橢圓各類題型分類匯總

1、橢圓經(jīng)典例題分類匯總1. 橢圓第一定義的應用例1 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程例2 已知橢圓的離心率，求的值例3 已知方程表示橢圓，求的取值范圍例4 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍例5 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程2.焦半徑及焦三角的應用例1 已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的坐標；若不存在，請說明理由例2 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）3.第二定義應用例1 橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當為最小值時，求點的坐標例2 已

2、知橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準線的距離例3已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點(1)求的最大值、最小值及對應的點坐標；(2)求的最小值及對應的點的坐標4.參數(shù)方程應用例1 求橢圓上的點到直線的距離的最小值例2 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積例3橢圓與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標原點)，求其離心率的取值范圍5.相交情況下-弦長公式的應用例1 已知橢圓及直線（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程例2 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓

3、于，兩點，求弦的長6.相交情況下點差法的應用例1 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程例2 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程例3 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 例4 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關于該直線對稱例5 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程橢圓經(jīng)典例題分類匯總1.橢圓第一定義的應用例

4、1 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置解：（1）當為長軸端點時，橢圓的標準方程為：；（2）當為短軸端點時，橢圓的標準方程為：；說明：橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況例2 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進行討論解：當橢圓的焦點在軸上時，得由，得當橢圓的焦點在軸上時，得由，得，即滿足條件的或說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關系不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上故必須進行討論例5 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條

5、件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，并不表示橢圓例6 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因為焦點在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標準方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點在軸上，知， (3)求的取值范圍時，應注意題目中的條件例5 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關系式解：如圖所示，設動圓和定圓內(nèi)切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好

6、等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標準方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法2.焦半徑及焦三角的應用例1 已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：假設存在，設，由已知條件得，左準線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或 另一方面 則與矛盾，所以滿足條件的點不存在例2 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面

7、積解：如圖，設，由橢圓的對稱性，不妨設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故 3.第二定義應用例1 橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當為最小值時，求點的坐標分析：本題的關鍵是求出離心率，把轉化為到右準線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點，因此，且在橢圓上故所以說明：本題關鍵在于未知式中的“2”的處理事實上，如圖，即是到右準線的距離的一半，即圖中的，問題轉化為求橢圓上一點，使到的距離與到右準線距離之和取最小值例2 已知橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準線的距離

8、分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準線的距離，即到左準線的距離為解法二：，為到右準線的距離，又橢圓兩準線的距離為到左準線的距離為說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準線的同側性否則就會產(chǎn)生誤解橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時要靈活選擇，運用自如一般地，如遇到動點到兩個定點的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義例3已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點(1)求的最大值、最小值及對應的點坐標；(2)求的最小值及對應的點的坐標分析：本題考查橢

9、圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標函數(shù)當，即代數(shù)方法二是數(shù)形結合，即幾何方法本題若按先建立目標函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數(shù)形結合，就能簡捷求解解：(1)如上圖，設是橢圓上任一點，由，等號僅當時成立，此時、共線由，等號僅當時成立，此時、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點、綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值(2)如下圖，設是橢圓上任一點，作垂直橢圓右準線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線，即求到右準線距離右準線方程為到右準線距離為此時點縱坐標與點縱坐標相同為1，代入橢圓得滿足條件的點坐標說明：求的最小值

10、，就是用第二定義轉化后，過向相應準線作垂線段巧用焦點半徑與點準距互化是解決有關問題的重要手段4.參數(shù)方程應用例1 求橢圓上的點到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設橢圓上的點的坐標為，則點到直線的距離為當時，說明：當直接設點的坐標不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程例2 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應用為簡化運算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標，所求問題便化歸為三角問題解：(1) (2)設橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對稱性知，矩形的鄰

11、邊分別平行于軸和軸，設為矩形在第一象限的頂點，則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便例3橢圓與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標原點)，求其離心率的取值范圍分析：、為定點，為動點，可以點坐標作為參數(shù)，把，轉化為點坐標的一個等量關系，再利用坐標的范圍建立關于、的一個不等式，轉化為關于的不等式為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程解：設橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點，即，解得或，（舍去），又，又，說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使如何證明？5.相交情況下-弦長公式的應用例1 已

12、知橢圓及直線（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得 ：解得方程為說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數(shù)的關系），可大大簡化運算過程例2 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用

13、橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標再根據(jù)焦半徑，從而求出6.相交情況下點差法的應用例1 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設橢圓方程為，由，得，為所求說

14、明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題例2 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為，利用條件求解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達定理得是弦中點，故得所以所求直線方程為分析二：設弦兩端坐標為、，列關于、的方程組，從而求斜率：解法二：設過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說明：（1）有關弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡（2）解法

15、二是“點差法”，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率（3）有關弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應用”及“點差法”有關二次曲線問題也適用例3 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法解：設弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方

16、程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當然，此題除了設弦端坐標的方法，還可用其它方法解決例4 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關于該直線對稱分析：若設橢圓上，兩點關于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設橢圓上，兩點關于直線對稱，直線與交于點的斜率，設直線的方程為由方程組消去得。于是，即點的坐標為點在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點，解得(法2)同

17、解法1得出，即點坐標為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設，是橢圓上關于對稱的兩點，直線與的交點的坐標為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點在直線上，。由，得點的坐標為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點，關于直線恒對稱，求有關參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式例5 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需