高等幾何課后答案

1、高等幾何課后答案（第三版）第一章 仿射坐標(biāo)與仿射變換1. 經(jīng)過(guò)A（-3,2）和B（61）的直線AB與直線+ 3y-6 = 0相交于P點(diǎn)，求（ABP）=?1直線AB的方程為+9-15 = 0：P點(diǎn)的坐標(biāo)為住,寺）：（ABP = -1.2. 求一仿射變換，它使直線r+2y-l= 0上的每個(gè)點(diǎn)都不 變，且使點(diǎn)（1,-1）變?yōu)辄c(diǎn)（-12）.2. 在H線 x+2y-l=0 上任取兩點(diǎn) A（1.0）.B（-l.l）.rtl于 A （1.0）-*A（1.0）. B（- 1.l.D.X 點(diǎn)（I, - 1）Q1.2）.仿射變換式”皿+ “小可解得所求為3求仿射變換（才 =7x 一 y+ 1 y =4x + 2y

2、 + 4 的不變點(diǎn)和不變直線.3不芟點(diǎn)為（-1.-2）.不變點(diǎn)線為2工-2y-3二0與4z-y = 04 問(wèn)在仿射變換下，下列圖形的對(duì)應(yīng)圖形為何？菱形;正方形；梯形；等腰三角形.4.（1）半行四邊形：2）半行四邊形；G）梯形；（4）三角形.5. 下述性質(zhì)是否是仿射性質(zhì)？ 三角形的三離線共點(diǎn); 三角形的三中線共點(diǎn);三角形內(nèi)接于一一角的平分線上的點(diǎn)到兩邊等距.5. （2）為仿射性質(zhì)，其余皆不是.第二章射影平面習(xí)題一I. 下列形具有射影性質(zhì)？平行宜找；三點(diǎn)共線；三私線的距真；兩宜冬的夾角；兩相籌 線段1. 答：（2）、（3）具有射影性質(zhì).2. 求證：任意四邊形可以射夠成平行四邊形.2捉示:將四邊形兩

3、對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)連線取作影消線，作中 心射影即紂.3左平面a上有一定直拔P以0為射心投射利平面J上得到玄線 /.求證當(dāng)O變動(dòng)時(shí)丿通過(guò)一定點(diǎn).3提示8平面（O*人（O.P）,皆交于口線枷它們與平面/的交 線為/； 如果p與/交于點(diǎn)卩則p；p； 都通過(guò)點(diǎn)P. 如果P是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)則/；，；彼此平行.4. 設(shè)三直錢(qián)P.Pj.Q.Qi.RiJli交于一點(diǎn)SP,PQQ_R,R分別 交二直線/八厶于PQ, R與竹Q八求證：直線P.Qi P：Qi的 交點(diǎn)QR?與QE 的交A.KiP：與R,P.的交點(diǎn)三點(diǎn)共線，且4.提示：如圖2-2-2可以選収射形中心V與另平面將OS 一：點(diǎn)射影成半 面F上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).如圖22-3,

4、這時(shí) SN皆為半行四 邊形的對(duì)角線交點(diǎn)，容易證明它們共線且所共力線與“；平行, 根據(jù)結(jié)合性是射影性質(zhì)，所以LM，N共線，且此線與 /M/2共點(diǎn).泄理，必有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn).SO = CMPX DR = B因?yàn)閄RC共線,根據(jù)德薩格定理的逆 研究三點(diǎn)形IQ和RSD,對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)PQ x RS = X,QAx 6.提示:如團(tuán)2-2-5.6.ABCD是PUlf體，點(diǎn)X在BC上一直線通過(guò)X分別交AB.AC于幾 Q,另一直線通過(guò)X,分別交DB.DC于R,S.求證屮R與QS交于AD.5試用戀伊格定理證明：任就四邊形各對(duì)對(duì)邊申點(diǎn)的連線與二對(duì)角線 中點(diǎn)的謹(jǐn)找相交于點(diǎn).5. 提從如閻2-2-4設(shè)兩邊形AliCl

5、)網(wǎng)邊中點(diǎn)依次為E. FG. H,對(duì)角線AC、D的中點(diǎn)是P,Q研究三點(diǎn)形PEH和QGF,利 用徳詳格定理的逆定理，可以證明其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線EG.FH.PQ 共點(diǎn).習(xí)題二1.試求下列諸點(diǎn)的齊次坐標(biāo)先寫(xiě)出所有組，再任選一組.(1) (0,0)jt.0).(0.1),(2.-y);(2) 3*y = 0上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；(3) 塑標(biāo)軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).1.答：2)t(0J,0).(0.43).(1.4.0).2答，、，八J2.-4)俘,-半)無(wú)，(0申無(wú).3當(dāng)正負(fù)號(hào)任棗選取時(shí)問(wèn)(1士1.1)養(yǎng)示幾，相異點(diǎn)？3答：四個(gè)相異點(diǎn).4求卩列各克線的齊次線坐標(biāo)：0)點(diǎn)(0l 1)點(diǎn)習(xí)題三點(diǎn)(2,1,0),兩點(diǎn)(h -4

6、,0)和(b-b0).(1)兩直線必交于點(diǎn);2.答：2.寫(xiě)出下列由題的對(duì)偶令題.(1)兩點(diǎn)決定一宜線；2 + iJ)Xl-i-bl).2求證:三點(diǎn)(l.-i.0).(lJt0).(l,-l.0)共線將愛(ài)后一點(diǎn)的坐標(biāo)表 示為前兩點(diǎn)的線性組合.2設(shè) a(l -i.0).6(bi.0)c0)(b-i0)(1.2il.(-B2. -1).習(xí)題一3解:P產(chǎn)尺+匕,設(shè)巴二匕+ AP3 3設(shè) P.Ci J- J j).p4(i,o.i)i線三點(diǎn)且(P,巴.P、幾)=2求P、的坐標(biāo).I. 設(shè)A.B.C.D.E為共線五點(diǎn)求 (AB,CD)-(AB.DE)-(AB.EC)= 1.I.證明：(AH. CD)* (A

7、H.DE)* (AH. EC)SBC).(/WQ).(ABE)- (ABD)(AB E) TABCT_12. 若.4(2.1.-1).B H)可寫(xiě)為 C = A + H.D=2A-3H.可寫(xiě)為 D = A-yH.所以(ABCD)= -千WJ A=2. 所以所求為 P(3-13)4. 巳知立線件厶仁的方程分別為2| +才2 一 0.才| _ z, (P.P-P/JIPiPPg P.2(PP_P、PJ(P, P3P9匕“ (2 tt*P5Pj*(P：P.P4Pl).JH(P|PJMP,p4 -1.5. 證明(1) 與第1題類(lèi)似，根據(jù)定義i明.(2) (P, P、9I P4)=1- (PR Py P

8、4)=|- (IPy IPWE 77訂知?T 所以) = 1因?yàn)閚、匕込不同的點(diǎn).所以(PIPMP2P4)= - I.8.如圖3-12.AB為KOS徑C為ABMK線上一點(diǎn).CM為18的切為切點(diǎn)*證M在AB上的射是C關(guān)于A的調(diào)和共純點(diǎn).證法一：MB.是ZCMH的內(nèi)外角平分線（圖2-3-1）.根據(jù)廉書(shū)第三章1例懸6得（AB.HCJ）= - I.證法二:先證明命題:設(shè)（ABCD）= -bO為CD之中點(diǎn)則 （X，= OA OB 反之亦真在本題中町以先證明OA2 = OH OC 利用上述甜題即可得證.9.已的方程分別為2x - * 1竺0.3 +20.7工-，=0.5工 1 = 0, 求證四jfl疑共點(diǎn)

9、并求(/.GJ/J.9.答：(/B /2,/5/4) = 1.12.己知四直線：/= kix bt6 ty- *x + b、共點(diǎn)總第需羽12.捉応過(guò)原點(diǎn)作分別與此阿血線平行的N線得：，=點(diǎn)2才即才2 = *2工1/；:V二虹八即丁2 =去斗/：即才2 =爲(wèi)才g.選基線 at .r* = 0 6 ： .r | = 0 W /1 ： a - k、b g a虹 bl、t（匕-（2 匕） （怡一點(diǎn)丿（； 2如果三點(diǎn)形ABC的邊BC.CA.AB分別通過(guò)在同一直線的三點(diǎn)P.Q.R.又頂點(diǎn) 乩（？各在一條定直線上.求證：頂點(diǎn)A也在一條定直線上. 因此（ABC）=（A7C?）又I上的P,對(duì)應(yīng)Y上的卩：，所以（

10、AB, CPw） =（j B，, CP：）,B,C是直線/上的任意三點(diǎn)，其射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)是廠上的A,B,C,1捉示:I大I為仿射對(duì)應(yīng)是保持共線三點(diǎn)的單比不變的，設(shè)A,習(xí)題二1. 求證：如果一維射彭對(duì)應(yīng)使直線1上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)直線匸上的無(wú) 窮遠(yuǎn)點(diǎn)則這個(gè)對(duì)應(yīng)一定是仿射討應(yīng).2. 證明：如圖設(shè)三點(diǎn)形A.B.C.是滿足條件的另三點(diǎn)形，則有!“）頭（C.Q .） PtB.B, .-）AR （C. C,）因?yàn)镻Q與RQ是同 n線，即PR是自對(duì)應(yīng)元緊故有卩（/）天R（C,）所以對(duì)應(yīng)“線的交點(diǎn)A人 共線*3. tfliR點(diǎn)（P） a （P ）.tt底匚廠交于O A.*i：PP；與 Pf ：的 交點(diǎn)X的軌連昆-條克

11、的L3. 證明：如果（）是n對(duì)應(yīng)點(diǎn)則心）天廠（廠） 所以DP；通過(guò)透視中心（定點(diǎn)幾如圖2-3 9. 因?yàn)関ox是完全四點(diǎn)）WP：P：的對(duì)邊三點(diǎn)形故有:（/OVQY）= - I由于直線l.r.OV是固定的所以O(shè)X是一條囲定直線.如果（）不是門(mén)對(duì)應(yīng)點(diǎn)設(shè)O作為/上的點(diǎn)時(shí)Of VW在/ 上）O作為廠上的點(diǎn)時(shí)Uf 0如圖2-3- 10.則右（OUPJ）= （vzo./r.r；）=（om）由此得到o點(diǎn)n對(duì)應(yīng)所以（o U. P,）天（o. v p： p；）故得三直線 UV P： 1少；共 點(diǎn)，而fi線uv是同定的所以Pf：與巧匕的交點(diǎn)x在同定的fi 線UW上.Pi4. 證明：任童一條不通過(guò)覽全四點(diǎn)形頂點(diǎn)的直

12、線與完全四點(diǎn)形的三對(duì)妨邊的交A.AS于同一對(duì)合的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)fi線I與完金四亞形ABCD的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)為P. P ：Q.Q tR.R 在/ 上/P .QW為(“ Q.R)天(P.E.AeH)天(P.m.Q).所以這是個(gè)射彤變換.(/71 .QZR)= (PP.RQ) WllQRm兒 QR) 根辦定理2.4知這射莎變換是一個(gè)對(duì)介.習(xí)題三答：齊次坐標(biāo)式-4 jg +牡丄3才| - 4比1設(shè)百線/上的點(diǎn)P1(O),P,(1),P,(2)經(jīng)射影對(duì)應(yīng)順次對(duì)應(yīng)廠上的 點(diǎn)P；(- i).P/z(0).P(-2).求射影對(duì)應(yīng)式并化為齊次坐標(biāo)式求出/上 的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).非齊次坐標(biāo)式:八務(wù)/(10)f P(-

13、4.3)P(43)f P：(bO)2.求HO. I到自身的射形變検式後P,(O)P*(I)P分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)(2)aAAz + /9(A + Az)+ y=0.5. 答：(1)2AA-5(入+ 入)+ 12 = 0：5. 求對(duì)合的方程這個(gè)對(duì)合的二強(qiáng)元索的參數(shù)為:(1) 2 與 3$(2) 方程川+ 2円十了 = 0的根.3已知Qr箱上的射形變仗式為試求坐標(biāo)原點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).3. 答z（01）f（-1.3）.（lO）f（21）4. 求以彫変抉的自對(duì)應(yīng)元:的參敦:（1）U -2A + IO：（2）240(I)1:1.(2)-y：00.(3)2:3.6. 已知對(duì)舍的兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的參敗為：3-2,5-!.

14、試求對(duì)合的方程和二載點(diǎn)的巻敗6. 答：Ut （A Az）- I =0. - I 2療習(xí)題四I.形變Ift使點(diǎn)(UOj)9(OJJ)(ltlrl)XO04)次對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1.0.0).(0.1.0).(0.0J),(hl.1).1. 答:所求變換式為： = 0 折構(gòu)成的二階曲線的方模.7. 解:兩射影線束町以寫(xiě)為:習(xí)題二習(xí)題三1.寫(xiě)出布利安桑定理的逆定理并加以證明. 提示：利用一.級(jí)曲線的射影定義.3. 給定二階曲線上六個(gè)點(diǎn)，可以產(chǎn)生多少條帕斯卡線？對(duì)偶 地，對(duì)于二級(jí)曲線情況如何？3.捉示:利用A,AMaA4AsA6六個(gè)元素的環(huán)狀扌岸列的性質(zhì) 及A.A,/與A6 A.A.A.A.A示同選収因此已 知

15、六點(diǎn)形能決定民 =60條帕斯卡線.對(duì)偶地，對(duì)于:級(jí)曲線的 外切六邊形也育60個(gè)布利安桑點(diǎn).4巳知射彭平面上的五個(gè)點(diǎn)（無(wú)三者共線），利用帕斯卡定 理，求作其中一點(diǎn)的切線.4. 解：設(shè)-階曲線S上的I個(gè)點(diǎn)為試作點(diǎn)的切線如圖2-5-2.作A| A x AA、= P.A、Ax A/, = Q A2Ay x PQ = R.則A, R為二階曲線的切線.5.在內(nèi)接于圓的兩個(gè)三點(diǎn)形A和A7rr中設(shè)AB X A73 = P，BC x B（ = Q，（W x C A 二 R，證明 P、Q、R 三點(diǎn)# 線.5.捉示:將二三點(diǎn)形之頂點(diǎn)扌II：列次序?yàn)锳BCAJTCS圓為二 次曲線，山帕斯卡定理可知P. Q. R三點(diǎn)共

16、線.6. 證明帕斯卡定理的逆定理.6. 捉示:利用二階曲線的射影定義.1. 思考：若直接從二級(jí)曲線出發(fā)，如何考慮極點(diǎn)極線的槪念 及求法？1. 捉示用對(duì)偶原則可先討論n線的極點(diǎn).2. 證明定理3.5推論3: 5殳PA PH為二階曲線的切線，若 其中A.B為切點(diǎn)，則AH為P點(diǎn)的極線.2. 提示:用配極驗(yàn)則證明.3已知一條直線求作”關(guān)于二階曲線的極點(diǎn).3捉昴在”上任取：點(diǎn).作它們的極線的交點(diǎn)4. 已知二階曲線上一點(diǎn)卩，求作P點(diǎn)的極線.4. 捉示:過(guò)P任作-直線，作出此直線的極點(diǎn).5已知二階曲線（C）:2” + 4|工2 + 6.rt + x =0（1）求點(diǎn)P（l,2）關(guān)于（C）的極線；（2）求克線小=0關(guān)于（C）的極點(diǎn).5. 答： 7xg +2r2 +6xa =0：（2）（2.6,刀.6. 求點(diǎn)（5,1,7）關(guān)于二階曲線：2x + 3x + 才：一 6才！工2 一2工|乂）- 4x2x3 =0 的極線.6. 答：x, = 0.7. 設(shè)AHCD是二階曲線的內(nèi)接四點(diǎn)形，XYZ是對(duì)邊三點(diǎn)形 求證H.C處的切線交在YZ克線上處的切線也交在YZ 直線上.7. 捉示：設(shè)、C處的二切線交于P則P的極線是C,而 BCx AD=X所以X的極線必過(guò)P點(diǎn)乂知對(duì)邊三點(diǎn)形XYZ是 fl極的，即X的極線圧YZ，所以P在YZ上，同理可證A、D處的 切線也交在丫