此值與無關(guān)；或，設(shè)，則，即對于任意的值，；特取，此值與無關(guān)。 例4.20 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，證明，。 證 。移項(xiàng)并整理后可得：。 例4.21 設(shè)連續(xù)，且，證明：。 證 。 注 解此類問題要注意條件與結(jié)論之間的關(guān)系，要使條件能夠得到應(yīng)用，就必須將問題朝著有利于條件的方向轉(zhuǎn)化。 例4.22 設(shè)，求。 解 兩邊積分：； ； ；，所以 ； ；從而 。注 此題的關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)到是常數(shù)。 例4.23 設(shè)在連續(xù)證明：。證明 右邊 = 。4.4 Taylor公式的積分型余項(xiàng)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，令，則 。其中即為

7、的泰勒公式的階余項(xiàng)。由此可得，即為Taylor公式的積分型余項(xiàng)。 由于連續(xù)，在（或）上保持同號，故若應(yīng)用推廣的第一積分中值定理于積分型余項(xiàng)，可知，使得 。即為Lagrange型余項(xiàng)。如果直接利用積分第一中值定理與Taylor公式的積分型余項(xiàng)，則得 ，。由于 。因此又可把改寫成 ，。特別當(dāng)時(shí)，又有 ，。即上述兩個(gè)公式稱為Taylor公式的Cauchy型余項(xiàng)。4.5 積分第二中值定理 定理4.3(積分第二中值定理) 設(shè)在上可積。 (1) 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則，使得 。 (2) 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，使得 。證 （1）根據(jù)條件必有界，設(shè)，又是可積函數(shù)，從而有 ，這里是在上的振幅。此外，又

8、知也是可積的，設(shè)。對于分割，它能表示成如下兩個(gè)部分之和：。 對于，由于 ，因此有，從而當(dāng)時(shí)，也必有極限，而且。為了估計(jì)，令。又知是上的連續(xù)函數(shù)，且有和。所以 。由于且單調(diào)遞減，故。因此分別用的最小值與最大值代替上式中所有后，得到。從而又有 。 若，則由條件導(dǎo)致，此時(shí)滿足題意的可取上的任意值。 若，則可把的結(jié)果改寫成 。由連續(xù)函數(shù)的介值性，一定存在，使得，即。這就得到所要證明的結(jié)果。同理，可證得(2)成立。推論 設(shè)函數(shù)在上可積，函數(shù)在上單調(diào)，則，使得?！咀C明分析】 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，則對應(yīng)用定理4.3即得；若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對應(yīng)用定理4.3即得。練習(xí)6.41 計(jì)算下列定積分(1) ；

9、(2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) ；(11) ； (12) ；(13) ； (14) ；(15) ； (16) ；(17) ； (18) ； (19) ； (20) ； (21) ；(22) ； (23) ； (24) ； (25) ； (26) ； (27) ； (28) ； (29) ； (30) ； (31) ； (32) ； (33) ； (34) ； (35) ； (36) ； (37) ； (38) ； (39) ； (40) ； (41) ； (42) ； (43) ； (44) ； (45) ； (46) ； (4

10、7) ； (48) 。 2 已知 ， 求 。3 設(shè)函數(shù) = 計(jì)算。 4 設(shè)函數(shù)連續(xù)且有。 求積分 。 5 設(shè)是區(qū)間 上連續(xù)的偶函數(shù) 。 試證明 ： 是 上的奇函數(shù)。6 證明連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù)，連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)中有且只有一個(gè)為奇函數(shù)。7 設(shè)是周期函數(shù)且連續(xù)，周期為，證明： 其中是正整數(shù)。8 設(shè)在所示區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)，證明： (1) ； (2) 。9 計(jì)算下列定積分 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。10 計(jì)算下列積分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) 。11 計(jì)算積分，其中。 12 建立的遞推公式，并計(jì)算的值。 13 證明：。14 設(shè)在連續(xù)，且，求證： (1