《第六章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計》

1、本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器第第6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器(DF)的定義的定義 輸入和輸出均是數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系輸入和輸出均是數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系(數(shù)值運算數(shù)值運算)，改變輸入數(shù)字信號所含改變輸入數(shù)字信號所含頻率成份的相對比例頻率成份的相對比例或或濾除某些頻率成濾除某些頻率成份份的器件。的器件。 數(shù)字

2、濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點(相對模擬濾波器相對模擬濾波器)： 精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、不要求阻抗匹配。精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、不要求阻抗匹配。 數(shù)字濾波器處理模擬信號數(shù)字濾波器處理模擬信號 通過通過A/DC和和D/AC，使用數(shù)字濾波器對模擬信號的處理。，使用數(shù)字濾波器對模擬信號的處理。6.1 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念(1) 一般分類一般分類經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器：輸入信號中的有用的頻率成分和希望濾除的頻：輸入信號中的有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占用不同的頻帶，通過率成分占用不同的頻帶，通過選頻濾波器選頻濾波器達(dá)到濾波的目的。達(dá)到濾波的目的?，F(xiàn)代濾波器現(xiàn)

3、代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統(tǒng)：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統(tǒng)計分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡計分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡爾曼濾波器和自適應(yīng)濾波器等。爾曼濾波器和自適應(yīng)濾波器等。(2) 從濾波器的功能上來分類從濾波器的功能上來分類 分為分為低通、高通、帶通、帶阻低通、高通、帶通、帶阻濾波器濾波器1 1、數(shù)字濾波器的分類、數(shù)字濾波器的分類理想濾波器幅度特性理想濾波器幅度特性 w0-|H(ejw)|低通(LF)頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|高通(HF)頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|帶通BF頻率響應(yīng)2-2w0-|H

4、(ejw)|帶阻BS頻率響應(yīng)2-2特點：特點：(1)h(n)(1)h(n)是非因果且無限長，不可能實現(xiàn)，只能盡可能逼近；是非因果且無限長，不可能實現(xiàn)，只能盡可能逼近；(2)DF(2)DF的傳輸函數(shù)是以的傳輸函數(shù)是以2 2 為周期，為周期，低通的中心頻帶低通的中心頻帶處于處于2 2 的整數(shù)倍的整數(shù)倍 處處，高通的中心頻帶，高通的中心頻帶處于處于 的奇數(shù)倍附近。的奇數(shù)倍附近。(3)從濾波器的實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或從單位脈沖響應(yīng)分類從濾波器的實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或從單位脈沖響應(yīng)分類 無限脈沖響應(yīng)無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 有限脈沖響應(yīng)有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：0110()1()(

5、)MrrrNkkkNnnbzHzazHzhnz0110()1()()MrrrNkkkNnnbzHzazHzhnz在數(shù)字濾波器中，一般考察其半個周期=0，的頻域特性；在模擬濾波器中，通常考察其=0，范圍內(nèi)頻率域的特性。 N階IIR濾波器函數(shù)N1階FIR濾波器函數(shù)這里介紹的數(shù)字濾波器屬于這里介紹的數(shù)字濾波器屬于選頻濾波器選頻濾波器(1) (1) 數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(eH(ejwjw) )|H(ejw)|系統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成：表示信號通過該濾波器后各頻率成 分衰減情況。分衰減情況。Q()系統(tǒng)的相頻特性系統(tǒng)的相頻特性：反映各頻率成分通過濾

6、波器后在時：反映各頻率成分通過濾波器后在時 間上的延時情況。間上的延時情況。( )()()jjjH eH eeQ()2 2、數(shù)字濾波器的技術(shù)要、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求求(2) (2) 數(shù)字濾波器的幅頻特性數(shù)字濾波器的幅頻特性|H(e|H(ejwjw)| )|的指標(biāo)的指標(biāo)過渡帶低通數(shù)字濾波器的幅頻特性技術(shù)指標(biāo)|H(ejw)|通帶阻帶21-1p0.70701CS指標(biāo)說明：指標(biāo)說明：p：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：0p ；S ：阻帶截止頻率，：阻帶截止頻率，阻帶頻率范圍：阻帶頻率范圍：s ； C ：3dB截止頻率；截止頻率； P：通帶最大衰減；通帶最大衰減； S：阻帶最小衰

7、減阻帶最小衰減 1：通帶內(nèi)幅度響應(yīng)誤差范圍；通帶內(nèi)幅度響應(yīng)誤差范圍； 2：阻帶內(nèi)幅度響應(yīng)誤差范圍；：阻帶內(nèi)幅度響應(yīng)誤差范圍； 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減用通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減用dB數(shù)表示數(shù)表示 如將如將|H(ej0)|歸一化為歸一化為1，上兩式則表示成，上兩式則表示成 當(dāng)幅度衰減到當(dāng)幅度衰減到 2/2倍時，所對應(yīng)頻率倍時，所對應(yīng)頻率 c，此時此時 P 3dB，稱稱c為為3dB截止頻率。截止頻率。00()2 0 l g()()2 0 l g()psjpjjsjHed BHeHed BHe00()2 0 l g()()2 0 l g()psjpjjsjHed BHeHed BHe2 0 l g(

8、)2 0 l g()psjpjsHed BHed B2 0 l g()2 0 l g()psjpjsHed BHed Bp p和和s s的定義的定義IIRIIR濾波器設(shè)計方法濾波器設(shè)計方法 (1)先設(shè)計模擬濾波器先設(shè)計模擬濾波器(AF)的傳輸函數(shù)的傳輸函數(shù)Ha(s)；然后按某種變換，；然后按某種變換，將將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 (2) 借助計算機輔助設(shè)計在頻域或時域直接進(jìn)行設(shè)計；借助計算機輔助設(shè)計在頻域或時域直接進(jìn)行設(shè)計；FIRFIR濾波器設(shè)計方法濾波器設(shè)計方法 (1)采用的是采用的是窗函數(shù)設(shè)計法窗函數(shù)設(shè)計法和和頻率采樣法頻率采樣法， (2)用

9、計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設(shè)計用計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設(shè)計。3. 3. 數(shù)字濾波器設(shè)計方法數(shù)字濾波器設(shè)計方法 理論和設(shè)計方法相當(dāng)成熟，有若干典型的模擬濾波器可以選理論和設(shè)計方法相當(dāng)成熟，有若干典型的模擬濾波器可以選擇。如：擇。如：巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)濾波器濾波器、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)濾波器濾波器、橢圓橢圓(Kllipse)濾波器濾波器、貝塞爾貝塞爾(Bessel)濾波器濾波器等，這些濾等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。 6.2 6.2 模擬濾波器的

10、設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c1 1、各種理想模擬濾波器的幅度特性、各種理想模擬濾波器的幅度特性低通設(shè)計指標(biāo)：低通設(shè)計指標(biāo)： p和和s分別稱為分別稱為通帶截止頻率通帶截止頻率和和阻帶截止頻率阻帶截止頻率; c稱為稱為3dB截止頻率截止頻率 p是通帶是通帶(=0p)中的中的最大衰減系數(shù)最大衰減系數(shù)， s是阻帶是阻帶s的的最小衰減系數(shù)最小衰減系數(shù)，|Ha(

11、j)|0.707ps通帶阻帶過渡帶10Cps通帶過渡帶阻帶(dB) 衰減pS02 2、模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)、模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)p和和s一般用一般用dB表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2222()1 0 l g()()1 0 l g()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()1 0 l g()()1 0 l g()apapasasHjHjHjHj221 0

12、lg()1 0 lg()papsasHjHj 221 0 lg()1 0 lg()papsasHjHj如果=0處幅度已歸一化到1，即:|Ha(j0)|=1圖中c稱為3dB截止頻率( )1 /2 ,2 0 lg ( ) 3a ca cHjHjd B ( ) 1 / 2 , 2 0 lg ( ) 3acacHjHjd B實際濾波器的幅頻特性只能實際濾波器的幅頻特性只能采用某種函數(shù)（曲線）去逼采用某種函數(shù)（曲線）去逼近理想幅頻特性近理想幅頻特性，逼近函數(shù)不同就得到不同的逼近幅，逼近函數(shù)不同就得到不同的逼近幅頻特性，該濾波器就被稱作某某逼近函數(shù)濾波器。頻特性，該濾波器就被稱作某某逼近函數(shù)濾波器。常用的

13、逼近函數(shù)有：巴特沃斯常用的逼近函數(shù)有：巴特沃斯(Butterworth) (Butterworth) 函數(shù)、切比雪函數(shù)、切比雪夫夫(Chebyshev) (Chebyshev) 函數(shù)、橢圓函數(shù)、橢圓(Ellipse)(Ellipse)函數(shù)和貝塞爾函數(shù)和貝塞爾(Bessel)(Bessel)函數(shù)等。在本課程只對巴特沃斯濾波器和切比雪夫函數(shù)等。在本課程只對巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的設(shè)計方法作簡介。濾波器的設(shè)計方法作簡介。各類濾波器由于其逼近函數(shù)的特點，其特點各異各類濾波器由于其逼近函數(shù)的特點，其特點各異: : 巴特沃斯濾波器在通阻帶具有巴特沃斯濾波器在通阻帶具有單調(diào)下降單調(diào)下降特性；特性；切

14、比雪夫濾波器在通帶或阻帶具有切比雪夫濾波器在通帶或阻帶具有等波紋波動等波紋波動特性；特性；貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)有較好的貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)有較好的線性相位線性相位特性；特性；橢圓濾波器具有較好的橢圓濾波器具有較好的選擇選擇特性。特性。v在實際工作中可根據(jù)具體要求選擇不同類型的濾波器。在實際工作中可根據(jù)具體要求選擇不同類型的濾波器。 給出模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)給出模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) ； 設(shè)計設(shè)計傳輸函數(shù)傳輸函數(shù) Ha(s)：使其：使其幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)滿足給定指標(biāo)滿足給定指標(biāo)ap和和as，|Ha(j )|2 = Ha(j ) Ha*(j ) = Ha(s) Ha(-s)|S=j 確定確定H

15、a(s)：系統(tǒng)系統(tǒng)Ha(s)應(yīng)是應(yīng)是穩(wěn)定穩(wěn)定的的系統(tǒng)系統(tǒng)，因此，因此，極點極點應(yīng)位于應(yīng)位于3 3、 用模擬濾波器逼近方法設(shè)計數(shù)字用模擬濾波器逼近方法設(shè)計數(shù)字IIRIIR濾波器步驟濾波器步驟巴特沃斯低通濾波器的巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下式表示：用下式表示：221()1()aNcHj c c，幅度迅速下降，幅度迅速下降，N N越大，幅度下降越快，過渡帶越窄越大，幅度下降越快，過渡帶越窄當(dāng)當(dāng) =0時，時， |H(j )|=1；當(dāng)當(dāng) = c時，時，| H(j )|= 所示所示 c是是3dB截止頻率。截止頻率。()1 /2 ,2 0 l g ()3acacH j H

16、 jd B N: 濾波器階數(shù)。濾波器階數(shù)。4 4、Butterworth Butterworth 低通濾波器的設(shè)計方低通濾波器的設(shè)計方法法將幅度平方函數(shù)將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成寫成s的函數(shù)：的函數(shù)：21( )()1()aaNcHs Hssj此式表明幅度平方函數(shù)有此式表明幅度平方函數(shù)有2N2N個個極點，極點極點，極點s sk k用下式表示：用下式表示：11 21()222( 1)()kjNNkccsje 其中，k=0,1,(2N-1)2N個極點等間隔分布在半徑為個極點等間隔分布在半徑為c的圓上，間的圓上，間隔是隔是 /N rad，左半平面，左半平面N個點構(gòu)成個點構(gòu)成Ha(s)傳輸傳輸函

17、數(shù)，右半平面函數(shù)，右半平面N個點構(gòu)成個點構(gòu)成Ha(-s)傳輸函數(shù)。傳輸函數(shù)。10( )()NcaNkkHsssHa(s)表示為：由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。采用對一化。采用對3dB截止頻率截止頻率c歸一化歸一化，歸一化后的，歸一化后的Ha(s)表示為表示為 ：101( )()aNkkccHsss101()()aNkkHppp只要知道濾波器的階數(shù)N，可得歸一化的傳輸函數(shù)，去歸一化p=j=s/ c ,可得到實際的傳輸函數(shù)Ha(s)令s/c = j/c，=/c，稱為歸一化頻率，令p=j，p稱為歸一化復(fù)變量，歸一

18、化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為：歸一化極點歸一化極點 ，k=0,1,N-1。Nkjkep21221(1) (1) 根據(jù)給出的技術(shù)指標(biāo)根據(jù)給出的技術(shù)指標(biāo) P P、 S S、 p p、 S S，求濾波器階數(shù)，求濾波器階數(shù)N N221()1()aNcHj/10/10101()101psapNas/ 10/ 10221()101()10psapNcaNsc/10/10221()101()10psapNcaNsc1010101/ ,101psaspspspak 設(shè):lglgspspkN 用上式求出的用上式求出的N可能有小數(shù)部分，可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)的最小整數(shù)。20lg ()20l

19、g ()psjpjsHedBHedB10lg|H(jp)|2/1 0/1 01 01( )1 01psap Nas巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟(2) (2) 求歸一化極點求歸一化極點p pk k，確定歸一化傳輸函數(shù)，確定歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)Ha(p) 根據(jù)求極點公式：根據(jù)求極點公式： ，k=0,1,N-1。再帶入：。再帶入： 或根據(jù)階數(shù)或根據(jù)階數(shù)N，查表，查表P157 表表6.2.1得到極點和歸一化傳輸函數(shù)得到極點和歸一化傳輸函數(shù)101()()aNkkHppp10 . 1210 . 12( 1 01 )( 1 01 )psaNcpaNcs阻帶指標(biāo)有富裕度10. 1210

20、. 12( 101 )( 101 )psaNcpaNcs通帶指標(biāo)有富裕度(3) (3) 求求3dB3dB截止頻率截止頻率 c c由由:|H(j:|H(j )|)|2 2=1/1+(=1/1+( / / c c) )2N2N ， = = p p時時：1+(1+( p p/ / c c) )2N2N=10=10 p p/10/10。Nkjkep21221 將將p=s/ c，代入代入Ha(p)中得：中得：Ha(s)=Ha(p)| p=s/ c。 表表6.2.1 6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 表示兩極點P1、PN-2(4)(4)將將H Ha a(p)(p)去歸一

21、化，去歸一化，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)Ha(s)例：例：已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止，阻帶截止頻率頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。特沃斯低通濾波器。解：解：(1) (1) 設(shè)計模擬濾波器的指標(biāo)為設(shè)計模擬濾波器的指標(biāo)為 p=2 fp= 104(rad/s)， ap=2dB s=2 fs=2.4 104(rad/s)， as=30dB (2) (2) 確定濾波器的階數(shù)確定濾波器的階數(shù)N N0 . 10 .

22、11 010 . 0 2 4 21 0122 . 42l g0 . 0 2 4 24 . 2 5 ,5l g2 . 4psas pass ppkffNN0 .10 .11 010 .0 2 4 21 0122 .42l g 0 .0 2 4 24 .2 5 ,5l g 2 .4psas pass ppkffNN0 . 10 . 11 010 . 0 2 4 21 0122 . 42l g 0 . 0 2 4 24 . 2 5 ,5l g 2 . 4psas pass ppkffNN取N為5lglgspspkN =(3) (3) 求極點求極點3455016523754,jjjjjsesesese

23、seP03455016523754,jjjjjseseseseseP1P23455016523754,jjjjjses eseseseP33455016523754,jjjjjseseseseseP43455016523754,jjjjjsesesesese代入歸一化傳輸函數(shù)公式代入歸一化傳輸函數(shù)公式401( )()akkHppp5432432101()aHppb pb pb pb pb) 1)( 1618. 1)( 1618. 0(1)(1) (2240 pppppp ppHakk) 1)(1618. 1)(1618. 0(1)(1)(2240 ppppppppHakk最簡便的方法：由最簡便

24、的方法：由N=5N=5，直接查表得到：，直接查表得到： 極點形式：極點形式：-0.3090-0.3090j0.9511j0.9511；-0.8090-0.8090j0.5878; -1.0000j0.5878; -1.0000 分母多項式的形式：分母多項式的形式： 分母因式的形式：分母因式的形式：Nkjkep21221(4) (4) 將將H Ha a(p)(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB3dB截止頻率截止頻率c c10 .1210 .12(1 01 )25 .2 7 5 5/(1 01 )21 0 .5 2 5/psaNcpaNsck r a dsk r a ds 10.1210.12

25、(101)2 5.2755/(101)2 10.525/psaNcpaNsckrad skrad s 5554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsbb0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361(5) (5) 將將p=s/p=s/c c代入代入H Ha a(p)(p)中得到：中得到：利用模擬濾波器設(shè)計利用模擬濾波器設(shè)計IIRIIR數(shù)字濾波器設(shè)計過程數(shù)字濾波器設(shè)計過程6.3 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIRIIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器設(shè)計技術(shù)成熟設(shè)計技術(shù)成熟有相當(dāng)簡便的有相當(dāng)簡便的公式和圖

26、表公式和圖表模擬濾波器)(sHaAF由此設(shè)計數(shù)字濾波器)(zHDF要求要求DFDF特性特性模仿模仿AFAF的特性的特性實際上是個映射問題Mapping離散時間域(Z平面)轉(zhuǎn)換關(guān)系連續(xù)時間域(S平面)(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定的。的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模仿模擬濾波器的頻響，模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸平面的虛軸映射映射z平面的單位圓，相應(yīng)的平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系頻率之間成線性關(guān)系。Re(z)jIm(z)0z平面平面1z1z2 j j 0S平面平面S1xS2x滿足上述

27、轉(zhuǎn)換關(guān)系的映射方法有：滿足上述轉(zhuǎn)換關(guān)系的映射方法有：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法對轉(zhuǎn)換關(guān)系的兩點要求：對轉(zhuǎn)換關(guān)系的兩點要求：1、設(shè)模擬濾波器、設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點只有單階極點，且分母多項式的階次高于，且分母多項式的階次高于 分子多項式的階次，將分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：用部分分式表示： Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)時域采樣時域采樣h(n)ZTh(n)H(z)所以說脈沖響應(yīng)不變法是一種時域上的變換方法所以說脈沖響應(yīng)不變法是一種時域上的變換方法1( )NiaiiAHssssi為Ha(s)的單階極點1( )( )iNsntaiih tAe u t1()()

28、iNsn taiihtA eu tLT-1Ha(s)U(t)為單位階躍函數(shù)脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法一、基本思想：一、基本思想：使使h(n)模仿模仿ha(t)，讓，讓h(n)正好等于正好等于ha(t)的采樣值的采樣值二、變換方法二、變換方法對對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：，得到：對上式進(jìn)行對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：結(jié)論結(jié)論:(1) S平面的平面的單極點單極點s=si映射映射到到Z平面的平面的極點極點z=esiT。 (2) Ha(s)部分分式的系數(shù)與部分分式的系數(shù)與H(z)部分分式的部分分式的系

29、數(shù)相同系數(shù)相同。 1( )()()iNs nTaiih nhnTAeu nT11( )1iNis TiAH zez2、Ha(s)有共軛復(fù)數(shù)對極點有共軛復(fù)數(shù)對極點 Ha(s)的極點的極點si一般是一個復(fù)數(shù)，以共軛成對的形式出現(xiàn)，將一般是一個復(fù)數(shù)，以共軛成對的形式出現(xiàn)，將一對復(fù)數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。一對復(fù)數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。 AF二階基本節(jié)形式二階基本節(jié)形式1：21211)s (s) s (Ha:+=形式一極點極點- - 1 1 j j 1 1對對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣進(jìn)行等間隔采樣h(n)=ha(nT)= e- nTcos(1nT)u(nT)，進(jìn)行進(jìn)行Z變

30、換變換1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h) z ( H1111121211cos12cosTTTzeTzeTze)(cos)()(111tutesHLTthtaaAF二階基本節(jié)形式二階基本節(jié)形式2：ha(t)=LT-1Ha(s)=e- tsin1tu(t)，對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣1h(n)=ha(nT)= e- nTsin(1nT)u(nT)，進(jìn)行Z變換121211)s () s (Ha:+=形式二極點-1j1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h) z ( H1111112211112121

31、,()s i n12c o sTTTjszeTzeTze1 1、采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的、采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z Z變換之間的映射關(guān)系變換之間的映射關(guān)系(1) 設(shè)設(shè)ha(t)的采樣信號表示為的采樣信號表示為:(2) 對對 進(jìn)行拉氏變換，得到進(jìn)行拉氏變換，得到( )( ) ()aanhthttnT( )aht()()() ()s taas tans n THshted thtn Ted tn Te nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtth

32、dtenTtthsH)()()()()()()(nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nnznhzH)()() () ( s Hz Hae zsT)()(sHzHaezsTsTze三、三、S S平面和平面和Z Z平面之間的映射關(guān)系平面之間的映射關(guān)系 模擬信號模擬信號ha(t)的傅里葉變換的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號和其采樣信號 的傅里的傅里葉變換葉變換 之間的關(guān)系滿足：之間的關(guān)系滿足：結(jié)論：結(jié)論：采樣

33、信號的拉氏變換是原模擬信號的拉氏變換在采樣信號的拉氏變換是原模擬信號的拉氏變換在S平面沿平面沿虛軸以虛軸以s=2/T為周期進(jìn)行的周期延拓；為周期進(jìn)行的周期延拓；( )aht( )ah t1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjj kTHsHsj kTHzHsj kT1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjj kTHsHsj kTHzHsj kT()aHj將將s=js=j代入上式，得：代入上式，得：2 2、模擬信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的、模擬信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z Z變換之間的映射關(guān)系：變換之間的映射關(guān)系：說明：說明：采用脈沖響應(yīng)

34、不變法將采用脈沖響應(yīng)不變法將AF變換為數(shù)字變換為數(shù)字DF時時 Ha(s)沿虛軸以沿虛軸以 s=2 /T為周期進(jìn)行周期延拓為周期進(jìn)行周期延拓; 再經(jīng)過再經(jīng)過Z=eST的映射關(guān)系映射到的映射關(guān)系映射到Z平面上，從而得到平面上，從而得到H(z)上面的這種轉(zhuǎn)換是否滿足對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出的上面的這種轉(zhuǎn)換是否滿足對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出的2點要求點要求:設(shè)：設(shè)：S=j ，Z=r ejw 脈沖響應(yīng)不變法標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系：脈沖響應(yīng)不變法標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系： Z=eST頻率域的坐標(biāo)變換是線性的因果穩(wěn)定模仿頻響由采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的由采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z Z變換之間的映射關(guān)系：變換之間的映射關(guān)系：1()()1(

35、)()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkTTjTTjjeeeer)(r= e T w= T 0時，時，S平面的平面的左半平面左半平面映射到映射到Z平面的平面的單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)(r=|z|0時，時，S平面的平面的右半平面右半平面映射到映射到Z平面的平面的單位圓外單位圓外(r=|z|1)結(jié)論：若結(jié)論：若Ha(s)是因果穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)換后的是因果穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)換后的H(z)也是因果穩(wěn)定的。也是因果穩(wěn)定的。r= e T因果穩(wěn)定的分析因果穩(wěn)定的分析j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面 當(dāng)當(dāng) 不變，模擬角頻率不變，模擬角頻率 變化變化

36、2 /T整數(shù)倍，整數(shù)倍，映射值不變映射值不變，S平平面上每一條寬度為面上每一條寬度為2 /T的水平橫帶都重迭地映射到的水平橫帶都重迭地映射到Z平面的整個全平面的整個全平面上平面上 每條水平橫帶的左半部分映射到每條水平橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓內(nèi)；平面單位圓內(nèi)； 水平橫帶右半部分映射到水平橫帶右半部分映射到Z平面的單位圓外平面的單位圓外 j 虛軸上每虛軸上每2 /T段都對應(yīng)著單位圓一周段都對應(yīng)著單位圓一周j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面2(),jM TsTTj TTTee ee eM由于由于z=esT是周期函數(shù)是周期函數(shù)由上面分析結(jié)果：由上面分析結(jié)果： S

37、平面與平面與Z平面的映射關(guān)系滿足轉(zhuǎn)換條件；平面的映射關(guān)系滿足轉(zhuǎn)換條件； 但存在著但存在著多值多值(s)單值單值(z)映射關(guān)系映射關(guān)系(3) DF的頻響是AF頻響的周期延拓)(jeH0T0T)( jHa頻率混疊sTez (1)雖然)(sHa)(zH直接映射但并非)(sHa而是)(zH映射注意：只有AF頻響限于/T之內(nèi)，DF頻響才不失真地復(fù)現(xiàn)AF頻響，否則，設(shè)計出來的DF在w=附近產(chǎn)生頻率混疊。(2) 采樣信號的拉氏變換是其模擬信號的拉氏變換以2/T為周期，沿虛軸進(jìn)行周期化。脈沖響應(yīng)不變法的應(yīng)用受限脈沖響應(yīng)不變法的應(yīng)用受限 只適合設(shè)計只適合設(shè)計帶限濾波器帶限濾波器，如：低通、帶通濾波器的設(shè)計，不，

38、如：低通、帶通濾波器的設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。假設(shè) 沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足： ()aHj()0,/aHjT 按照上式，并將關(guān)系式s=j代入，=T，代入得到：1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkT1()(),jaH eHjTT數(shù)字濾波器的頻響可以很好模仿模擬濾波器的頻響四、四、 脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點優(yōu)點：優(yōu)點： 1、頻率變換是、頻率變換是線性關(guān)系線性關(guān)系; w= T ，模數(shù)字濾波器可以很好重現(xiàn)模，模數(shù)字濾波器可以很好重現(xiàn)模擬濾波器的頻響特性；擬濾波器的頻響特性； 2、

39、數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激、數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時域特性逼近好；響應(yīng)，時域特性逼近好；缺點：缺點： 1. 有頻譜混迭失真現(xiàn)象；有頻譜混迭失真現(xiàn)象；(S平面到平面到Z平面有多值映射關(guān)系平面有多值映射關(guān)系) 2. 由于頻譜混迭，使應(yīng)用受到限制。由于頻譜混迭，使應(yīng)用受到限制。(T失真失真 ，但運算量但運算量 ,實實現(xiàn)困難現(xiàn)困難)【例】【例】 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為為用脈沖響應(yīng)不變法將用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)解：解：首先將首先將Ha(s)

40、寫成部分分式：寫成部分分式：極點為：極點為：根據(jù)：根據(jù)： ，H(z)的極點為：的極點為：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj sTze1212,s Ts Tzeze按照：按照： ，經(jīng)過整理，得到，經(jīng)過整理，得到當(dāng)：當(dāng)：T=1s時用時用H1(z)表示，表示，T=0.1s時用時用H2(z)表示，則：表示，則：將將Ha(j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它們最大值歸一化的幅度特性用它們最大值歸一化后，得

41、到它們的幅度特性曲線，如下圖所示：后，得到它們的幅度特性曲線，如下圖所示：11( )1iNis TiAH zez111212120 . 3 2 7 6()11 . 0 3 2 80 . 2 4 70 . 0 4 8 5()11 . 9 3 0 70 . 9 3 7 5zHzzzzHzzz111212120 . 3 2 7 6()11 . 0 3 2 80 . 2 4 70 . 0 4 8 5()11 . 9 3 0 70 . 9 3 7 5zHzzzzHzzz26449. 011T3224. 0ze)T7772. 0cos(z1z )T7772. 0sin(3224. 0 .e2)z(H-+2

42、-=-很輕的混疊現(xiàn)象嚴(yán)重的混疊現(xiàn)象 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點:產(chǎn)生頻率譜混迭現(xiàn)象。產(chǎn)生頻率譜混迭現(xiàn)象。 原因原因：模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率 /T，數(shù)字化后，數(shù)字化后在在w= 形成頻譜混疊現(xiàn)象。形成頻譜混疊現(xiàn)象。 解決方法：解決方法：采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到圍壓縮到/T 之間，而后再用之間，而后再用 Z=eST 轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到 Z 平面上。平面上。 一雙線性變換法消除頻譜混迭的原理一雙線性變換法消除頻譜混迭的原理1、非線性壓縮：、非線性壓縮：(S平面平面S1平面平面映

43、射映射)雙線性變換法用雙線性變換法用正切變換正切變換實現(xiàn)非線性頻率壓縮，設(shè)實現(xiàn)非線性頻率壓縮，設(shè)Ha(s)，s=j，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用Ha(s1)， s1=j1 表示。則：表示。則：上式表明：上式表明：當(dāng)當(dāng)1從從/T經(jīng)過經(jīng)過0變化到變化到-/T時，時，則由則由經(jīng)過經(jīng)過0變化到變化到-，這樣實現(xiàn)了，這樣實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全平面上整個虛軸完全壓縮到壓縮到s1平面上虛軸的平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。之間的轉(zhuǎn)換。6.4 6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIRIIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器121tan()2TT 0/T-/T1T：時域采樣間隔；由上面可得

44、：由上面可得：(- ，+ )， 1 (- /T，+ /T) ；6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器)2(11)2tan(j S12 / 2 /2 / 2 /1111111T SthCeeCe ee eCjjTjCT ST ST j T jT j T j )2(11)2tan(j S12 /2 /2 /2 /1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121t a n ()2TT )2(11)2tan(j S12 /2 /2 /2 /1111111T SthCeeCe ee eCjjTjCT ST ST j T jT j

45、T j )2(11)2tan(j S12 /2 /2 /2 /1111111T SthCeeCeeeeCjjTjCT ST STjTjTjTj 121t a n ()2TT )2(11)2tan(j S12 / 2 /2 / 2 /1111111T SthCeeCe ee eCjjT jCT ST ST j T jT j T j )2(11)2tan(j S12 /2 /2 /2 /1111111T SthCeeCeeeeCjjTjCT ST STjTjTjTj 121t a n ( )2TT )2(11)2tan(j S12 /2 /2 /2 /1111111T SthCeeCeeeeCjj

46、TjCT ST ST jT jT jT j 121t a n ()2TT )2(11)2tan(j S12/2/2/2/1111111T Sth CeeCe ee eCjjTjCT ST ST jT jT jT j )2(11)2tan(j S12/2/2/2/1111111T Sth CeeCe ee eCjjTjCT ST ST jT jT jT j 2、S1平面到Z平面的映射將S1平面映射到Z平面上，用標(biāo)準(zhǔn)映射Z=eS1T。代入上式SCSCzzzCeeCSTSe z TSTS ,111111111即即SCSCzzzCeeCSTSe zTSTS ,111111111即即121t a n (

47、)2TT SCSCzzzCeeCSTSe z T ST S ,111111111即即121t a n ()2TT S CS CzzzCeeC ST Se z T ST S ,111111111即即1121122zsTzsTzsT推出3、雙線性不變法的映射關(guān)系、雙線性不變法的映射關(guān)系映射過程：映射過程：從從s平面映射到平面映射到s1平面，再從平面，再從s1平面映射到平面映射到z平面。平面。 S平面與平面與Z平面是平面是一一對應(yīng)的單值映射一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系，消除了脈沖響應(yīng)關(guān)系，消除了脈沖響應(yīng)不變法的多值映射關(guān)系，消除了頻譜混迭現(xiàn)象。不變法的多值映射關(guān)系，消除了頻譜混迭現(xiàn)象。 只要模擬濾波器只要

48、模擬濾波器Ha(s)因果穩(wěn)定，其極點應(yīng)位于因果穩(wěn)定，其極點應(yīng)位于S左半平面，左半平面，轉(zhuǎn)換成的轉(zhuǎn)換成的H(z)也是因果穩(wěn)定的，位于單位圓內(nèi)。也是因果穩(wěn)定的，位于單位圓內(nèi)。6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器001j1j/T-/T2/T tan(1T)Z=es1TS平面S1平面Re(z)jIm(z)0z平面S 2/T th(S1T)二、模擬頻率二、模擬頻率和數(shù)字頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系之間的關(guān)系將：將：Z=ej ，S=j ，代入，代入SZ平面映射關(guān)系式：平面映射關(guān)系式：6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器1121

49、122zsTzsTzsT-0W)2(2wtgT 說明：s平面上 與z平面的成非線性正切關(guān)系，當(dāng)增加時， 增加得很快，當(dāng) 趨于 時，趨于，由于這種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。代價：影響數(shù)字濾波器頻響逼真模擬濾波器的頻響的逼真度，存在幅度失真和相位失真。21121t a n2jjejTeT) 2 / cos(2) 2 / sin(2211 22 /2 /wwjeeTeeTj Sjwjwjwjw ) 2 /cos(2) 2 /sin(221122 /2 /wwjeeTeeTjSjwjwjwjw ) 2 /cos(2) 2 /sin(221122 /2 /wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )

50、 2 /cos(2) 2 /sin(221122 /2 /wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2(2)2(2wtgTwtgTj 2 1121ta n2jjejTeT三、雙線性變換法特點三、雙線性變換法特點1、優(yōu)點、優(yōu)點 消除了頻譜混迭失真；消除了頻譜混迭失真；頻率映射頻率映射 表明表明S平面與平面與Z平面是一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系，避免了脈平面是一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系，避免了脈沖響應(yīng)不變法的頻譜沖響應(yīng)不變法的頻譜“混迭混迭”現(xiàn)象。現(xiàn)象。2.缺點缺點 以以頻率變換的非線性為代價，模擬域和數(shù)字域進(jìn)行非線性頻率變換的非線性為代價，模擬域和數(shù)字域進(jìn)行非線性映射，其映射，其瞬時響應(yīng)瞬時響應(yīng)不如脈沖響

51、應(yīng)不變法好。不如脈沖響應(yīng)不變法好。6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器21121t a n2jjejTeT四、雙線性變換法的幅度失真和相位失真情況四、雙線性變換法的幅度失真和相位失真情況 如果如果的刻度是均勻的，通過非線性正切關(guān)系，映射到的刻度是均勻的，通過非線性正切關(guān)系，映射到z平面的平面的刻度不均勻，隨刻度不均勻，隨增加越來越密，即邊界頻率發(fā)生畸變。增加越來越密，即邊界頻率發(fā)生畸變。 如果模擬濾波器具有如果模擬濾波器具有片段常數(shù)特性片段常數(shù)特性，則轉(zhuǎn)換到，則轉(zhuǎn)換到z平面仍具有平面仍具有片片段常數(shù)特性段常數(shù)特性。適于適于片段常系數(shù)濾波器片段常系數(shù)濾波

52、器的設(shè)計。的設(shè)計。6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器幅度特性失真相位特性失真五、雙線性變換法的預(yù)畸變五、雙線性變換法的預(yù)畸變對對邊緣臨界頻率點產(chǎn)生的畸變邊緣臨界頻率點產(chǎn)生的畸變，可通過頻率的，可通過頻率的預(yù)畸變預(yù)畸變加以校正。加以校正。例例：數(shù)字低通濾波器的兩個截止頻率：數(shù)字低通濾波器的兩個截止頻率： p和和s，如果按照線如果按照線性變換所對應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率分別為：性變換所對應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率分別為：再利用非線性的頻率變換公式，得到的數(shù)字濾波器的截止頻率再利用非線性的頻率變換公式，得到的數(shù)字濾波器的截止頻率就不等于原來的頻率就不等于原來

53、的頻率 。解決方法：解決方法：數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換成模擬頻率時，先進(jìn)行預(yù)畸變的處理數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換成模擬頻率時，先進(jìn)行預(yù)畸變的處理：6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器pp /Tss /T21121t a n2jjejTeT例例：例例6.4.1，已知，已知Ha(s)=a/(a+s)，a=1/(RC)，求，求H(z)。解：解：1、用脈沖響應(yīng)不變法時用脈沖響應(yīng)不變法時，先確定極點：，先確定極點：s= a，則，則 2. 用雙線性不變法時用雙線性不變法時6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器11)( zeazHaTT為采樣間隔111

54、1112) 2() 2()1 (112)()(11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS1111112) 2() 2()1 (112)() (11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS111121212112(1)()()12,22azsT zzH z H sazTTTT1111212 12112(1)()()12,22azsTzzHzHsazTTTT其中：設(shè)設(shè):a1000,T=0.001和和T=0.002，H1(z)和和H2(z)的歸一化幅頻特的歸一化幅頻特性如圖所示性如圖所示6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器雙線性變換法脈沖響應(yīng)不

55、變法模擬濾波器幅頻特性250Hz500Hz存在混疊不存在混疊，曲線形狀差別大五、用模擬濾波器設(shè)計五、用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器步驟數(shù)字低通濾波器步驟(1)確定數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)；確定數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)；(Wp，ap，Ws，aS)(2)確定相應(yīng)模擬低通濾波器的性能指標(biāo)；確定相應(yīng)模擬低通濾波器的性能指標(biāo)；o 脈沖響應(yīng)不變法：脈沖響應(yīng)不變法： = W /To 雙線性變換法：雙線性變換法： =2/Ttan(W)預(yù)畸變；預(yù)畸變；(3)設(shè)計模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)設(shè)計模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(S)；(4)將將Ha(S) 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)；

56、o利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計時，應(yīng)先確定利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計時，應(yīng)先確定Ha(s)極點，按極點，按 Z=eST 映射極點，并根據(jù)映射極點，并根據(jù)P171頁公式表示出頁公式表示出H(z)。o 若利用雙線性變換法，設(shè)采樣間隔為若利用雙線性變換法，設(shè)采樣間隔為T，則，則6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器, | )()(11112 zzTsasHzH例例1：要求設(shè)計一數(shù)字低通濾波器，指標(biāo)為：在通帶內(nèi)頻率低于要求設(shè)計一數(shù)字低通濾波器，指標(biāo)為：在通帶內(nèi)頻率低于0.2 rad/s時，容許幅度誤差在時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率以內(nèi)；在頻率0.3之間，阻之間，阻

57、帶衰減大于帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。分。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。分別用別用脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法和和雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計設(shè)計H(z)。6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器(dB)w11500.30.2數(shù)字域指標(biāo)圖對應(yīng)模擬域指標(biāo)圖(dB)1150 sp解：解：采用脈沖響應(yīng)不變法采用脈沖響應(yīng)不變法(1)數(shù)字域指標(biāo)數(shù)字域指標(biāo): P=0.2 rad， p=1dB ， S=0.3 rad， S=15dB(2)模擬域指標(biāo)模擬域指標(biāo)：取：取T=1， 則：則： p=Wp/T=0.2 rad/s， s=0.3

58、rad/s， P=1dB， s=15dB。(3) 設(shè)計模擬低通設(shè)計模擬低通AF：要求采用巴特沃斯低通濾濾器要求采用巴特沃斯低通濾濾器6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器,884. 5lglgN 1.5; ;092. 0110110SPSP1 . 01 . 0 SPPSspkkSP , 884. 5lglgN 1.5; ; 092. 0110110SPSP1 . 01 . 0 SPPSspkkSP ,884. 5lglgN 1.5; ;092. 0110110SPSP1 . 01 . 0 SPPSspkkSP 取N=6，查P167頁表6.2.1，得歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)=(P180頁）去歸一化：去歸一化： c = p(100.1ap 1) 1/2N=0.7032 rad/s將將p=s/ c代入代入H