因式分解 (2)

1、因式分解（復(fù)習(xí)）石花中心學(xué)校八年級數(shù)學(xué)組石花中心學(xué)校八年級數(shù)學(xué)組知識點(diǎn)1 因式分解的定義 把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個多項(xiàng)式分解因式 。X2-1 (X+1)(X-1)因式分解因式分解整式乘法整式乘法知識點(diǎn)2 提公因式法 多項(xiàng)式ma+mb+mc中的各項(xiàng)都有一個公共的因式m,我們把因式m叫做這個多項(xiàng)式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項(xiàng)的公因式m，另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法. 例如：x x2 2 x = x

2、(x-1) x = x(x-1)， 8a8a2 2b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1) b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1) x x2a2a探究交流 下列變形是否是因式分解？為什么?(1)3x(1)3x2 2y-xy+y=y(3xy-xy+y=y(3x2 2-x)-x)；(2)x(2)x2 2-2x+3=(x-1)-2x+3=(x-1)2 2+2+2；(3)x(3)x2 2y y2 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x(4)xn n(x(x2 2-x+1)=x-x+1)=xn+2n+2-x-xn+1n+1+x+xn n.

3、.提公因式錯誤，可以用整式乘法檢驗(yàn)其真?zhèn)? 不滿足因式分解的含義 因式分解是恒等變形而本題不恒等. 是整式乘法. 典例剖析 例例1 1 用提公因式法將下列各式因式分解用提公因式法將下列各式因式分解. .(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：解：(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y=xy=x3 3(-z+xy).(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)=(a-b

4、)(3x-2y)x x3 3+ (b-a)+ (b-a)- (a-b)- (a-b)(a-b)(a-b)小結(jié)小結(jié) 運(yùn)用提公因式法分解因式時，要注意下列問題：運(yùn)用提公因式法分解因式時，要注意下列問題： (1) (1)因式分解的結(jié)果每個括號內(nèi)如有同類項(xiàng)因式分解的結(jié)果每個括號內(nèi)如有同類項(xiàng)要合并，而且每個括號內(nèi)不能再分解要合并，而且每個括號內(nèi)不能再分解. .如：如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(4m-6n).=(x+y)(4m-6n).

5、=2(x+y)(2m-3n).=2(x+y)(2m-3n). (2) (2)如果出現(xiàn)像如果出現(xiàn)像(2)(2)小題需統(tǒng)一時，首先小題需統(tǒng)一時，首先統(tǒng)一統(tǒng)一, ,盡可能使統(tǒng)一的個數(shù)少，這時注意到盡可能使統(tǒng)一的個數(shù)少，這時注意到(a-b)(a-b)n n=(b-a)=(b-a)n n(n(n為偶數(shù)為偶數(shù)) ) 例如：分解因式例如：分解因式a(x-y)a(x-y)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2. . 本題既可以把本題既可以把(x-y(x-y) )統(tǒng)一成統(tǒng)一成(y-x(y-x) )，也可以把，也可以把(y-x(y-x) )統(tǒng)一成統(tǒng)一成(x-y(x-y),),但

6、比較而言把但比較而言把(x-y(x-y) )化成化成(y-x(y-x) )比較簡比較簡便，因?yàn)楸?，因?yàn)?x-y)(x-y)2 2=(y-x)=(y-x)2 2. .a(x-y)a(x-y)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2=a(y-x)=a(y-x)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2=(y-x)=(y-x)2 2a+b(y-x)+c =(y-x)a+b(y-x)+c =(y-x)2 2(a+by-bx+c).(a+by-bx+c). (3) (3)因式分解最后如果有同底數(shù)冪，要寫成因式分解最后如果有同底數(shù)冪，要寫成

7、冪的形式冪的形式. .例如：例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(8a-16b)=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)=8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2 2. .做一做 把下列各式分解因式把下列各式分解因式. .(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(2)4p(1-q)(2)4p(1-q)3

8、 3+2(q-1)+2(q-1)2 2；2(2a+b)2(2a+b)2 22(1-q)2(1-q)2 2(2p-2pq+1)(2p-2pq+1)或或2(q-1)2(q-1)2 2(2p-2pq+1)(2p-2pq+1)(2)(2)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2其中，其中，a a2 22ab+b2ab+b2 2叫做完全平方式叫做完全平方式. .例如：4x4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2 2 =(2x) =(2x)2 2-2-22x2x3y+(3y)3y+(3y)2 2=(2x-3y)=(2x-3y)2 2.知識點(diǎn)3 公式法

9、(1)(1)平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b=(a+b)(a-b).).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). 探究交流 下列變形是否正確？為什么？下列變形是否正確？為什么？(1)x(1)x2 2-3y-3y2 2=(x+3y)(x-3y)=(x+3y)(x-3y)；(2)4x(2)4x2 2-6xy+9y-6xy+9y2 2=(2x-3y)=(2x-3y)2 2；(3)x(3)x2 2-2x-1=(x-1)-2x-1=(x-1)2 2. . 目前在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解. 不是完全平方式，不能進(jìn)行分解 不是完全平方式，不能進(jìn)行分解

10、例例2 2 把下列各式分解因式把下列各式分解因式. .(1)(a+b)(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2 ； (2)1-10 x+25x(2)1-10 x+25x2 2； (3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9 -6(m+n)+9 解解:(1)(a+b):(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2=(a+b)=(a+b)2 2-(2a)-(2a)2 2做做一一做做 把下列各式分解因式把下列各式分解因式. .(1)(x(1)(x2 2+4)+4)2 2-2(x-2(x2 2+4)+1+4)+1； (2)(x+y)(2)(x+y)2 2-4(x+y-1).-4(x+y-1).

11、(1)(x(1)(x2 2 +3)+3)2 2(2)(x+y-2)(2)(x+y-2)2 2(2)1-10 x+25x(2)1-10 x+25x2 2(3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9=(m+n-3)-6(m+n)+9=(m+n-3)2 2. .=(a+b+2a)(a+b-2a)=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)=(3a+b)(b-a)=(1-5x)=(1-5x)2 2=1-10 x+(5x)=1-10 x+(5x)2 24a4a2 2(2a)(2a)2 2+2a+2a-2a-2a25x25x2 2(5x)(5x)2 2綜合運(yùn)用 例例3 3 分解因

12、式分解因式. .(1)x(1)x3 3-2x-2x2 2+x+x；(2)x(2)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-x)(y-x)解解:(1)x:(1)x3 3-2x-2x2 2+x+x =x(x=x(x2 2-2x+1)-2x+1)=x(x-1)=x(x-1)2 2(2)x(2)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-x)(y-x)x x =x =x2 2(x-y)-y(x-y)-y2 2(x-y)(x-y)=(x-y)(x+y)(x-y=(x-y)(x+y)(x-y) )=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2 2=(x-y)(x=(x-y)(x2 2-y-y2

13、2) ) 小結(jié)小結(jié) 解因式分解題時，首先考慮解因式分解題時，首先考慮是否有公因式，如果有，先提公因式；是否有公因式，如果有，先提公因式；如果沒有公因式是兩項(xiàng)，則考慮能否用如果沒有公因式是兩項(xiàng)，則考慮能否用平方差公式分解因式平方差公式分解因式. . 是三項(xiàng)式考慮用是三項(xiàng)式考慮用完全平方式，最后，直到每一個因式都完全平方式，最后，直到每一個因式都不能再分解為止不能再分解為止. . 探索與創(chuàng)新題 例例4 4 若若9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2是完全平方式，則是完全平方式，則k= k= 分析分析: :完全平方式是形如：完全平方式是形如：a a2 22ab+b2ab+b2 2即兩數(shù)

14、即兩數(shù)的平方和與這兩個數(shù)乘積的的平方和與這兩個數(shù)乘積的2 2倍的和倍的和( (或差或差).).9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2=(3x)=(3x)2 2+kxy+(6y)+kxy+(6y)2 2kxykxy=2=23x3x6y=36xy6y=36xyk=k=36 36 做一做 若若x x2 2+(k+3)x+9+(k+3)x+9是完全平方式，則是完全平方式，則k=_ k=_ k=3或k=-9 課堂小結(jié) 用提公因式法和公式法分解因式用提公因式法和公式法分解因式, ,會運(yùn)用因式分解解決計算問題會運(yùn)用因式分解解決計算問題. .各項(xiàng)有各項(xiàng)有“公公”先提先提“公公”，首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，

15、首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，某項(xiàng)提出莫漏某項(xiàng)提出莫漏“1”,1”,括號里面分到括號里面分到“底底”。自我評價 知識鞏固 1.1.若若x x2 2+2(m-3)x+16+2(m-3)x+16是完全平方式，則是完全平方式，則m=( ) m=( ) A.3A.3B.-5B.-5C.7. C.7. D.7D.7或或-1-12.2.若若(2x)(2x)n n-81=(4x-81=(4x2 2+9)(2x+3)(2x-3),+9)(2x+3)(2x-3),則則n=( )n=( ) A.2 A.2B.4B.4C.6C.6D.8D.83.3.分解因式：分解因式：4x4x2 2-9y-9y2 2=_.=_.4.4.已知已知x-yx-y=1,xy=2=1,xy=2，求，求x x3 3y-2xy-2x2 2y y2 2+xy+xy3 3的值的值. . 5.5.把多項(xiàng)式把多項(xiàng)式1-x1-x2 2+2xy-y+2xy-y2 2分解因式分解因式6.6.解方程組解方程組125422yxyx思考題思考題 分解因式分解因式(x(x4 4+x+x2 2-4)(x-4)(x4 4+x+x2 2+3)+10 +3)+10 分析分析: :把把x x4 4+x+x2 2作為一個整體，用一個作為一個整體，用一個新字母代替，從而簡化式子的結(jié)構(gòu)新字母代替，從而簡化式子的結(jié)構(gòu). . 解：令解：令x x4 4+x+x2 2