(完整word版)高等數(shù)學1試卷(附答案)

1、得分評閱人、填空題(共6小題，每小題3分，共18分)題號一一三四五六七八九十總分得分第5頁共6頁1.由曲線r 2cos所圍成的圖形的面積是2.設由方程xy2 2所確定的Bt函數(shù)為y y(x),則dy2yXdx3.函數(shù)y sin2 x的帶佩亞諾余項的四階麥克勞林公式為214 4x - x o(x )。3(共7小題，每小題3分，共21分)x 0是 f(x)的 D 。C.振蕩間斷點D.連續(xù)點下列結(jié)論正確的是 B。B . f (x)與x同階但非等價無窮小D. f(x)是比x低階的無窮小5.函數(shù)y x 2cosx在區(qū)間0,一上的最大值為2n n ,6 - lim-2萬222Lnn1n2得分 評閱人二、選

2、擇題1ncosxxsin, x0 ntt1 .設 f(x)x ，則x2 1,x0A.可去問斷點B.跳躍間斷點2 .設 f(x) 2x 3x 2,則當 x 0時,A . f (x)與x是等價無窮小C. f (x)是比x高階的無窮小3. _dx_1 x、X2 1A.不存在B. 0C.2D.4.設f(x)具有二階連續(xù)導數(shù)，且f (0) 0, |im0f (x) x o1,則下列敘述正確的是 A 。A. f (0)是f(x)的極大值C. f (0)不是f (x)的極值B. f (0)是f (x)的極小值D. f (0)是f (x)的最小值5 .曲線y_&ostd t的全長為 d 。2A. 1B

3、. 2C. 3D. 46 .當a,b為何值時，點(1,3 )為曲線y ax3 bx2的拐點？ AC. a3, b 922D. a7 .曲線y x 2 x的凸區(qū)間為 DA.(B.(2ln2C.(ln 2)D.(2ln 2得分評閱人ln 21. limx2 x1 cosx三、計算題(共7小題，其中第15題每小題6分, 第67題每小題8分，共46分)1t2lim cost tt 0一1解：令t 1,原式 xlim喀(£型)et 0t20limsin tt 0 2 t coste(3分)(6分)x2.設函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程解:dydxd(t arctant)3.解:d ln(1t2)y1

4、1 t2 ""2t 1 t22、ln(1 t ) # <、所確TE ,求t arctantd2y dx2t2,(3分)d2y dx2d曳 dxdxd(；)dt1 dx dt1-2T1 t24t(6分)xxe 2 dx.(ex 1)2原式 xd( exxexxexxe4. 求號x7)1x e (4(2分)ex lne- x e-dx 11xe(6分)解：令& t(t 0),則xt2,dx2tdt(2分)2_t01-2tdt t22ln302_d01-dt t20(t(6分)5.設曲線f(x)xn在(1, 1)處的切線與X軸的交點為(Xn, 0),求limn(xn

5、)n o解：Q f (1)n 1nxn,所以f (x)在點(1,1)處的切線方程為:2 x35第9頁共6頁y n(x 1) 1 .(*)由題意知切線(*)與x軸的交點為(xn, 0),(2分)即 0 n(xn1) 1xn1(5分)從而可得:lim (xn)n nlim(1n1、n一)=n(6分)6.設連續(xù)函數(shù)f(x)滿足 f (x)_2f ( x) sin x ,求積分22f (x)sin x dx .工解：方程兩端同乘sin2 x并從積分到，得:工.2f (x)sin xdx22 一2f ( x)sin xdx工24_2sin xdx 2sin4 xdx 2I4 L L(冽)(*)又2 f(

6、工x)sin 2xdx 令 t2f (t)sin22( t)(dt)2-2f (t )sin22.tdt(5 分)由(*)得：I2 .2f (x)sin xdx22I43_ . (8分)2167.設 f (x)連續(xù)，F(xiàn) (x)f(t x) dtA (A為常數(shù))，dF(x)求。x加上 f (x) 解：由limx 0 xA知:f(0)0。令u tx,則t:0u: 01 , du xdtxdtdu1x du 1 x于是 F(x) 0 f (tx)dt 0 f (u)0 f (u)du (x 0)x x1 x可見：F(x) x 0 f (u)du, x 0(4 分)0, x 0x1 x1 xf(x)

7、0 f (u)du當 x 。時，F(xiàn) (x) f(u)du - f (x) 2； (6分)x 0xx，F(xiàn)(0) ixm0T0)1 x0 f(u)du lim -xx 0vlxm0xf (u) dulim 9) 1a, x 0 2 x 2xf (x)所以：F (x)x 1所圍成的圖形為D2 ,x0 f (u)duTp,x 0 .(8分)xx 0四、應用題(共1小題，每小題9分，共9分)2 與拋物線y x所圍成的圖形為 Di,它們與直線一周得到一旋轉(zhuǎn)體，試確定a的值, 最小.解：;Di :aaxV1(ax)2(x2)2 dx若Di、aD2 :1o oc1“c cV2(x ) (ax) dx x a x dxaaa 2 24,142 2,V (a) V1 V20 a X X dx a x a x dx32 x3由 dV (a)da又由d2V(a)da2可見：當a1a - 324 5a151632a35令 dV (a)da231623.(5 分).(7 分)1事時，該旋轉(zhuǎn)體的體積最小.32.(9 分)得分評閱人五、證明題(共1小題，每小題6分，共6分)設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在a, b內(nèi)可導，且f(x) 0,試證存在f () (a , b),