橢圓綜合題總結(jié)

1、 橢 圓一、直線與橢圓問題的常規(guī)解題方法:1.設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=my+n 的區(qū)別） 2.設(shè)交點坐標；（提醒:之所以要設(shè)是因為不去求出它,即“設(shè)而不求”） 3.聯(lián)立方程組； 4.消元韋達定理；（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單） 5.根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型： “以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是否存在） “點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題” “直角、銳角、鈍角問題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題” >0； “等角、角平分、角互補問題” 斜率關(guān)系（或）； “共線問題” （如： 數(shù)的角度：坐標表示法；形的

2、角度：距離轉(zhuǎn)化法）； （如：A、O、B三點共線直線OA與OB斜率相等）； “點、線對稱問題” 坐標與斜率關(guān)系； “弦長、面積問題”轉(zhuǎn)化為坐標與弦長公式問題（提醒：注意兩個面積公式 的 合理選擇）； 6.化簡與計算； 7.細節(jié)問題不忽略； 判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線、雙曲線問題中二次項系數(shù)是否會出現(xiàn)0.二、基本解題思想：1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；2、“是否存在”問題：當作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；3、證明定值問題的方法：常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無 關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點問題的方法：

3、常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求 出定點；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明，5、 求最值問題時：將對象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、 三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等 式的方法等再解決；6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優(yōu)化方法，才能使計算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗； 橢圓中的定值、定點問題 一、常見基本題型： 在幾何問題中，有些幾何量和參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成定值問題，解決這類問題常通過 取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三 角式，證明該式是恒

4、定的。 （1）直線恒過定點問題1、已知點是橢圓上任意一點，直線的方程為， 直線過P點與直線垂直，點M（-1，0）關(guān)于直線的對稱點為N，直線PN恒過一定點G，求點G的坐標。2、已知橢圓兩焦點、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一點，且，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢 圓于A、B兩點。（1）求P點坐標；（2）求證直線AB的斜率為定值；3、已知動直線與橢圓相交于、兩點,已知點 ， 求證：為定值.4、 在平面直角坐標系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不 過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為， 射線交橢圓于點，交直線于點.（）求的最小值；（）若，求證：直線過定點

5、；橢圓中的取值范圍問題一、常見基本題型： 對于求曲線方程中參數(shù)范圍問題，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件及曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過解不等式求得參數(shù)的范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域來解. （1）從直線和二次曲線的位置關(guān)系出發(fā)，利用判別式的符號，確定參數(shù)的取值范圍。 5、已知直線與軸交于點，與橢圓交于相異兩點A、B， 且，求的取值范圍（2） 利用題中其他變量的范圍，借助于方程產(chǎn)生參變量的函數(shù)表達式,確定參數(shù)的取值范 圍. 6、已知點，若動點滿足 （）求動點的軌跡的方程； （）設(shè)過點的直線交軌跡于，兩點，若，求 直線的斜率的取值范圍.(3)利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍7、已知點為橢

6、圓：上的一動點，點的坐標為，求 的取值范圍8.已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上.若右焦點到直線的距 離為3.（1）求橢圓的方程.（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點.當時，求的 取值范圍. 9. 如圖所示，已知圓為圓上一動點，點在上， 點在上，且滿足的軌跡為曲線.（I）求曲線的方程；（II）若過定點F（0，2）的直線交曲線于不同的兩 點（點在點之間），且滿足， 求的取值范圍.10、.已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為、，一個頂點為.（1）求橢圓的標準方程； （2）對于軸上的點，橢圓上存在點，使得，求的取值范圍. 11.已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長 為半徑的圓與直線相切（

7、）求橢圓的方程；（）若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，設(shè)為橢圓上一點，且滿 足（O為坐標原點），當 時，求實數(shù)取值范圍橢圓中的最值問題一、常見基本題型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知橢圓兩焦點、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一點，且，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交 橢圓于A、B兩點，求PAB面積的最大值。（2）利用函數(shù)求最值，13.如圖，軸，點M在DP的延長線上，且當點P在圓上運動時。 （I）求點M的軌跡C的方程； （）過點的切線交曲線 C于A，B兩點，求AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點T的坐標。 14、已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓G于A,

8、B兩點. 將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值.選做1、已知A、B、C是橢圓上的三點，其中點A的坐標為 ，BC過橢圓m的中心，且（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點P，Q，設(shè)D為橢圓m與y 軸負半軸的交點，且.求實數(shù)t的取值范圍2.已知圓：及定點，點是圓上的動點，點在 上，點在上，且滿足2，·（1）若，求點的軌跡的方程；（2）若動圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點，是否存在一組正實數(shù)， 使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實數(shù)；若不存在，說明理由3、已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的

9、標準方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標4.如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m0），l交橢圓于A、B兩個不同點。 （1）求橢圓的方程； （2）求m的取值范圍； （3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形. 參考答案1、解：直線的方程為，即 設(shè)關(guān)于直線的對稱點的坐標為 則，解得 直線的斜率為 從而直線的方程為： 即 從而直線恒過定點 2、解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得 ，所以橢圓的方程為 則，設(shè) 則 點在曲線上，

10、則 從而，得，則點的坐標為。 （2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)， 設(shè)PB斜率為，則PB的直線方程為： 由 得 設(shè)則 同理可得，則 所以直線AB的斜率為定值。 3、 解: 將代入中得 ， ，所以 。 4、 解：（）由題意:設(shè)直線, 由消y得:, 設(shè)A、B,AB的中點E,則由韋達定理得: =,即, 所以中點E的坐標為, 因為O、E、D三點在同一直線上， 所以，即， 解得， 所以=,當且僅當時取等號, 即的最小值為2. （）證明:由題意知:n>0,因為直線OD的方程為, 所以由得交點G的縱坐標為, 又因為,且，所以, 又由（）知: ,所以解得,所以直線的方程為, 即有, 令得,

11、y=0,與實數(shù)k無關(guān), 5、 解：（1）當直線斜率不存在時： （2）當直線斜率存在時：設(shè)與橢圓C交點為 得 （*） ， . 消去，得， 整理得 時，上式不成立； 時， ，或 把代入（*）得或 或 綜上m的取值范圍為或。 6、解：（）設(shè)動點，則，. 由已知得， 化簡得，得. 所以點的軌跡是橢圓，的方程為. （）由題意知，直線的斜率必存在，不妨設(shè)過的直線的方程為，設(shè)，兩點的坐標分別為，.由消去得. 因為在橢圓內(nèi)，所以.所以 因為， 所以. 解得.7、 解： ，設(shè)Q（x，y）， ，即，而，186xy18 則的取值范圍是0，36 的取值范圍是6，6 的取值范圍是12，0 8、解：（1）依題意可設(shè)橢圓方

12、程為，則右焦點由題設(shè)，解得， 故所求橢圓的方程為 （2）設(shè)、，為弦的中點，由得直線與橢圓相交， ，從而，又則：，即，把代入得，解， 由得，解得. 綜上求得的取值范圍是. 9、解：（）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM| 又動點N的軌跡是以點C（1，0），A（1，0）為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為焦距2c=2. 曲線E的方程為 （）當直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH方程為得設(shè) ，又當直線GH斜率不存在，方程為10、解：（1）由題意可得， 所求的橢圓的標準方程為： （2）設(shè)，則 且， 由可得，即 由、消去整理得 ， 的取值范圍為. 11、 解：（）由題意知， 所以即 又因為，所以，故橢圓的方程為

13、 （）由題意知直線的斜率存在.設(shè)：，由得.，. ，.，.點在橢圓上，. ，. ，或，實數(shù)取值范圍為. 12、解、設(shè)橢圓方程為，由題意可得 ， 故橢圓方程為 設(shè)AB的直線方程：. 由，得， 由，得P到AB的距離為，則 。 當且僅當取等號， 三角形PAB面積的最大值為。 13、 解:設(shè)點的坐標為，點的坐標為， 則，所以， 因為在圓上，所以 將代入，得點的軌跡方程C的方程為 （）由題意知， 當時，切線的方程為，點A、B的坐標分別為 此時，當時，同理可得； 當時，設(shè)切線的方程為 由得 設(shè)A、B兩點的坐標分別為，則由得： 又由l與圓相切，得即 所以因為且當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2依題意

14、，圓心到直線AB的距離為圓的半徑， 所以面積， 當且僅當時，面積S的最大值為1， 相應(yīng)的的坐標為或者 14、 解：由題意知，. 當時，切線的方程為，點A,B的坐標分別為， 此時； 當時，同理可得； 當時，設(shè)切線的方程為. 由得. 設(shè)A,B兩點的坐標分別為. 又由與圓相切，得，即. 所以 . 由于當時， ， 當且當時，.所以|AB|的最大值為2.選做1、 解（1）橢圓m：（2）由條件D（0，2） M（0，t）1°當k=0時，顯然2<t<2 2°當k0時，設(shè) 消y得由>0 可得 設(shè)則 由 t>1 將代入得 1<t<4t的范圍是（1，4） 綜上t（2，4） 2、解：（1）點為的中點， 又，或點與點重合 又 點的軌跡是以為焦點的橢圓， 且，的軌跡方程是 (2)解：不存在這樣一組正實數(shù)，下面證明： 由題意，若存在這樣的一組正實數(shù)，當直線的斜率存在時，設(shè)之為，故直線的方程為：，設(shè)，中點，則，兩式相減得：注意到，且 ，則 ， 又點在直線上，代入式得：因為弦的中點在所給橢圓內(nèi)，故， 這與矛盾，所以所求這組正實數(shù)不存在 當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則此時，代入式得， 這與是不同兩點矛盾綜上，所求的這組正實數(shù)不存在 3