云南省保山曙光學(xué)校高二數(shù)學(xué)《不等關(guān)系與不等式（一）》教學(xué)設(shè)計

1、3.1.1不等關(guān)系與不等式（一）一、內(nèi)容及其解析（一）內(nèi)容：不等關(guān)系與不等式（二）解析：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用，這是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，也是不等關(guān)系在本章內(nèi)容的地位與作用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較的過程，即能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過程，這是學(xué)習(xí)本章第三節(jié)的基礎(chǔ).在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的學(xué)生易于處理的問題，用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)

2、工具研究不等關(guān)系的愿望，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的情感基礎(chǔ).教學(xué)重點 1.通過具體的問題情景，讓學(xué)生體會不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關(guān)系的問題；3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值.教學(xué)難點 1.用不等式或不等式組準確地表示不等關(guān)系；2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關(guān)系的實際問題.二、目標及其解析（一）目標：1.通過具體情境建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系；2.了解不等式或不等式組的實際背景；3.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題.（二）解析：1.采用探究法，按

3、照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學(xué)模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學(xué)；2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；3.設(shè)計較典型的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.三、問題診斷分析1.通過具體情境，讓學(xué)生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點進行觀察、歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進數(shù)學(xué)、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度；2.學(xué)習(xí)過程中，通過對問題的探究思考、廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣，主動、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；3.通過對富有實際意義問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學(xué)態(tài)度，同時

4、去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的簡潔美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.四、教學(xué)過程問題與題例師 日常生活中,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系.你能舉出一些例子嗎？生 實例1：某天的天氣預(yù)報報道，最高氣溫32，最低氣溫26.生 實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xaxb.(老師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖) 生 實例3:若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.實例4:兩點之間線段最短.實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(學(xué)生迫不及待地說出這么多,說明課前的預(yù)習(xí)量很充分,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣濃,此時老師應(yīng)給以充分的肯定和表揚)推進新課師 同學(xué)們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活，又

5、考慮到數(shù)學(xué)上常見的數(shù)量關(guān)系,非常好.而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標題不等關(guān)系與不等式,所舉的實例都是反映不等量關(guān)系,這將暗示我們這節(jié)課的效果將非常好.(此時，老師用投影儀給出課本上的兩個實例)實例6:限時40 km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.過程引導(dǎo)師 能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好,這說明同學(xué)們已經(jīng)走進了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說,能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學(xué)的人來說必

6、須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?生 可以用不等式或不等式組來表示.師 什么是不等式呢?生 用不等號將兩個解析式連結(jié)起來所成的式子叫不等式.（老師給出一組不等式-7-5；3+41+4；2x6；a+20;34.目的是讓同學(xué)們回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號“，”的含義，是或的關(guān)系.回憶了不等式的概念，不等式組學(xué)生自然而然就清楚了）師 能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過程，通過對不等式數(shù)學(xué)模型的研究，反過來作用于我們的現(xiàn)實生活，這才是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的.（此時，同學(xué)們已經(jīng)迫不及待地想說出自己的觀點.）合作探究生 我

7、們應(yīng)該先像實例2那樣用不等式或不等式組把上述實例中的不等量關(guān)系表示出來.師 說得非常好，下面我們就把上述實例中的不等量關(guān)系用不等式或不等式組一一表示出來.那應(yīng)該怎么樣來表示呢?（學(xué)生輪流回答，老師將答案相應(yīng)地寫在實例后面）生 上述實例中的不等量關(guān)系用不等式表示應(yīng)該為32t26.生 可以表示為x0.（此時，學(xué)生有疑問，老師及時點撥，可以畫出圖形.讓學(xué)生板演）（老師順便畫出三角形草畫）生 |AC|+|BC|AB|(只需結(jié)合上述三角形草圖).生 |AB|+|BC|AC|、|AC|+|BC|AB|、|AB|+|AC|BC|.生 |AB|-|BC|AC|、|AC|-|BC|AB|、|AB|-|AC|BC

8、|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.生 如果用v表示速度，則v40 km/h.生 f2.5%或p2.3%.生 這樣表達是錯誤的,因為兩個不等量關(guān)系要同時滿足，所以應(yīng)該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關(guān)系，即可以表示為生 也可表示為f2.5%且p2.3%.師 同學(xué)們看這兩位同學(xué)的觀點是否正確?師應(yīng)該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關(guān)系，也可以用“且”的形式來表達.課堂練習(xí)教科書第83頁練習(xí)1、2.(老師讓學(xué)生輪流回答，學(xué)生回答很好.此時，同學(xué)們已真正進入了本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài),老師再用投影儀給出課本上的三個問題.問題是數(shù)學(xué)研究的核心，以問題展示的形式來培養(yǎng)學(xué)生的問題意識與探究意識）【問題1】

9、設(shè)點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點.活動與探究師 請同學(xué)們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量關(guān)系.(此時,教室一片安靜,同學(xué)們在積極思考,時間較長,老師應(yīng)該及時點撥)方法引導(dǎo)師 前面我們借助圖形來表示不等量關(guān)系,這個問題是否可以?(可以讓學(xué)生板演，結(jié)合三角形草圖來表達)過點A作AC平面于點C，則d=|AC|AB|.師 這位同學(xué)做得很好,我們在解決問題時應(yīng)該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想,以形助數(shù),以數(shù)解形.師 請同學(xué)們繼續(xù)來處理問題2.【問題2】 某種雜志原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0.1元,銷售量就可能相應(yīng)減少2 000本.若把提價后雜志的定價設(shè)

10、為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?生 可設(shè)雜志的定價為x元，則銷售量就減少萬本.師 那么銷售量變?yōu)槎嗌倌兀咳绾伪硎?？?可以表示為萬本，則總收入為萬元.老師板書，即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為x20師 是否有同學(xué)還有其他的解題思路？生 可設(shè)雜志的單價提高了0.1n元，(nN *)，（下面有討論的聲音，有的同學(xué)存在疑問，此時老師應(yīng)密切關(guān)注學(xué)生的思維狀況）師 為什么可以這樣設(shè)？生 我只考慮單價的增量.師 很好，請繼續(xù)講.生 那么銷售量減少了0.2n萬本，單價為(2.5+0.1n)元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式，表示為(2.5+0.1n)(8-0

11、.2n)20.師 這位同學(xué)回答得很好，表述得很準確.請同學(xué)們對兩種解法作比較.（留下讓學(xué)生思考的時間）師 請同學(xué)們繼續(xù)思考第三個問題.【問題3】 某鋼鐵廠要把長度為4 000 mm的鋼管截成500 mm和600 mm兩種,按照生產(chǎn)的要求,600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式?師 假設(shè)截得500 mm的鋼管x根，截得600 mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應(yīng)當(dāng)有什么樣的不等量關(guān)系呢？生 截得兩種鋼管的總長度不能超過4 000 mm.生 截得600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管的3倍.生 截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負.師 上述的三個不等關(guān)系

12、是“或”還是“且”的關(guān)系呢？生 它們要同時滿足條件，應(yīng)該是且的關(guān)系.生 由實際問題的意義，還應(yīng)有x,yN.師 這位同學(xué)回答得很好，思維很嚴密.那么我們該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關(guān)系呢？生 要同時滿足上述三個不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：師 這位同學(xué)回答很準確.通過上述三個問題的探究，同學(xué)們對如何用不等式或不等組把實際問題中所隱含的不等量關(guān)系表示出來，這一點掌握得很好.請同學(xué)們再完成下面這個練習(xí).課堂練習(xí)練習(xí)：若需在長為4 000 mm的圓鋼上，截出長為698 mm和518 mm兩種毛坯，問怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組?分析：設(shè)截出長為698 mm的毛坯x個和截出長

13、為518 mm的毛坯y個，把截取條件數(shù)學(xué)化地表示出來就是：（練習(xí)可讓學(xué)生板演，老師結(jié)合學(xué)生具體完成情況作評析，特別應(yīng)注意x0,y0,x,yN）課堂小結(jié)師 通過今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識，有何體會？生 我感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決生活中的實際問題.生 數(shù)學(xué)就在我們的身邊，與我們的生活聯(lián)系非常緊密，我更加喜愛數(shù)學(xué)了.生 本節(jié)課我們還進一步鞏固了初中所學(xué)的二元一次不等式及二元一次不等式組，并且用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關(guān)系的實際問題.師 我來補充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式組表示實際問題中的不等關(guān)系時，思維要嚴密、規(guī)范，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用.（慢慢培養(yǎng)學(xué)生

14、學(xué)會自己來歸納總結(jié)，將所學(xué)的知識，結(jié)合獲取知識的過程與方法，進行回顧與反思，從而達到三維目標的整合.進而培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語言表達能力）布置作業(yè)第84頁習(xí)題3.1A組4、5.一、備用習(xí)題1.一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料需要的主要原料是磷酸鹽4噸、硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸、硝酸鹽15噸.現(xiàn)有庫存磷酸鹽10噸、硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上進行生產(chǎn).請用不等式或不等式組把此實例中的不等量關(guān)系表示出來.分析：設(shè)x,y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，則2.某年夏天，我國遭受特大洪災(zāi)，災(zāi)區(qū)學(xué)生小李家中經(jīng)濟發(fā)生困難.為幫助小李解決開學(xué)費用問題

15、，小李所在班級學(xué)生（小李除外）決定承擔(dān)這筆費用.若每人承擔(dān)12元人民幣，則多余84元；若每人承擔(dān)10元，則不夠；若每人承擔(dān)11元，又多出40元以上.問該班共有多少人？這筆開學(xué)費用共多少元？請用不等式或不等式組把此實例中的不等量關(guān)系表示出來，不必解答.分析：設(shè)該班共有x人，這筆開學(xué)費用共y元，則.3.制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.請用不等式或不等式組把此實例中的不等量關(guān)系表示出來.分析：設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目，由題意，知4.某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，A