概率論的基本概念習(xí)題及答案W

1、第一章 隨機變量習(xí)題一主要知識點：事件的互不相容（互斥）、獨立的概念；加法公式、乘法公式；全概率公式及逆概率公式及其應(yīng)用 典型習(xí)題：同步練習(xí)一：2、12、14、21、22、29、30、312、互不相容事件與對立事件的區(qū)別何在？說出下列各對事件的關(guān)系(1)與 互不相容 (2)與 對立事件(3)與 互不相容 (4)與 相容事件(5)20個產(chǎn)品全是合格品與20個產(chǎn)品中只有一個廢品 互不相容(6)20個產(chǎn)品全是合格品與20個產(chǎn)品中至少有一個廢品 對立事件 解: 互不相容:;對立事件 : 且12.(1)設(shè)事件A , B的概率分別為 與 ，且A 與 B 互斥，則 = . A,B互拆,則,所以(2).一個盒

2、中有8只紅球，3只白球，9只藍球 ，如果隨機地無放回地摸3只球，則取到的3只都是紅球的事件的概率等于 _(3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果從每只袋中各摸一只球 ，則摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率等于 _ (4) .設(shè) A1 , A2 , A3 是隨機試驗E的三個相互獨立的事件， 已知P(A1) = a , P(A2) = b，P(A3) = g ，則A1 , A2 , A3 至少有一個 發(fā)生的概率是 1-(1-a)(1-b)(1g) . (5) 一個盒中有8只紅球，3只白球，9只藍球，如果隨機地無放回地摸3只球， 則摸到的沒有一只是白球的事件的

3、概率等于 _14、兩射手同時射擊同一目標，甲擊中的概率為0.9，乙擊中的概率為0.8，兩射手同時擊中的概率為0.72，二人各擊中一槍，只要有一人擊中即認為“中”的， 求“中”的概率.解:“甲中”，“乙中”21、市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率為95%，乙廠的合格率是80%若用事件、分別表示甲、乙兩廠產(chǎn)品，B表示合格品 試寫出有關(guān)事件的概率. (1) 70%(2) 30% (3) 95%(4) 80% (5) 5% (6) 20%22、袋中有10個球，9個是白球，1個是紅球，10個人依次從袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，問第一人，第二人，最后一人取得

4、紅球的概率各是多少？解:設(shè)第i個人取得紅球的事件,則為第i個人取得白球的事件，顯然 , 同理29、設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋裝有n只白球，m只紅球；乙袋中裝有N只白球，M只紅球，今從甲袋中任取一只球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球，問取到白球的概率是多少？ 解：設(shè)表示從甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，表示從甲袋中任取一只紅球放入乙袋中的事件，表示從甲袋中任取一只球放入乙袋后再從乙袋中取一只白球的事件，所求事件 由全概率公式：易知：于是30、某工廠由甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)品占全廠產(chǎn)品的比例 分別為25%,35%,40%；并且它們的廢品率分別是5%,4%,2% (1)今從該廠產(chǎn)

5、品中任取一件問是廢品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件產(chǎn)品是廢品，問它最大可能是哪個車間生產(chǎn)的？解：設(shè)“所取出的一件產(chǎn)品是廢品”，“產(chǎn)品系甲車間生產(chǎn)”，“產(chǎn)品系乙車間生產(chǎn)”， “產(chǎn)品系丙車間生產(chǎn)”已知,(1)由全概率公式：(2)由貝葉斯公式：所以，所取出的一件廢品最大可能是乙車間生產(chǎn)的.31、如圖1,2,3,4,5表示繼電器接點假設(shè)每一繼電器接點閉合的概率為，且設(shè) 各繼電器接點閉合與否相互獨立，求至是通路的概率.13245LR解: 設(shè)為第i只繼電器閉合的事件，為有電流從L流向R的事件，已知顯然 故32、在18盒同類電子元件中有5盒是甲廠生產(chǎn)的，7 盒是乙廠生產(chǎn)的，4盒是丙廠生產(chǎn)的，其余是

6、丁廠生產(chǎn)的，該四廠的產(chǎn)品合格品率依次為0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 現(xiàn)任意從某一盒中任取一個元件，經(jīng)測試發(fā)現(xiàn)是不合格品， 試問該盒產(chǎn)品屬于 哪一個廠生產(chǎn)的可能性最大 ？解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒產(chǎn)品屬于甲，乙 ，丙 ，丁廠生產(chǎn) ” B ：“ 所取一個元件為不合格品 ” 則 ， ， ， ， ， ， 由全概率公式 : = 由貝葉斯公式 :故該盒產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)的可能性最大33、甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4, 0.5, 0.7飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6若三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊

7、落的概率.解：設(shè)表示“恰有i人擊中飛機”，為飛機被擊落，同理 易知，由全概率公式第2章一維隨機變量 習(xí)題2主要知識點：離散隨機變量分布律的性質(zhì)；分布函數(shù)的性質(zhì)；常見分布的分布律、密度、分布函數(shù)。典型習(xí)題：同步練習(xí)二：一、2,5,6,8；二、3,9,13,16，20,28一. 填空題：2.設(shè) 隨機變量 x 的分布函數(shù)為 ,則 P 0x1 = _. 解： P 0x1 = 5 設(shè)隨機變量 x 的分布律是 則 = 0.8 。解： 令 得 6.若定義分布函數(shù)， 則函數(shù) F(x)是某一隨機變量x 的分布函數(shù)的充要條件是 單調(diào)不減 ，函數(shù)右連續(xù) ,且 F( ) = 0 ， F ( + ) = 18. 設(shè) ，

8、記x 的概率密度為j( x ) ，分布函數(shù)為，則 0.5。,二. 計算題：3、(1)設(shè)隨機變量X的分布律為：為常數(shù)，試確定常數(shù).(2)設(shè)隨機變量X的分布律為：，試確定常數(shù).解: (1) 因，故 (2) 9、設(shè)某批電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對這批電子管進行測試，只要測得一個正品，管子就不再繼續(xù)測試，試求測試次數(shù)的分布律.解：設(shè)測試次數(shù)為，則隨機變量的可能取值為：，當時，相當于前次測得的都是次品管子，而第k次測得的是正品管子的事件，13設(shè)X服從泊松分布，且已知，求解：，由，得，16. 已知連續(xù)型隨機變量x 的概率密度為 且知x在區(qū)間( 2，3 )內(nèi)取值的概率是在區(qū)間( 1，2 ) 內(nèi)取值的概率的

9、二倍 ，試確定常數(shù)A ，B 。解：由條件 即 知 有 又 由 即 解 得 A = ，B = 20、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為求(1)常數(shù)A,B，(2)，(3)概率密度解: (1)（0=，(2)，(3)21、某種型號的電子管壽命X(以小時計)，具有如下概率密度： 現(xiàn)有一大批此種電子管(設(shè)各電子管損壞與否相互獨立)，任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？并求.解：設(shè)使用壽命為x小時，所求事件的概率：再求28、設(shè)，求(1)的概率密度；(2)的概率密度；(3)求的概率密度解：(1)設(shè)。注意是單調(diào)可微函數(shù),所在可應(yīng)用相應(yīng)的定理 即(2)，當時，Y的分布函數(shù)非零，當時，Y的概率密

10、度即(3)，當時，Y的分布函數(shù)當時，(當時，)，的概率密度第三章 多維隨機變量及其分布主要知識點：離散隨機變量聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系；聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的關(guān)系；常見分布的聯(lián)合分布與邊緣分布；隨機變量獨立性的判定及應(yīng)用。典型習(xí)題：同步練習(xí)三：一、5,6,8，10；二、6,8,9,10,11一、填空題5、設(shè)隨機變量的概率密度為，則 .6、隨機變量的分布如下，寫出其邊緣分布.01231003007、設(shè)是的聯(lián)合分布密度，是的邊緣分布密度，則 1 .8、二維正態(tài)隨機變量，和相互獨立的充要條件是參數(shù) 0 .10、設(shè)相互獨立，則的聯(lián)合概率密度 ，的概率密度 .二、證明和計算題6、設(shè)隨機變量的密

11、度函數(shù)為 (1)確定常數(shù)，(2)求的分布函數(shù)，(3)求。解：(1)，所以。(2)，或(3)8、設(shè)隨機變量在矩形區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，(1)求聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度. (2)問隨機變量是否獨立？解：(1)根據(jù)題意可設(shè)的概率密度為于是，故即即(2)因為，故與是相互獨立的.9、隨機變量的分布函數(shù)為，求：（1）邊緣密度；（2）驗證X,Y是否獨立。解：（1）， . , (2) 因為，故與是相互獨立的.10、一電子器件包含兩部分，分別以記這兩部分的壽命(以小時記)，設(shè)的分布函數(shù)為(1)問和是否相互獨立？ (2)并求解：(1)易證，故相互獨立.(2)由(1)相互獨立11、設(shè)隨機變量(x , h)的分布函數(shù)

12、為 。求：( 1 ) 系數(shù)A , B及 C的值 ，( 2 ) (x , h)的聯(lián)合概率密度 j(x , y)。解：( 1 ) 。 由此解得 ( 2 ) 第4章 隨機變量的數(shù)字特征主要知識點：期望、方差的定義與性質(zhì)；常見分布的分布參數(shù)與期望和方差的關(guān)系；期望和方差的計算；協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的計算；不相關(guān)與獨立的區(qū)別與聯(lián)系。典型習(xí)題：同步練習(xí)四：一、3,4,6,9,10；二、3, 5，9,11，15,16,17一、填空題3、已知隨機變量服從二項分布，且，則二項分布的參數(shù)n= 6 , p= 0.4 .4、已知服從，則. = 1 ,= 1/2 .6、設(shè)相互獨立，則協(xié)方差 0 .這時，之間的相關(guān)系數(shù) 0

13、.9、若，且相互獨立，則 36 .10、若為常數(shù)，則.二、計算題3、設(shè)的密度函數(shù)為，求、 解: 故 5、設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)求 、.解: 為連續(xù)型隨機變量，所以 為連續(xù)函數(shù).可解得; ,的概率密度 =0令 ，則 123-10.20.1000.100.310.10.10.19、設(shè)的分布律為求 .解: 11、設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為 , 求. 解: ： =.15、設(shè)區(qū)域為，二維隨機變量服從上的均勻分布，判斷、 的相關(guān)性、獨立性.解: 顯然，二維隨機變量的概率密度函數(shù)為所以 因此 同樣可得 又所以 故、不相關(guān)，但由于所以與不相互獨立.16、設(shè)隨機變量和的聯(lián)合分布律為 驗證不相關(guān)，但不相互獨立.證

14、：因為 所以 故不相關(guān).又 ， 所以 . 故不相互獨立.17、設(shè)隨機變量具有概率密度求.解： 由的“對稱性”可得 .又 所以 .又 由的“對稱性”可得 所以 故 第五章 典型習(xí)題主要知識點：切比雪夫不等式條件與結(jié)論；大數(shù)定律的條件與結(jié)論；中心極限定理的條件與結(jié)論典型習(xí)題：同步練習(xí)五：一、1，3, 4，5,10；二、2, 4,10,121.設(shè)隨機變量，方差，則由切比雪夫不等式有 .3. 設(shè)隨機變量相互獨立且同分布, 而且有, , 令, 則對任意給定的, 由切比雪夫不等式直接可得 .解：切比雪夫不等式指出：如果隨機變量滿足：與都存在, 則對任意給定的, 有, 或者由于隨機變量相互獨立且同分布, 而

15、且有 所以4. 設(shè)隨機變量X滿足：, 則由切比雪夫不等式, 有. 解：切比雪夫不等式為：設(shè)隨機變量X滿足, 則對任意 的, 有由此得5、設(shè)隨機變量，則 .10. 設(shè)供電站電網(wǎng)有100盞電燈, 夜晚每盞燈開燈的概率皆為0.8. 假設(shè)每盞燈開關(guān)是相 互獨立的, 若隨機變量X為100盞燈中開著的燈數(shù), 則由切比雪夫不等式估計, X落 在75至85之間的概率不小于. 解：, 于是二2、一通信系統(tǒng)擁有50臺相互獨立起作用的交換機. 在系統(tǒng)運行期間, 每臺交換機能清晰接受信號的概率為0.90. 系統(tǒng)正常工作時, 要求能清晰接受信號的交換機至少45臺. 求該通信系統(tǒng)能正常工作的概率.解：設(shè)X表示系統(tǒng)運行期間

16、能清晰接受信號的交換機臺數(shù), 則由此 P(通信系統(tǒng)能正常工作)4、某校共有4900個學(xué)生, 已知每天晚上每個學(xué)生到閱覽室去學(xué)習(xí)的概率為0.1, 問閱覽室 要準備多少個座位, 才能以99%的概率保證每個去閱覽室的學(xué)生都有座位.解：設(shè)去閱覽室學(xué)習(xí)的人數(shù)為, 要準備k個座位.查分布表可得10計算機在進行加法計算時，把每個加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計算，設(shè)所有取整誤差是相 互獨立的隨機變量，并且都在區(qū)間0.5，0.5 上服從均勻分布，求1200個數(shù)相加時誤 差總和的絕對值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：設(shè) x1， x2 ，xn 表示取整誤差, 因它們在 0.5 ，0.5 上服從均勻分布 ， 故 有 根據(jù)同分布的中心要極限定理 ， 得 =( 1 ) (1 ) = 2 ( 1 )1= 2 0.84131 = 0.682612 .有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的